Номер 497, страница 75 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Закон сохранения механической энергии. Законы движения и взаимодействия тел - номер 497, страница 75.

497. С горы высотой 50 м падает камень. На какой высоте кинетическая энергия камня станет равной его потенциальной энергии?

Дано:

Начальная высота камня, $H = 50$ м

Начальная скорость камня, $v_0 = 0$ м/с (так как камень начинает падать)

Найти:

Высоту $h$, на которой $E_k = E_p$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Если пренебречь сопротивлением воздуха, полная механическая энергия тела в замкнутой системе остается постоянной. Полная механическая энергия $E$ складывается из кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий.

$E = E_k + E_p = \text{const}$

В начальный момент времени, на высоте $H=50$ м, камень покоится, поэтому его начальная скорость $v_0 = 0$.

Начальная кинетическая энергия: $E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2} = 0$.

Начальная потенциальная энергия: $E_{p0} = mgH$.

Полная механическая энергия камня в начальный момент времени:

$E = E_{k0} + E_{p0} = 0 + mgH = mgH$

Теперь рассмотрим состояние камня на искомой высоте $h$, где его кинетическая энергия станет равна потенциальной. В этой точке:

Потенциальная энергия: $E_p = mgh$.

Кинетическая энергия: $E_k$.

По условию задачи, $E_k = E_p$.

Полная механическая энергия на высоте $h$ будет равна:

$E = E_k + E_p$

Подставим в это уравнение условие $E_k = E_p$:

$E = E_p + E_p = 2E_p = 2mgh$

Так как полная механическая энергия сохраняется, мы можем приравнять ее значения в начальный и конечный моменты времени:

$mgH = 2mgh$

Массу $m$ и ускорение свободного падения $g$ можно сократить в обеих частях уравнения:

$H = 2h$

Отсюда найдем искомую высоту $h$:

$h = \frac{H}{2}$

Подставим известное значение $H$:

$h = \frac{50 \text{ м}}{2} = 25 \text{ м}$

Ответ: кинетическая энергия камня станет равной его потенциальной энергии на высоте 25 м.