Номер 434, страница 66 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Импульс тела. Закон сохранения импульса. Реактивное движение. Законы движения и взаимодействия тел - номер 434, страница 66.

* 434. На одном конце доски массой $M$, находящейся на поверхности воды, сидит лягушка (рис. 90). С какой наименьшей скоростью должна прыгнуть лягушка, чтобы попасть в точку $B$? Расстояние между точками $A$ и $B$ равно $l$, масса лягушки $m$. Трением между доской и водой пренебречь.

Рис. 90

Дано:

Масса доски: $M$

Масса лягушки: $m$

Расстояние между точками A и B (длина доски): $l$

Все величины заданы в общем виде, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Наименьшую скорость прыжка лягушки $v_{min}$.

Решение:

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью воды. Так как по условию трением между доской и водой можно пренебречь, система тел «лягушка + доска» является замкнутой в горизонтальном направлении. Это означает, что для этой системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

До прыжка лягушка и доска покоились, поэтому суммарный импульс системы был равен нулю. Следовательно, и после прыжка он останется равным нулю.

Пусть лягушка прыгает со скоростью $\vec{v}$ относительно воды, а доска приобретает скорость $\vec{V}$. Направим ось OX в сторону прыжка лягушки. Закон сохранения импульса в проекции на эту ось имеет вид:

$m v_x + M V_x = 0$

где $v_x$ – горизонтальная составляющая скорости лягушки, а $V_x$ – скорость доски (так как доска движется только горизонтально). Из этого уравнения выразим скорость доски:

$V_x = -\frac{m}{M} v_x$

Знак «минус» показывает, что доска движется в направлении, противоположном горизонтальному смещению лягушки.

Для того чтобы лягушка попала в точку B, за время ее полета $t$ она должна преодолеть горизонтальное расстояние $S_л = v_x t$. За это же время точка B доски сместится на расстояние $S_д = V_x t$. Начальное расстояние между лягушкой (в точке A) и точкой B равно $l$. Таким образом, в момент приземления их координаты должны совпасть:

$S_л = l + S_д$

$v_x t = l + V_x t$

Подставим в это уравнение выражение для $V_x$:

$v_x t = l - \frac{m}{M} v_x t$

Перенесем слагаемое со скоростью в левую часть:

$v_x t \left(1 + \frac{m}{M}\right) = l \implies v_x t \left(\frac{M+m}{M}\right) = l$

Отсюда найдем дальность полета лягушки $S_л = v_x t$ в системе отсчета, связанной с водой:

$S_л = l \frac{M}{M+m}$

Дальность полета тела, брошенного со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту, определяется по формуле:

$S_л = \frac{v^2 \sin(2\alpha)}{g}$

где $g$ – ускорение свободного падения. Из этой формулы выразим скорость $v$:

$v^2 = \frac{g S_л}{\sin(2\alpha)}$

Чтобы скорость $v$ была наименьшей ($v_{min}$), значение $\sin(2\alpha)$ должно быть максимальным, то есть $\sin(2\alpha) = 1$. Это соответствует углу прыжка $\alpha = 45^\circ$.

При этом условии минимальная скорость будет равна:

$v_{min}^2 = g S_л$

$v_{min} = \sqrt{g S_л}$

Подставим ранее найденное выражение для дальности полета $S_л$:

$v_{min} = \sqrt{g l \frac{M}{M+m}}$

Ответ: $v_{min} = \sqrt{gl \frac{M}{M+m}}$