Страница 49 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

306. В процессе экспериментального исследования жёсткости трёх пружин получены данные, которые приведены в таблице.

Сила $F$, Н: 0 10 20 30

Удлинение пружины 1 ($\Delta l_1$, см): 0 1 2 3

Удлинение пружины 2 ($\Delta l_2$, см): 0 2 4 6

Удлинение пружины 3 ($\Delta l_3$, см): 0 1,5 3 4,5

Для определения жёсткости пружин используется закон Гука. Согласно этому закону, сила упругости $F_{упр}$, возникающая при деформации пружины, прямо пропорциональна её удлинению $\Delta l$. В условиях эксперимента приложенная внешняя сила $F$ уравновешивает силу упругости, следовательно, $F = F_{упр}$.

Формула закона Гука:

$F = k \cdot \Delta l$

где $k$ – коэффициент жёсткости пружины. Из этой формулы можно выразить жёсткость:

$k = \frac{F}{\Delta l}$

Для выполнения расчётов необходимо перевести значения удлинения из сантиметров (см) в метры (м) – основную единицу длины в системе СИ (1 см = 0,01 м).

Дано:

Экспериментальные данные зависимости удлинения трёх пружин ($\Delta l_1$, $\Delta l_2$, $\Delta l_3$) от приложенной силы ($F$) приведены в таблице.

Сила $F$ дана в Ньютонах (Н).

Удлинение $\Delta l$ дано в сантиметрах (см).

Найти:

Коэффициенты жёсткости пружин $k_1$, $k_2$, $k_3$.

Решение:

Для каждой пружины жёсткость является постоянной величиной, поэтому для её вычисления можно использовать любую пару соответствующих значений силы и удлинения из таблицы (кроме нулевых). Для надёжности проверим расчёты по нескольким точкам.

1. Жёсткость пружины 1

Рассчитаем коэффициент жёсткости $k_1$ для первой пружины, используя данные из таблицы и переводя удлинение в метры.

При $F = 10$ Н, удлинение $\Delta l_1 = 1$ см = $0,01$ м.

$k_1 = \frac{10 \text{ Н}}{0,01 \text{ м}} = 1000 \text{ Н/м}$

Проверим по другой точке: при $F = 20$ Н, удлинение $\Delta l_1 = 2$ см = $0,02$ м.

$k_1 = \frac{20 \text{ Н}}{0,02 \text{ м}} = 1000 \text{ Н/м}$

Значение жёсткости постоянно.

Ответ: $k_1 = 1000$ Н/м.

2. Жёсткость пружины 2

Рассчитаем коэффициент жёсткости $k_2$ для второй пружины.

При $F = 10$ Н, удлинение $\Delta l_2 = 2$ см = $0,02$ м.

$k_2 = \frac{10 \text{ Н}}{0,02 \text{ м}} = 500 \text{ Н/м}$

Проверим по другой точке: при $F = 30$ Н, удлинение $\Delta l_2 = 6$ см = $0,06$ м.

$k_2 = \frac{30 \text{ Н}}{0,06 \text{ м}} = 500 \text{ Н/м}$

Значение жёсткости постоянно.

Ответ: $k_2 = 500$ Н/м.

3. Жёсткость пружины 3

Рассчитаем коэффициент жёсткости $k_3$ для третьей пружины.

При $F = 10$ Н, удлинение $\Delta l_3 = 1,5$ см = $0,015$ м.

$k_3 = \frac{10 \text{ Н}}{0,015 \text{ м}} = \frac{10000}{15} \text{ Н/м} = \frac{2000}{3} \text{ Н/м} \approx 666,7 \text{ Н/м}$

Проверим по другой точке: при $F = 20$ Н, удлинение $\Delta l_3 = 3$ см = $0,03$ м.

$k_3 = \frac{20 \text{ Н}}{0,03 \text{ м}} = \frac{2000}{3} \text{ Н/м} \approx 666,7 \text{ Н/м}$

Значение жёсткости постоянно. Округлим результат.

Ответ: $k_3 \approx 667$ Н/м.

Сравните жёсткости пружин.

307. Грузы массами $m_1$ и $m_2$ ($m_1 > m_2$) соединены нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижный блок (рис. 64). Укажите два правильных утверждения. 1) Модули перемещений грузов одинаковы. 2) Сила натяжения нити в точке 1 больше, чем в точке 2. 3) Оба груза движутся с одинаковыми по модулю ускорениями. 4) Оба груза движутся с одинаковыми по модулю скоростями. 5) Сила натяжения нити в точке 2 больше, чем в точке 1.

