Страница 40 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

* 233. Возможно ли при прыжках в длину достичь одновременно максимальных значений дальности полёта и высоты прыжка?

Решение

Для анализа прыжка в длину воспользуемся модельной задачей о движении тела, брошенного под углом к горизонту. В этой модели, пренебрегая сопротивлением воздуха, дальность полета $L$ и максимальная высота подъема $H$ зависят от начальной скорости $v_0$ и угла броска $\alpha$.

Дальность полета определяется по формуле:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Максимальная высота подъема определяется по формуле:

$H = \frac{(v_0 \sin\alpha)^2}{2g} = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

где $g$ — ускорение свободного падения.

Проанализируем, при каких условиях достигаются максимальные значения $L$ и $H$ при фиксированной начальной скорости $v_0$.

1. Максимальная дальность полета ($L_{max}$): Дальность $L$ максимальна, когда множитель $\sin(2\alpha)$ максимален. Максимальное значение синуса равно 1. Это достигается при условии, что $2\alpha = 90^\circ$, откуда угол для максимальной дальности $\alpha = 45^\circ$.

2. Максимальная высота прыжка ($H_{max}$): Высота $H$ максимальна, когда множитель $\sin^2\alpha$ максимален. Это эквивалентно максимальному значению $\sin\alpha$. В диапазоне углов от $0^\circ$ до $90^\circ$ максимальное значение $\sin\alpha$ равно 1, что достигается при угле $\alpha = 90^\circ$. Это соответствует вертикальному прыжку вверх.

Сравнивая условия для достижения максимумов, мы видим, что максимальная дальность полета достигается при угле $45^\circ$, а максимальная высота — при угле $90^\circ$. Поскольку эти углы различны, невозможно достичь одновременно максимальной дальности и максимальной высоты в одном и том же прыжке.

Ответ: Нет, невозможно. Максимальная дальность полета достигается при угле прыжка $45^\circ$, в то время как максимальная высота достигается при угле $90^\circ$. Поскольку оптимальные углы для достижения этих двух максимумов различны, их нельзя достичь одновременно.

* 234. Известно, что дальность полёта тела, брошенного под углом к горизонту $\alpha = 45^\circ$, наибольшая. Почему спортсмен толкает ядро под углом меньше $45^\circ$?

Утверждение о том, что дальность полёта тела является наибольшей при угле броска $\alpha = 45^\circ$, справедливо для идеализированной физической модели, в которой точка броска и точка приземления находятся на одной и той же высоте, а начальная скорость не зависит от угла. Формула для дальности полёта в этом случае выглядит так:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Эта функция достигает максимума при $\sin(2\alpha) = 1$, что соответствует $2\alpha = 90^\circ$ или $\alpha = 45^\circ$.

Однако при толкании ядра спортсменом условия реального мира существенно отличаются от этой модели, и на оптимальный угол влияют два ключевых фактора.

Первый фактор — это начальная высота. Спортсмен толкает ядро с высоты плеча (обозначим её $h$), а приземляется ядро на землю (нулевая высота). Таким образом, ядро летит дольше, чем если бы оно было брошено с земли, так как ему нужно преодолеть по вертикали дополнительное расстояние $h$. Это дополнительное время полёта делает более выгодным увеличение горизонтальной составляющей начальной скорости ($v_x = v_0 \cos\alpha$) за счёт уменьшения вертикальной ($v_y = v_0 \sin\alpha$). Чтобы увеличить горизонтальную составляющую скорости, необходимо уменьшить угол броска $\alpha$. Таким образом, даже при одинаковой начальной скорости $v_0$ для всех углов, наличие начальной высоты $h > 0$ смещает оптимальный угол в сторону значений, меньших $45^\circ$.

Второй, и, возможно, более значимый фактор — это биомеханика человека. Начальная скорость $v_0$, которую спортсмен способен сообщить ядру, не постоянна, а сама зависит от угла $\alpha$. Строение мышц и суставов человека таково, что максимальная мощность толчка (и, следовательно, максимальная начальная скорость ядра) достигается при углах, как правило, меньших $45^\circ$. Поскольку дальность полёта пропорциональна квадрату начальной скорости ($L \sim v_0^2$), даже небольшое увеличение $v_0$ приводит к значительному увеличению дальности. Поэтому для спортсмена выгоднее выбрать угол, при котором он сможет сообщить ядру максимальную скорость, даже если этот угол отличается от теоретически оптимального для полёта.

В итоге, оптимальный угол для толкания ядра является результатом компромисса между этими двумя факторами. На практике у элитных спортсменов этот угол обычно находится в диапазоне $37^\circ-42^\circ$.

Ответ: Спортсмен толкает ядро под углом меньше $45^\circ$ по двум основным причинам: 1) ядро выпускается со значительной высоты над землёй, что делает более выгодным увеличение горизонтальной составляющей скорости за счёт уменьшения угла; 2) из-за особенностей биомеханики спортсмен может сообщить ядру максимальную начальную скорость именно при углах меньше $45^\circ$, а дальность полёта сильно зависит от начальной скорости.

► 235. Докажите, что при отсутствии сопротивления воздуха время $t_1$ поднятия тела на высоту $h$ равно времени $t_2$ падения его с этой высоты.

Доказать: $t_1 = t_2$, где $t_1$ – время поднятия тела на высоту $h$, а $t_2$ – время падения с той же высоты $h$.

Решение:

Рассмотрим движение тела в поле тяжести Земли при отсутствии сопротивления воздуха. В этом случае движение является равноускоренным, с ускорением свободного падения $g$, направленным вертикально вниз.

