Страница 43 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

► 262. Гулливер, герой известной книги Д. Свифта, в «Путешествии в Бробдингнег» рассказывает: «Мальчик нёс меня в ящике... Орёл, захватив клювом кольцо моего ящика, понёс его... Затем вдруг я почувствовал, что падаю отвесно вниз около минуты, но с такой невероятной скоростью, что у меня захватило дух». В каком состоянии находился рассказчик?

Решение

Когда орел выпустил ящик, и ящик, и находящийся в нем Гулливер начали свободное падение. Свободным падением называется движение тела только под действием силы тяжести.

В этом случае и Гулливер, и его опора (ящик) движутся с одинаковым ускорением – ускорением свободного падения, $g$. Вес тела $P$ определяется как сила, с которой тело действует на опору. В общем случае вес можно рассчитать по формуле $P = m(g-a)$, где $m$ - масса тела, а $a$ - ускорение опоры, направленное вертикально вверх.

Поскольку в данном случае ящик падает вниз, его ускорение направлено вниз и равно $g$, то есть $a = -g$. Однако, если рассматривать систему отсчета, связанную с землей, и считать направление вниз положительным, то ускорение Гулливера и ящика будет $a=g$. Тогда сила реакции опоры, а следовательно и вес, будет равна $P = m(g-a) = m(g-g) = 0$.

Состояние, при котором вес тела равен нулю, называется невесомостью. Ощущение, что "захватило дух", является физиологической реакцией организма на резкий переход в состояние невесомости.

Ответ: Рассказчик находился в состоянии невесомости.

► 263. Как могли бы герои романа Ж. Верна «Путешествие на Луну», находящиеся в закрытом снаряде, обнаружить, что их корабль покинул пределы земной атмосферы и движется в космическом пространстве?

Герои романа Жюля Верна «Путешествие на Луну», находясь в замкнутом снаряде, могли бы определить, что они покинули земную атмосферу и движутся в космическом пространстве, по нескольким ключевым изменениям в окружающей их обстановке. Эти изменения связаны с прекращением воздействия атмосферы на летящий снаряд.

Прекращение шума и вибрации. Во время полета в атмосфере, особенно в ее плотных слоях, снаряд, движущийся с огромной скоростью, испытывал бы колоссальное сопротивление воздуха. Это создавало бы сильнейший гул, рев и интенсивную вибрацию всего корпуса. Момент выхода из атмосферы в вакуум космического пространства ознаменовался бы резким и полным исчезновением этих явлений. На борту наступила бы почти полная тишина, нарушаемая лишь звуками внутри самого снаряда.

Изменение температуры корпуса. Трение о воздух привело бы к очень сильному разогреву внешней обшивки снаряда. Путешественники могли бы отслеживать эту температуру. После выхода за пределы атмосферы внешний нагрев от трения прекратился бы. Корпус начал бы охлаждаться, отдавая тепло в космическое пространство путем излучения. Этот переход от быстрого нагрева к постепенному охлаждению стал бы верным признаком выхода в космос.

Визуальные наблюдения. Хотя в условии говорится о «закрытом снаряде», в романе у него были иллюминаторы. Если предположить их наличие, то герои увидели бы кардинальные изменения: цвет неба за бортом сменился бы с голубого на угольно-черный; звезды стали бы видны как яркие, немерцающие точки, поскольку мерцание звезд — это эффект, создаваемый земной атмосферой; стала бы четко видна Земля как шар с очертаниями континентов и облаками на фоне черного космоса.

Показания приборов. Если бы у героев был барометр, измеряющий давление снаружи снаряда, они бы зафиксировали его падение до значения, практически равного нулю.

Важно отметить, что наступление невесомости не является таким признаком. Герои почувствовали бы невесомость сразу после того, как снаряд покинул ствол пушки, так как он начал бы двигаться по инерции в гравитационном поле Земли (совершать свободное падение). Это состояние сохранялось бы и в атмосфере, и за ее пределами.

Ответ: Основными признаками выхода из земной атмосферы для героев были бы: полное прекращение сильного шума и вибрации, вызванных трением о воздух; прекращение нагрева корпуса снаряда и начало его охлаждения; а при наличии иллюминаторов — изменение вида за бортом: небо стало бы черным, а звезды перестали бы мерцать.