Решение

Проанализируем каждое из предложенных утверждений для системы, состоящей из двух грузов массами $m_1$ и $m_2$ ($m_1 > m_2$), соединенных нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижный блок. Такая система называется машиной Атвуда. Поскольку $m_1 > m_2$, при освобождении система придет в движение: груз $m_1$ будет опускаться, а груз $m_2$ — подниматься. В стандартной постановке подобных задач нить и блок считаются идеальными: их массами и трением в оси блока пренебрегают.

1) Модули перемещений грузов одинаковы.

Это утверждение верно. Так как нить является нерастяжимой, её длина в процессе движения остается постоянной. Это означает, что если груз $m_1$ опустится на некоторое расстояние $\Delta s$, то груз $m_2$ должен подняться на точно такое же расстояние $\Delta s$. Следовательно, модули перемещений грузов за любой промежуток времени одинаковы.

2) Сила натяжения нити в точке 1 больше, чем в точке 2.

Это утверждение неверно. В модели с идеальной (невесомой) нитью сила натяжения одинакова во всех её точках. Если бы на какой-либо участок нити действовали разные по величине силы натяжения, то этот участок, имея нулевую массу, согласно второму закону Ньютона ($F_{net} = ma$), двигался бы с бесконечным ускорением, что физически невозможно. Поэтому сила натяжения нити $T$ постоянна по всей её длине.

3) Оба груза движутся с одинаковыми по модулю ускорениями.

Это утверждение верно. Так как грузы связаны нерастяжимой нитью, их скорости в любой момент времени равны по модулю ($|v_1(t)| = |v_2(t)|$). Ускорение является производной скорости по времени ($a = dv/dt$). Поскольку модули скоростей грузов равны в любой момент времени, то и модули их ускорений также будут равны: $|a_1| = |d|v_1|/dt| = |d|v_2|/dt| = |a_2|$.

4) Оба груза движутся с одинаковыми по модулю скоростями.

Это утверждение верно. Из-за нерастяжимости нити грузы проходят одинаковые расстояния за одинаковые промежутки времени. Модуль скорости (или путевая скорость) определяется как расстояние, пройденное за единицу времени. Так как для обоих грузов эти величины совпадают, их скорости по модулю также равны в любой момент движения.

5) Сила натяжения нити в точке 2 больше, чем в точке 1.

Это утверждение неверно по той же причине, что и утверждение 2. В предположении идеальной невесомой нити сила натяжения одинакова по всей её длине.

В результате анализа мы получили три верных утверждения: 1, 3 и 4. Все они являются прямыми следствиями того, что нить нерастяжима. Поскольку в задании требуется указать два правильных утверждения, мы должны выбрать любую пару из этих трех. Обычно в задачах по динамике наиболее важными являются утверждения о перемещении и об ускорении, так как последнее напрямую входит во второй закон Ньютона. Поэтому выберем утверждения 1 и 3.

Ответ: 1, 3.

308. Из приведённых ниже высказываний выберите два верных. Укажите их номера. 1) Закон Гука справедлив при любых деформациях. 2) Сила упругости направлена в сторону, противоположную деформации. 3) Жёсткость зависит только от материала, из которого изготовлено тело. 4) Вес тела всегда равен действующей на него силе тяжести. 5) Вес тела приложен к опоре или подвесу.

Решение

Проанализируем каждое из приведённых высказываний, чтобы определить их верность.

1) Закон Гука справедлив при любых деформациях.

Данное утверждение является неверным. Закон Гука, устанавливающий прямую пропорциональность между силой упругости и величиной деформации ($F_{упр} = -kx$), применим только в пределах упругой деформации. Когда деформация становится слишком большой и переходит предел упругости, она становится пластической, и тело уже не возвращается к своей первоначальной форме. В этом случае закон Гука не выполняется.

2) Сила упругости направлена в сторону, противоположную деформации.

Это утверждение верно. Сила упругости возникает в теле в ответ на его деформацию и всегда стремится вернуть тело в исходное, недеформированное состояние. Это означает, что направление силы упругости противоположно направлению смещения частиц тела от их положения равновесия. Математически это выражается знаком «минус» в формуле закона Гука: $F_{упр} = -kx$.

3) Жёсткость зависит только от материала, из которого изготовлено тело.

Это утверждение неверно. Жёсткость тела ($k$) зависит не только от упругих свойств материала (модуля Юнга), но также и от его геометрической формы и размеров. Например, жёсткость пружины зависит от материала проволоки, её толщины, диаметра витков и их количества. Длинный и тонкий стержень будет менее жёстким, чем короткий и толстый стержень из того же самого материала.

4) Вес тела всегда равен действующей на него силе тяжести.

