Номер 502, страница 76 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Закон сохранения механической энергии - номер 502, страница 76.

Условие.

502. Масса ребёнка вместе с санками $20 \text{ кг}$. Коэффициент трения санок о снег $0,1$.
а) Какую работу должна совершить сила, направленная вдоль наклонной плоскости, чтобы втащить санки на горку длиной $100 \text{ м}$ и углом наклона $30^\circ$?
б) Чему будет равна скорость санок у основания наклонной плоскости, если дать им свободно скатываться вниз?

Решение.

Дано:

$m = 20$ кг
$\mu = 0,1$
$L = 100$ м
$\alpha = 30^\circ$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) $A$ - ?
б) $v$ - ?

Решение:

а) Какую работу должна совершить сила, направленная вдоль наклонной плоскости, чтобы втащить санки на горку длиной 100 м и углом наклона 30°?

Чтобы втащить санки на горку с постоянной скоростью, прикладываемая сила $F$ должна уравновесить сумму проекции силы тяжести на наклонную плоскость $F_{т\parallel}$ и силы трения скольжения $F_{тр}$.

Силы, действующие на санки вдоль наклонной плоскости:

1. Проекция силы тяжести: $F_{т\parallel} = mg \sin(\alpha)$.
2. Сила трения: $F_{тр} = \mu N$, где $N$ - сила нормальной реакции опоры. На наклонной плоскости $N = mg \cos(\alpha)$. Таким образом, $F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$.

При равномерном подъеме прикладываемая сила $F$ равна:

$F = F_{т\parallel} + F_{тр} = mg \sin(\alpha) + \mu mg \cos(\alpha) = mg(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))$

Работа $A$, совершаемая этой силой на пути $L$, определяется как:

$A = F \cdot L = mgL(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))$

Подставим числовые значения, учитывая, что $\sin(30^\circ) = 0,5$ и $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$:

$A = 20 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 100 \text{ м} \cdot (0,5 + 0,1 \cdot 0,866)$

$A = 20000 \cdot (0,5 + 0,0866) = 20000 \cdot 0,5866 = 11732$ Дж.

Ответ: работа, которую должна совершить сила, составляет $11732 \text{ Дж}$ или примерно $11,7 \text{ кДж}$.

б) Чему будет равна скорость санок у основания наклонной плоскости, если дать им свободно скатываться вниз?

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Начальная энергия санок на вершине горы (потенциальная энергия) переходит в кинетическую энергию у основания, при этом часть энергии расходуется на работу против силы трения.

Начальная энергия системы (на вершине горы высотой $h$):
$E_{нач} = E_p = mgh$
Высота горы $h$ связана с длиной склона $L$ и углом наклона $\alpha$: $h = L \sin(\alpha)$.

Конечная энергия системы (у основания):
$E_{кон} = E_k = \frac{mv^2}{2}$

Работа силы трения $A_{тр}$ при скатывании вниз:
$A_{тр} = F_{тр} \cdot L = (\mu mg \cos(\alpha)) \cdot L$

Согласно закону сохранения энергии с учетом неконсервативных сил:
$E_{нач} = E_{кон} + A_{тр}$
$mgh = \frac{mv^2}{2} + \mu mgL \cos(\alpha)$

Подставим $h = L \sin(\alpha)$ в уравнение:
$mgL \sin(\alpha) = \frac{mv^2}{2} + \mu mgL \cos(\alpha)$

Сократим обе части уравнения на массу $m$:
$gL \sin(\alpha) = \frac{v^2}{2} + \mu gL \cos(\alpha)$

Выразим $v^2$:
$\frac{v^2}{2} = gL \sin(\alpha) - \mu gL \cos(\alpha) = gL(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$
$v^2 = 2gL(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Отсюда скорость $v$ равна:
$v = \sqrt{2gL(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))}$

Подставим числовые значения:
$v = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 100 \text{ м} \cdot (0,5 - 0,1 \cdot 0,866)}$
$v = \sqrt{2000 \cdot (0,5 - 0,0866)} = \sqrt{2000 \cdot 0,4134} = \sqrt{826,8} \approx 28,75 \text{ м/с}$.

Ответ: скорость санок у основания наклонной плоскости будет равна примерно $28,75 \text{ м/с}$.