264. В одной из популярных книг по физике написано: «Планеты «привязывает» к Солнцу сила тяготения. Солнце также притягивается планетами, но сила притяжения его каждой отдельной планетой во столько раз меньше силы притяжения Солнцем, во сколько раз масса этой планеты меньше массы Солнца». Верно ли это утверждение?

Утверждение, приведенное в книге, является неверным.

Решение

Для анализа данного утверждения необходимо обратиться к фундаментальным законам классической механики: закону всемирного тяготения и третьему закону Ньютона.

Третий закон Ньютона гласит, что силы взаимодействия двух тел равны по величине (модулю) и противоположны по направлению. В системе «Солнце-планета» это означает, что сила, с которой Солнце притягивает планету, в точности равна по модулю силе, с которой планета притягивает Солнце.

Закон всемирного тяготения позволяет рассчитать величину этой силы. Обозначим массу Солнца как $M_С$, массу планеты как $m_п$, а расстояние между их центрами как $r$. Гравитационная постоянная обозначается как $G$.

Сила, действующая на планету со стороны Солнца ($F_{С \to п}$), вычисляется по формуле:$F_{С \to п} = G \frac{M_С m_п}{r^2}$

Сила, действующая на Солнце со стороны планеты ($F_{п \to С}$), вычисляется аналогично:$F_{п \to С} = G \frac{m_п M_С}{r^2}$

Сравнивая правые части уравнений, мы видим, что они идентичны. Следовательно, модули сил равны:$|F_{С \to п}| = |F_{п \to С}|$

Таким образом, сила притяжения планеты Солнцем и сила притяжения Солнца планетой — это одна и та же по величине сила. Их отношение всегда равно 1, а не отношению масс $\frac{M_С}{m_п}$, как утверждается в книге.

Вероятнее всего, автор допустил ошибку, перепутав понятие силы с понятием ускорения. Согласно второму закону Ньютона ($a = F/m$), при одинаковой силе тело с меньшей массой получает большее ускорение.

Ускорение, которое получает планета под действием силы $F = |F_{С \to п}| = |F_{п \to С}|$:$a_п = \frac{F}{m_п} = \frac{G M_С m_п}{r^2 m_п} = G \frac{M_С}{r^2}$

Ускорение, которое получает Солнце под действием той же силы $F$:$a_С = \frac{F}{M_С} = \frac{G m_п M_С}{r^2 M_С} = G \frac{m_п}{r^2}$

Теперь сравним ускорения. Отношение ускорения Солнца к ускорению планеты равно:$\frac{a_С}{a_п} = \frac{G m_п / r^2}{G M_С / r^2} = \frac{m_п}{M_С}$

Это соотношение показывает, что ускорение, сообщаемое Солнцу, во столько раз меньше ускорения, сообщаемого планете, во сколько раз масса планеты меньше массы Солнца. Если бы в утверждении из книги слово «сила» было заменено на «ускорение», оно было бы физически корректным.

Ответ: Нет, утверждение неверно. Согласно третьему закону Ньютона, силы гравитационного притяжения между Солнцем и планетой равны по модулю.

265. При проведении соревнований по поднятию тяжестей или по прыжкам в высоту следует ли учитывать, в каком месте земного шара проходят соревнования?

Да, при проведении соревнований по поднятию тяжестей и по прыжкам в высоту следует учитывать место их проведения на земном шаре. Это связано с тем, что ускорение свободного падения, обозначаемое как $g$, не является одинаковым во всех точках планеты. Его значение зависит от географической широты и высоты над уровнем моря.

Величина $g$ изменяется по двум основным причинам:

1. Форма Земли: наша планета не идеальный шар, а скорее сплюснутый у полюсов эллипсоид. Расстояние от центра Земли до поверхности на экваторе больше, чем на полюсах, поэтому сила тяжести (и, следовательно, $g$) на экваторе слабее.
2. Вращение Земли: из-за суточного вращения на тела на поверхности Земли действует центробежная сила, которая направлена против силы тяжести и максимальна на экваторе. Это также приводит к уменьшению эффективного значения $g$.