Это утверждение неверно. Вес тела ($P$) и сила тяжести ($F_{тяж}$) равны по величине только тогда, когда тело находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчёта. Если тело движется с ускорением, направленным вертикально, его вес изменяется. Например, при ускоренном подъёме в лифте вес тела будет больше силы тяжести ($P = m(g+a)$), а при ускоренном спуске — меньше ($P = m(g-a)$). В состоянии свободного падения (невесомости) вес тела равен нулю, в то время как сила тяжести продолжает на него действовать.

5) Вес тела приложен к опоре или подвесу.

Это утверждение верно. По своему определению, вес — это сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на опору или подвес. Точкой приложения силы тяжести является центр масс самого тела, а точкой приложения веса является опора или подвес.

Таким образом, верными являются высказывания под номерами 2 и 5.

Ответ: 25.

309. К закреплённой пружине подвешивали грузы разной массы (рис. 65, а). На рисунке 65, б представлен график зависимости изменения длины $l$ пружины от значения массы $m$ подвешенного к пружине груза.

Рис. 64

Рис. 65

Выберите два утверждения, соответствующие результатам измерений. Укажите их номера.

1) Длина недеформированной пружины равна 15 см.

2) При массе груза, равной 300 г, удлинение пружины составляет 5 см.

3) Жёсткость пружины примерно равна 40 Н/м.

4) С увеличением массы груза жёсткость пружины не изменяется.

5) Деформация пружины не изменялась.

Проанализируем каждое из предложенных утверждений, основываясь на данных графика.

1) Длина недеформированной пружины равна 15 см.

Длина недеформированной пружины $l_0$ соответствует длине пружины при массе подвешенного груза $m = 0$. Из графика видно, что при $m = 0$ кг, график пересекает ось ординат (ось длины $l$) в точке $l = 0,1$ м. Переведем это значение в сантиметры: $0,1 \text{ м} = 10 \text{ см}$. Таким образом, длина недеформированной пружины равна 10 см, а не 15 см.

Ответ: утверждение неверно.

2) При массе груза, равной 300 г, удлинение пружины составляет 5 см.

Переведем массу груза в единицы СИ: $m = 300 \text{ г} = 0,3 \text{ кг}$. Найдем на графике точку, соответствующую этой массе. При $m = 0,3$ кг длина пружины $l$ составляет 0,15 м. Удлинение пружины $\Delta l$ вычисляется как разность между её текущей длиной $l$ и недеформированной длиной $l_0$. Мы уже определили, что $l_0 = 0,1$ м. Тогда $\Delta l = l - l_0 = 0,15 \text{ м} - 0,1 \text{ м} = 0,05$ м. Переведем удлинение в сантиметры: $0,05 \text{ м} = 5 \text{ см}$.

Ответ: утверждение верно.

3) Жёсткость пружины примерно равна 40 Н/м.

Жесткость пружины $k$ можно определить из закона Гука. Сила упругости, возникающая в пружине, уравновешивает силу тяжести, действующую на груз: $F_{упр} = F_{тяж}$. По закону Гука $F_{упр} = k \Delta l$, а сила тяжести $F_{тяж} = mg$. Таким образом, $k \Delta l = mg$, откуда $k = \frac{mg}{\Delta l}$. Возьмем любую точку с графика, например, при $m = 0,6$ кг. Длина пружины $l = 0,2$ м, а удлинение $\Delta l = l - l_0 = 0,2 \text{ м} - 0,1 \text{ м} = 0,1$ м. Принимая ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$, получаем: $k = \frac{0,6 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0,1 \text{ м}} = \frac{6 \text{ Н}}{0,1 \text{ м}} = 60 \text{ Н/м}$. Полученное значение 60 Н/м не равно 40 Н/м.

Ответ: утверждение неверно.

4) С увеличением массы груза жёсткость пружины не изменяется.

Жёсткость пружины $k$ — это физическая характеристика самой пружины, зависящая от её материала, формы и размеров. В пределах упругих деформаций она является константой. График зависимости длины от массы является прямой линией, что свидетельствует о линейной зависимости между удлинением и приложенной силой (пропорциональной массе). Это означает, что коэффициент пропорциональности, которым и является жёсткость, постоянен. Таким образом, жёсткость пружины не меняется с увеличением массы груза.

Ответ: утверждение верно.

5) Деформация пружины не изменялась.

Деформация (удлинение) пружины — это $\Delta l = l - l_0$. Из графика видно, что при увеличении массы $m$ от 0 до 0,6 кг, длина пружины $l$ увеличивается от 0,1 м до 0,2 м. Следовательно, деформация пружины $\Delta l$ увеличивается от 0 до 0,1 м. Утверждение, что деформация не изменялась, противоречит данным эксперимента.

Ответ: утверждение неверно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 2 и 4.