Номер 398, страница 62 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Искусственные спутники Земли - номер 398, страница 62.

Условие.

398. Два спутника вращаются вокруг Земли по круговым орбитам на расстояниях 7600 и 600 км от её поверхности. Определите отношение скорости первого спутника к скорости второго.

Решение.

Дано:

Высота первого спутника над поверхностью Земли, $h_1 = 7600$ км
Высота второго спутника над поверхностью Земли, $h_2 = 600$ км
Средний радиус Земли (справочное значение), $R_З \approx 6400$ км

$h_1 = 7600 \text{ км} = 7.6 \times 10^6 \text{ м}$
$h_2 = 600 \text{ км} = 0.6 \times 10^6 \text{ м}$
$R_З = 6400 \text{ км} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Отношение скорости первого спутника к скорости второго, $\frac{v_1}{v_2}$.

Решение:

Спутник, вращающийся по круговой орбите, движется под действием силы всемирного тяготения, которая является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу гравитации и центростремительную силу:
$F_g = F_c$
Сила гравитационного притяжения Земли $F_g$ и центростремительная сила $F_c$ определяются формулами:
$F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$
$F_c = \frac{m v^2}{r}$
где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, $v$ — его орбитальная скорость, $r$ — радиус орбиты.
Приравнивая эти два выражения, получаем:
$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$
Сократив массу спутника $m$ и радиус $r$, выразим скорость спутника:
$v^2 = \frac{G M_З}{r}$
$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$
Из этой формулы видно, что скорость спутника обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса его орбиты.
Радиус орбиты $r$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью $h$: $r = R_З + h$.
Вычислим радиусы орбит для обоих спутников:
Для первого спутника: $r_1 = R_З + h_1 = 6400 \text{ км} + 7600 \text{ км} = 14000 \text{ км}$.
Для второго спутника: $r_2 = R_З + h_2 = 6400 \text{ км} + 600 \text{ км} = 7000 \text{ км}$.
Теперь найдем отношение скоростей первого и второго спутников. Для этого составим отношение скоростей $v_1$ и $v_2$:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{G M_З}{r_1}}}{\sqrt{\frac{G M_З}{r_2}}}$
Упростим выражение:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$
Подставим вычисленные значения радиусов орбит:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{7000 \text{ км}}{14000 \text{ км}}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Вычислим приближенное числовое значение:
$\frac{v_1}{v_2} \approx \frac{1.414}{2} \approx 0.707$

Ответ: отношение скорости первого спутника к скорости второго равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$ или приблизительно 0.707.