Номер 508, страница 76 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Закон сохранения механической энергии - номер 508, страница 76.

Условие.

► 508. Используя закон сохранения энергии, решите задачу Гюйгенса: докажите, что «подвешенный на нити к центру вертикального круга шар не может вращаться по этому кругу, если нить не в состоянии выдержать силу натяжения, превышающую вес шара в 6 раз».

Решение.

Дано:

$T_{пред}$ — предельная сила натяжения нити.
$P = mg$ — вес шара.
Условие: нить не выдерживает силу $T$, превышающую $6P$. Это означает, что $T_{пред} \le 6mg$.

Найти:

Доказать, что шар не может вращаться по этому кругу.

Решение:

Рассмотрим движение шара массой $m$ на нити длиной $R$ в вертикальной плоскости. На шар действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к центру вращения.

Запишем второй закон Ньютона для шара в проекции на радиальное направление (направленное к центру окружности). Пусть $\theta$ — угол между нитью и вертикалью, отсчитываемый от нижнего положения.

$T - mg \cos\theta = \frac{mv^2}{R}$

Отсюда выразим силу натяжения нити:

$T = mg \cos\theta + \frac{mv^2}{R}$

Сила натяжения нити $T$ будет максимальной, когда оба слагаемых в правой части максимальны. Это происходит в нижней точке траектории, где $\theta = 0$ (следовательно, $\cos\theta = 1$) и скорость $v$ максимальна (согласно закону сохранения энергии, так как потенциальная энергия в этой точке минимальна). Таким образом, максимальная сила натяжения за весь цикл движения возникает в нижней точке:

$T_{max\_motion} = mg + \frac{mv_{н}^2}{R}$

где $v_{н}$ — скорость шара в нижней точке.

Для того чтобы шар совершил полный оборот, нить должна оставаться натянутой во всех точках траектории. Критическим является условие в верхней точке, где натяжение минимально. Условием прохождения верхней точки является $T_{в} \ge 0$.

В верхней точке $\theta = \pi$ и $\cos\theta = -1$. Запишем второй закон Ньютона для верхней точки:

$T_{в} + mg = \frac{mv_{в}^2}{R}$

Из условия $T_{в} \ge 0$ получаем минимально необходимую скорость в верхней точке для совершения полного оборота:

$\frac{mv_{в}^2}{R} - mg \ge 0 \implies v_{в}^2 \ge gR$

Минимальная скорость в верхней точке равна $v_{в, min} = \sqrt{gR}$.

Теперь применим закон сохранения механической энергии, чтобы связать скорости в нижней ($v_{н}$) и верхней ($v_{в}$) точках. Примем потенциальную энергию в нижней точке равной нулю. Тогда в верхней точке на высоте $2R$ она будет равна $mg \cdot 2R$.

$\frac{mv_{н}^2}{2} = \frac{mv_{в}^2}{2} + 2mgR$

Подставим сюда минимально необходимое значение скорости в верхней точке ($v_{в, min}^2 = gR$), чтобы найти соответствующую минимальную скорость в нижней точке, при которой шар еще может совершить полный оборот:

$\frac{mv_{н, min}^2}{2} = \frac{m(gR)}{2} + 2mgR \implies v_{н, min}^2 = gR + 4gR = 5gR$

Теперь найдем, какой будет сила натяжения в нижней точке при этой минимальной скорости:

$T_{н, min} = mg + \frac{mv_{н, min}^2}{R} = mg + \frac{m(5gR)}{R} = mg + 5mg = 6mg$

Это минимальное значение максимальной силы натяжения. Если начальная скорость будет больше, то и натяжение в нижней точке будет больше $6mg$. Таким образом, для совершения вращения по кругу необходимо, чтобы нить выдерживала натяжение как минимум $6mg$. То есть требуемое для вращения натяжение $T_{треб} \ge 6mg$.

По условию задачи, нить не в состоянии выдержать силу натяжения, превышающую вес шара в 6 раз. Это означает, что предельная (максимально допустимая) сила натяжения $T_{пред} \le 6mg$.

Сравнивая два условия, получаем, что для вращения необходимо $T_{треб} \ge 6mg$, а нить выдерживает только $T_{пред} \le 6mg$. Эти условия совместимы только в одном идеальном случае, когда $T_{треб} = T_{пред} = 6mg$. В реальности невозможно сообщить шару в точности такую скорость, чтобы это равенство выполнялось. Любое, даже самое малое, превышение скорости приведет к разрыву нити, а при меньшей скорости шар не совершит полного оборота. Следовательно, устойчивое вращение шара невозможно.

Ответ:

Для совершения полного оборота в вертикальной плоскости сила натяжения нити в нижней точке траектории должна быть не менее чем в 6 раз больше веса шара ($T_{треб} \ge 6mg$). По условию, нить не выдерживает натяжения, превышающего вес шара в 6 раз ($T_{пред} \le 6mg$). Так как минимально необходимое для вращения натяжение равно предельному натяжению нити, а любое его превышение приведет к разрыву, устойчивое вращение невозможно.