В результате ускорение свободного падения на экваторе составляет примерно $9.78 \, \text{м/с}^2$, а на полюсах — $9.83 \, \text{м/с}^2$.

Соревнования по поднятию тяжестей

Спортсмен-тяжелоатлет преодолевает силу тяжести (вес) штанги. Вес $P$ вычисляется по формуле $P = m \cdot g$, где $m$ — масса штанги. Поскольку масса штанги на всех соревнованиях одинакова, ее вес будет меньше там, где меньше значение $g$. Следовательно, на экваторе, где $g$ минимально, поднять штангу будет физически немного легче, чем в более северных или южных широтах. Это может дать спортсменам преимущество.

Соревнования по прыжкам в высоту

Высота прыжка спортсмена зависит от начальной скорости, которую он себе сообщает, и от ускорения свободного падения. При одинаковом усилии (одинаковой начальной вертикальной скорости $v_0$) максимальная высота подъема $h$ определяется из соотношения $h = \frac{v_0^2}{2g}$. Как видно из формулы, высота прыжка обратно пропорциональна $g$. Это означает, что в местности с меньшим значением $g$ (например, на экваторе или на большой высоте над уровнем моря, как в Мехико) спортсмен при тех же усилиях сможет прыгнуть выше.

Таким образом, для объективного сравнения результатов и, в особенности, для регистрации мировых рекордов, место проведения соревнований имеет значение. Хотя разница в значениях $g$ невелика, в спорте высших достижений она может оказаться решающей.

Ответ: Да, следует учитывать, так как ускорение свободного падения $g$ различно в разных точках земного шара. В местах с меньшим значением $g$ (на экваторе, в высокогорье) поднимать тяжести легче, а прыгать в высоту можно выше, что создает неравные условия для спортсменов и может влиять на установление рекордов.

266. Одинакова ли сила тяжести, действующая на одно и то же тело: а) на полюсах и на экваторе Земли; б) на Земле и на Луне; в) на разных планетах? Почему?

Решение

Сила тяжести, действующая на тело, определяется законом всемирного тяготения Ньютона:

$F_т = G \frac{M m}{R^2}$

где $F_т$ – сила тяжести, $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса планеты (или другого небесного тела), $m$ – масса тела, а $R$ – расстояние от тела до центра планеты (часто принимается равным радиусу планеты, если тело находится на её поверхности).

Из этой формулы видно, что сила тяжести, действующая на одно и то же тело (масса $m$ постоянна), зависит от массы $M$ и радиуса $R$ небесного тела, на котором это тело находится.

а) на полюсах и на экваторе Земли

Сила тяжести на полюсах и на экваторе Земли не одинакова по двум причинам:

1. Форма Земли. Наша планета не является идеальным шаром, она слегка сплюснута у полюсов. Из-за этого полярный радиус Земли ($R_п$) меньше экваториального ($R_э$). Так как сила тяжести обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра ($F_т \propto 1/R^2$), то на полюсах, где расстояние до центра меньше, сила тяжести будет больше.

2. Вращение Земли. Из-за суточного вращения Земли на тело, находящееся на её поверхности (кроме полюсов), действует центробежная сила инерции, направленная от оси вращения. Эта сила максимальна на экваторе и равна нулю на полюсах. Центробежная сила частично компенсирует силу гравитационного притяжения, уменьшая измеряемую силу тяжести (вес тела).

В результате обоих эффектов сила тяжести на полюсах больше, чем на экваторе.

Ответ: Нет, не одинакова. На полюсах сила тяжести больше, чем на экваторе.

б) на Земле и на Луне

Сила тяжести на Земле и на Луне не одинакова, так как Земля и Луна имеют разные массы и радиусы. Масса Земли ($M_З$) примерно в 81 раз больше массы Луны ($M_Л$), а радиус Земли ($R_З$) примерно в 3,7 раза больше радиуса Луны ($R_Л$).

Сила тяжести на поверхности небесного тела пропорциональна отношению $M/R^2$. Из-за различия в этих параметрах сила тяжести, действующая на одно и то же тело на Луне, примерно в 6 раз меньше, чем на Земле.

Ответ: Нет, не одинакова. На Земле сила тяжести значительно больше, чем на Луне (примерно в 6 раз).

