Номер 494, страница 75 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Закон сохранения механической энергии - номер 494, страница 75.

Условие.

494. Ракета взлетает вертикально вверх и достигает высоты 150 м. Определите массу ракеты, если скорость истечения газов равна 217 м/с, считая, что сгорание топлива происходит мгновенно. Масса топлива 50 г.

Решение.

Дано

$h = 150$ м

$u = 217$ м/с

$m_т = 50$ г

$g \approx 9.8$ м/с$^2$

Перевод в СИ:

$m_т = 50 \cdot 10^{-3}$ кг = $0.05$ кг

Найти:

$m_p$

Решение

Задача состоит из двух частей. Сначала, используя закон сохранения импульса, мы свяжем начальную скорость ракеты со скоростью истечения газов и массами. Затем, используя законы кинематики (или закон сохранения энергии), мы найдем эту начальную скорость из высоты подъема.

1. Так как сгорание топлива происходит мгновенно, можно применить закон сохранения импульса к системе "ракета + топливо". До старта суммарный импульс системы равен нулю. Сразу после сгорания топлива ракета массой $m_p$ приобретает скорость $v_0$ направленную вверх, а сгоревшие газы массой $m_т$ приобретают скорость $v_г$ относительно Земли, направленную вниз. Выберем направление вверх за положительное.

$0 = m_p \cdot v_0 - m_т \cdot v_г$

Отсюда $m_p \cdot v_0 = m_т \cdot v_г$.

Скорость истечения газов $u$ дана относительно ракеты. Поскольку ракета и газы движутся в противоположных направлениях, их относительная скорость равна сумме модулей их скоростей относительно Земли:

$u = v_0 + v_г \implies v_г = u - v_0$

Подставим выражение для $v_г$ в закон сохранения импульса:

$m_p \cdot v_0 = m_т \cdot (u - v_0)$

$m_p \cdot v_0 = m_т \cdot u - m_т \cdot v_0$

$v_0 \cdot (m_p + m_т) = m_т \cdot u$

Выразим начальную скорость ракеты $v_0$:

$v_0 = \frac{m_т u}{m_p + m_т}$

2. После того как ракета набрала начальную скорость $v_0$, она движется вертикально вверх с замедлением $g$ до высоты $h$. В верхней точке ее скорость становится равной нулю. По закону сохранения механической энергии, начальная кинетическая энергия ракеты переходит в потенциальную энергию на максимальной высоте:

$\frac{m_p v_0^2}{2} = m_p g h$

Отсюда находим начальную скорость:

$v_0^2 = 2gh \implies v_0 = \sqrt{2gh}$

3. Теперь приравняем два полученных выражения для $v_0$ и найдем массу ракеты $m_p$:

$\sqrt{2gh} = \frac{m_т u}{m_p + m_т}$

Выразим $m_p$:

$m_p + m_т = \frac{m_т u}{\sqrt{2gh}}$

$m_p = \frac{m_т u}{\sqrt{2gh}} - m_т = m_т \left( \frac{u}{\sqrt{2gh}} - 1 \right)$

4. Подставим числовые значения и выполним вычисления. Сначала вычислим значение $\sqrt{2gh}$:

$\sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 150 \, \text{м}} = \sqrt{2940} \, \text{м/с} \approx 54.22 \, \text{м/с}$

Теперь вычислим массу ракеты $m_p$:

$m_p = 0.05 \, \text{кг} \cdot \left( \frac{217 \, \text{м/с}}{54.22 \, \text{м/с}} - 1 \right) \approx 0.05 \, \text{кг} \cdot (4.002 - 1) \approx 0.05 \, \text{кг} \cdot 3 = 0.15 \, \text{кг}$

Масса ракеты составляет 150 г.

Ответ: масса ракеты равна 0.15 кг.