Номер 396, страница 61 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Искусственные спутники Земли - номер 396, страница 61.

Условие.

396. Плотность некоторой планеты такая же, как и у Земли, а её радиус вдвое меньше. Найдите отношение первой космической скорости для Земли к аналогичной величине для некоторой планеты.

Решение.

Дано:

Плотность планеты: $\rho_П$
Плотность Земли: $\rho_З$
Радиус планеты: $R_П$
Радиус Земли: $R_З$
Первая космическая скорость для планеты: $v_П$
Первая космическая скорость для Земли: $v_З$
$\rho_П = \rho_З$
$R_П = \frac{R_З}{2}$

Найти:

$\frac{v_З}{v_П}$

Решение:

Первая космическая скорость для небесного тела определяется формулой: $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса небесного тела, $R$ — его радиус.

Массу планеты можно выразить через её плотность $\rho$ и объём $V$. Будем считать планеты шарообразными, тогда их объём равен $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Следовательно, масса планеты: $M = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим выражение для массы в формулу первой космической скорости: $v = \sqrt{\frac{G \cdot (\rho \frac{4}{3}\pi R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho R^2} = R\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho}$.

Запишем формулы для первой космической скорости для Земли ($v_З$) и для некоторой планеты ($v_П$):

$v_З = R_З\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho_З}$

$v_П = R_П\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho_П}$

Теперь найдем отношение первой космической скорости для Земли к скорости для планеты: $\frac{v_З}{v_П} = \frac{R_З\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho_З}}{R_П\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho_П}}$.

По условию задачи, плотности планет одинаковы, то есть $\rho_З = \rho_П$. Значит, выражение под корнем в числителе и знаменателе одинаково и его можно сократить: $\frac{v_З}{v_П} = \frac{R_З}{R_П}$.

Также по условию радиус планеты вдвое меньше радиуса Земли: $R_П = \frac{R_З}{2}$. Подставим это соотношение в полученную формулу: $\frac{v_З}{v_П} = \frac{R_З}{\frac{R_З}{2}} = 2$.

Ответ: отношение первой космической скорости для Земли к аналогичной величине для некоторой планеты равно 2.