в) на разных планетах

Сила тяжести на разных планетах не одинакова. Каждая планета Солнечной системы (например, Марс, Юпитер, Венера) имеет свои уникальные массу ($M$) и радиус ($R$). Поскольку сила тяжести $F_т = G \frac{M m}{R^2}$ напрямую зависит от этих параметров, она будет различной для каждой планеты.

Например, на Юпитере, который является самой массивной планетой, сила тяжести более чем в два раза превышает земную. На Марсе, который меньше и легче Земли, сила тяжести составляет около 38% от земной.

Ответ: Нет, не одинакова. Сила тяжести зависит от массы и радиуса планеты, которые у всех планет разные.

267. Почему жидкость легче переливать из сосуда в сосуд на Земле, чем на Луне? Действует ли сила тяготения между космонавтом и Землёй, когда космонавт находится в состоянии невесомости в космическом корабле?

Почему жидкость легче переливать из сосуда в сосуд на Земле, чем на Луне?

Процесс переливания жидкости из одного сосуда в другой происходит под действием силы тяжести. Сила тяжести, действующая на жидкость, определяется по формуле $P = mg$, где $m$ — масса жидкости, а $g$ — ускорение свободного падения. Ускорение свободного падения на Земле ($g_{Земля} \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$) примерно в 6 раз больше, чем на Луне ($g_{Луна} \approx 1,6 \, \text{м/с}^2$).
Из-за большей силы тяжести на Земле жидкость вытекает из сосуда быстрее и образует более направленную, стабильную струю. На Луне же слабая сила тяжести заставляет жидкость вытекать медленнее. Кроме того, при слабой гравитации становятся более выраженными эффекты поверхностного натяжения и смачивания. Это приводит к тому, что жидкость может сильнее "прилипать" к стенкам сосуда или распадаться на отдельные капли, что усложняет процесс контролируемого переливания.

Ответ: Жидкость легче переливать на Земле, потому что сила тяжести на Земле значительно больше, чем на Луне, что обеспечивает более быстрый и стабильный поток жидкости.

Действует ли сила тяготения между космонавтом и Землёй, когда космонавт находится в состоянии невесомости в космическом корабле?

Да, сила тяготения между космонавтом и Землёй действует всегда, в том числе и когда космонавт находится в космическом корабле на орбите. Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения существует между любыми двумя телами, обладающими массой. Космические корабли летают на относительно небольших высотах (например, МКС на высоте около 400 км), где сила земного притяжения лишь незначительно слабее, чем на поверхности планеты (составляет около 90% от силы притяжения на поверхности).
Состояние невесомости — это не отсутствие гравитации, а следствие свободного падения. Космический корабль и все, что находится внутри него (включая космонавта), непрерывно "падают" на Землю. Однако из-за своей огромной горизонтальной скорости они постоянно "промахиваются" мимо неё, двигаясь по круговой орбите. Поскольку и космонавт, и корабль падают с одинаковым ускорением, космонавт не давит на опору (пол корабля) и не испытывает веса. Именно сила тяготения Земли является той центростремительной силой, которая удерживает корабль и космонавта на орбите, не давая им улететь в открытый космос.

Ответ: Да, действует. Состояние невесомости возникает не из-за отсутствия гравитации, а потому, что и космонавт, и космический корабль находятся в состоянии непрерывного свободного падения на Землю.

268. Изменится ли сила тяжести, действующая на медный шар, если его опустить в воду; в керосин?

Нет, сила тяжести, действующая на медный шар, не изменится при его погружении в воду или керосин.

Сила тяжести — это сила, с которой Земля притягивает к себе тело. Она рассчитывается по формуле:

$F_{тяж} = mg$

где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения.

Масса ($m$) медного шара является его неотъемлемой характеристикой и не зависит от того, в какой среде он находится. Ускорение свободного падения ($g$) в данном месте на Земле также является постоянной величиной и не зависит от окружающей среды.

Поскольку ни масса шара, ни ускорение свободного падения не меняются при погружении шара в жидкость, то и сила тяжести, действующая на него, остаётся неизменной.

