Номер 431, страница 66 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Импульс тела. Закон сохранения импульса. Реактивное движение. Законы движения и взаимодействия тел - номер 431, страница 66.

431. С воздушного шара, неподвижно висящего в воздухе, свободно свешивается лестница (рис. 89). По ней начинает взбираться человек. При этом шар будет подниматься или опускаться?

Рис. 89

Решение

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из воздушного шара, лестницы и человека. Внешними силами, действующими на эту систему в вертикальном направлении, являются сила тяжести, направленная вниз, и архимедова (выталкивающая) сила, направленная вверх.

По условию задачи, воздушный шар изначально висит неподвижно. Это означает, что внешние силы, действующие на систему, скомпенсированы, то есть их векторная сумма равна нулю. Следовательно, импульс системы сохраняется, а ее центр масс либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Поскольку система изначально неподвижна, ее центр масс будет сохранять свое положение.

Когда человек начинает взбираться по лестнице, силы взаимодействия между человеком и лестницей (человек отталкивается от лестницы вниз, а лестница толкает его вверх) являются внутренними силами для рассматриваемой системы. Эти силы не могут изменить положение центра масс всей системы.

Человек, поднимаясь по лестнице, смещается вверх. Чтобы центр масс всей системы «шар-лестница-человек» остался на прежней высоте, это смещение массы человека вверх должно быть скомпенсировано смещением вниз остальной части системы, то есть воздушного шара вместе с лестницей.

Проведем математический анализ. Пусть $M$ — масса шара с лестницей, а $m$ — масса человека. Выберем ось $Y$, направленную вертикально вверх. Так как центр масс системы неподвижен, изменение его координаты $\Delta y_c$ равно нулю.

$\Delta y_c = \frac{M\Delta Y + m\Delta y}{M+m} = 0$

где $\Delta Y$ — перемещение шара относительно Земли, а $\Delta y$ — перемещение человека относительно Земли. Из этого уравнения следует:

$M\Delta Y + m\Delta y = 0$

Предположим, что человек поднялся на высоту $h$ относительно лестницы. Тогда его перемещение относительно Земли $\Delta y$ будет равно сумме перемещения самого шара с лестницей $\Delta Y$ и перемещения человека относительно лестницы $h$:

$\Delta y = \Delta Y + h$

Подставим это выражение в уравнение сохранения положения центра масс:

$M\Delta Y + m(\Delta Y + h) = 0$

$M\Delta Y + m\Delta Y + mh = 0$

$(M+m)\Delta Y = -mh$

Отсюда перемещение шара:

$\Delta Y = -\frac{mh}{M+m}$

Так как массы $M$, $m$ и высота подъема $h$ являются положительными величинами, то перемещение шара $\Delta Y$ будет отрицательным. Знак «минус» указывает, что вектор перемещения шара направлен в сторону, противоположную оси $Y$, то есть вниз.

Ответ: Шар будет опускаться.