Номер 397, страница 62 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Искусственные спутники Земли. Законы движения и взаимодействия тел - номер 397, страница 62.

397. Рассчитайте скорость движения спутника вокруг Земли по круговой орбите на высоте, равной радиусу Земли, если первая космическая скорость у поверхности Земли равна 8 км/с.

Дано:

$h = R_З$

$v_1 = 8 \text{ км/с}$

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 8 \cdot 10^3 \text{ м/с}$

Найти:

$v$ — ?

Решение:

Первая космическая скорость $v_1$ для спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли (на высоте, которой можно пренебречь, $h \approx 0$), определяется из равенства силы всемирного тяготения и центростремительной силы. Радиус орбиты в этом случае равен радиусу Земли $R_З$.

$F_{тяг} = F_{ц}$

$G\frac{M_З m}{R_З^2} = \frac{m v_1^2}{R_З}$

Где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $m$ — масса спутника.

Отсюда можно выразить первую космическую скорость:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}$

Для спутника, движущегося по круговой орбите на высоте $h$, равной радиусу Земли ($h = R_З$), радиус орбиты будет $r = R_З + h = R_З + R_З = 2R_З$.

Скорость спутника $v$ на этой орбите также определяется из равенства силы тяготения и центростремительной силы:

$G\frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Подставим $r = 2R_З$:

$G\frac{M_З m}{(2R_З)^2} = \frac{m v^2}{2R_З}$

Выразим скорость $v$:

$v^2 = \frac{GM_З}{2R_З}$

$v = \sqrt{\frac{GM_З}{2R_З}}$

Теперь соотнесем скорость $v$ с первой космической скоростью $v_1$. Мы видим, что $v_1^2 = \frac{GM_З}{R_З}$. Подставим это выражение в формулу для $v^2$:

$v^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{GM_З}{R_З} = \frac{1}{2} v_1^2$

Отсюда находим $v$:

$v = \sqrt{\frac{v_1^2}{2}} = \frac{v_1}{\sqrt{2}}$

Подставим числовое значение $v_1 = 8 \text{ км/с}$:

$v = \frac{8 \text{ км/с}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} \text{ км/с} = 4\sqrt{2} \text{ км/с}$

Вычислим приближенное значение, учитывая, что $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$v \approx 4 \cdot 1.414 = 5.656 \text{ км/с} \approx 5.7 \text{ км/с}$

Ответ: скорость движения спутника на высоте, равной радиусу Земли, составляет $4\sqrt{2} \text{ км/с}$, что приблизительно равно $5.7 \text{ км/с}$.