Важно не путать силу тяжести с весом тела. Вес тела — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Когда шар погружают в воду или керосин, на него начинает действовать выталкивающая сила (сила Архимеда), направленная вертикально вверх. Эта сила уменьшает вес шара, который мы бы измерили с помощью динамометра. Однако сама сила притяжения шара к Земле, то есть сила тяжести, не изменяется.

Ответ: Сила тяжести, действующая на медный шар, не изменится ни при погружении в воду, ни при погружении в керосин.

269. Два тела равной массы находятся на расстоянии 100 м. Какой должна быть масса этих тел, чтобы они притягивались с силой $6.67 \cdot 10^{-9}$ Н?

Дано:

$m_1 = m_2 = m$

$r = 100$ м

$F = 6,67 \cdot 10^{-9}$ Н

$G \approx 6,67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг² (гравитационная постоянная)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$m$ - ?

Решение:

Для решения данной задачи мы будем использовать закон всемирного тяготения, который описывает силу гравитационного притяжения между двумя телами. Формула закона выглядит следующим образом:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $F$ – это сила притяжения между телами, $G$ – гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ – массы этих тел, а $r$ – расстояние между ними.

В условии задачи указано, что массы тел равны. Обозначим массу каждого тела как $m$. Тогда $m_1 = m_2 = m$. Подставим это в формулу закона всемирного тяготения:

$F = G \frac{m \cdot m}{r^2} = G \frac{m^2}{r^2}$

Наша цель – найти массу $m$. Для этого выразим $m^2$ из полученного уравнения:

$m^2 = \frac{F \cdot r^2}{G}$

Теперь, чтобы найти $m$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$m = \sqrt{\frac{F \cdot r^2}{G}}$

Подставим в эту формулу числовые значения, данные в условии задачи:

$m = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-9} \text{ Н} \cdot (100 \text{ м})^2}{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}}}$

Выполним вычисления. Сначала возведем расстояние в квадрат: $(100 \text{ м})^2 = 10000 \text{ м}^2 = 10^4 \text{ м}^2$.

$m = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-9} \cdot 10^4}{6,67 \cdot 10^{-11}}} \text{ кг}$

Можно сократить множитель $6,67$ в числителе и знаменателе:

$m = \sqrt{\frac{10^{-9} \cdot 10^4}{10^{-11}}} \text{ кг}$

Теперь выполним действия со степенями. При умножении степеней их показатели складываются, а при делении – вычитаются:

$m = \sqrt{\frac{10^{-9+4}}{10^{-11}}} \text{ кг} = \sqrt{\frac{10^{-5}}{10^{-11}}} \text{ кг} = \sqrt{10^{-5 - (-11)}} \text{ кг} = \sqrt{10^{-5+11}} \text{ кг} = \sqrt{10^6} \text{ кг}$

Извлекаем квадратный корень:

$m = 10^3 \text{ кг} = 1000 \text{ кг}$

Таким образом, масса каждого из тел должна быть равна 1000 кг.

Ответ: масса каждого тела должна быть 1000 кг.

270. Рассчитайте силу притяжения между двумя телами массами 60 и 50 кг, учитывая, что они имеют сферическую форму и расстояние между их центрами масс равно 1 м.

Дано:

$m_1 = 60$ кг

$m_2 = 50$ кг

$r = 1$ м

$G \approx 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ (гравитационная постоянная)

Найти:

$F$ - ?

Решение:

Для определения силы притяжения между двумя телами воспользуемся законом всемирного тяготения Ньютона. Так как тела имеют сферическую форму, их можно рассматривать как материальные точки, вся масса которых сосредоточена в центре. Формула закона имеет вид:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $F$ – сила притяжения, $G$ – гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ – массы тел, а $r$ – расстояние между их центрами масс.

Подставим известные значения в формулу и произведем расчет:

$F = 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{60 \text{ кг} \cdot 50 \text{ кг}}{(1 \text{ м})^2}$

$F = 6.67 \times 10^{-11} \cdot \frac{3000}{1} \text{ Н}$

$F = 6.67 \times 10^{-11} \cdot 3 \times 10^3 \text{ Н}$

$F = 20.01 \times 10^{-8} \text{ Н}$

Представим результат в стандартном виде:

$F = 2.001 \times 10^{-7} \text{ Н}$

Ответ: $F = 2.001 \times 10^{-7}$ Н.