Для решения задачи выберем систему отсчета, связанную с Землей, а ось $OY$ направим вертикально вверх. Тогда проекция ускорения на эту ось будет $a_y = -g$.

Рассмотрим этап подъема тела. Пусть начальная скорость тела равна $v_0$. На максимальной высоте $h$ скорость тела обращается в ноль. Время подъема $t_1$ можно найти из уравнения для скорости при равноускоренном движении $v_y = v_{0y} + a_y t$.

$0 = v_0 - g t_1$

Отсюда находим время подъема:

$t_1 = \frac{v_0}{g}$

Теперь свяжем начальную скорость $v_0$ с высотой подъема $h$. Воспользуемся формулой, связывающей перемещение, скорости и ускорение: $h = \frac{v_y^2 - v_{0y}^2}{2a_y}$.

$h = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-g)} = \frac{-v_0^2}{-2g} = \frac{v_0^2}{2g}$

Из этого соотношения выразим начальную скорость $v_0 = \sqrt{2gh}$ и подставим ее в формулу для времени подъема:

$t_1 = \frac{\sqrt{2gh}}{g} = \sqrt{\frac{2gh}{g^2}} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Теперь рассмотрим этап падения тела с высоты $h$. На этом этапе начальная скорость тела равна нулю. Тело движется вниз, и его перемещение по модулю равно $h$. Время падения $t_2$ можно найти из уравнения для перемещения $h = v_{0y}t + \frac{a t^2}{2}$. В данном случае удобнее направить ось вниз, тогда $a=g$, $v_0=0$.

$h = 0 \cdot t_2 + \frac{g t_2^2}{2} = \frac{g t_2^2}{2}$

Выразим из этого уравнения время падения $t_2$:

$t_2^2 = \frac{2h}{g} \implies t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Сравнивая полученные выражения для времени подъема $t_1$ и времени падения $t_2$, мы видим, что они равны:

$t_1 = t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: При отсутствии сопротивления воздуха время поднятия тела на высоту $h$ равно времени падения его с этой высоты.

► 236. Докажите, что при отсутствии сопротивления воздуха начальная скорость $v_0$ тела, брошенного вертикально вверх, равна его скорости $v$ в момент касания земли.

Дано:

Тело брошено вертикально вверх с поверхности земли.

Сопротивление воздуха отсутствует.

Начальная скорость тела – $v_0$.

Конечная скорость тела в момент касания земли – $v$.

Найти:

Доказать, что $|v| = |v_0|$.

Решение:

Поскольку сопротивление воздуха отсутствует, на тело во время его полета действует только сила тяжести. Сила тяжести является консервативной силой, следовательно, для тела будет выполняться закон сохранения полной механической энергии.

Полная механическая энергия $E$ тела равна сумме его кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$

где $m$ – масса тела, $v$ – его скорость, $g$ – ускорение свободного падения, $h$ – высота тела над поверхностью земли.

Примем уровень поверхности земли за нулевой уровень потенциальной энергии ($h=0$).

В начальный момент времени (в момент броска) тело находится на поверхности земли ($h_0 = 0$) и имеет скорость $v_0$. Его полная механическая энергия $E_0$ равна:

$E_0 = \frac{mv_0^2}{2} + mg \cdot 0 = \frac{mv_0^2}{2}$

В конечный момент времени (в момент касания земли) тело снова находится на поверхности земли ($h = 0$) и имеет скорость $v$. Его полная механическая энергия $E$ равна:

$E = \frac{mv^2}{2} + mg \cdot 0 = \frac{mv^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия тела в начальный момент времени равна его полной механической энергии в конечный момент времени:

$E_0 = E$

Подставим выражения для энергий:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Сократив обе части уравнения на $\frac{m}{2}$ (так как масса тела не равна нулю), получим:

$v_0^2 = v^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем равенство модулей скоростей:

$|v_0| = |v|$

Это означает, что скорость тела по модулю (т.е. его быстрота) в момент касания земли равна начальной скорости. При этом векторы скоростей направлены в противоположные стороны: начальная скорость направлена вверх, а конечная – вниз.

Ответ: В соответствии с законом сохранения механической энергии, при отсутствии сопротивления воздуха кинетическая энергия тела в начальный момент (при броске с земли) и в конечный момент (при падении на землю) одинакова, так как потенциальная энергия в обоих случаях равна нулю (если принять уровень земли за нулевой). Из равенства кинетических энергий $\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$ следует равенство модулей скоростей $|v_0| = |v|$, что и требовалось доказать.

► 237. Аристотель утверждал: «Падение куска золота, или свинца, или любого другого тела, наделённого весом, происходит тем быстрее, чем больше его вес...» Ошибочность точки зрения Аристотеля доказал Галилей с помощью мысленного эксперимента, анализируя с позиции Аристотеля падение двух тел разной массы в двух случаях: а) тела связаны друг с другом; б) тела падают отдельно друг от друга. Попытайтесь повторить рассуждения Галилея.

Мысленный эксперимент Галилео Галилея заключается в том, чтобы, приняв утверждение Аристотеля за истину, прийти к логическому противоречию. Это доказывает, что исходное утверждение неверно.

Давайте примем на веру утверждение Аристотеля: чем тяжелее тело, тем быстрее оно падает. Возьмем два тела: одно тяжелое, с массой $M$, и одно легкое, с массой $m$, где $M > m$. Согласно Аристотелю, скорость падения тяжелого тела $V$ будет больше скорости падения легкого тела $v$, то есть $V > v$.

Теперь рассмотрим два случая, описанных в задаче.

б) тела падают отдельно друг от друга

В этом случае, согласно исходной посылке Аристотеля, тяжелое тело с массой $M$ падает быстрее (со скоростью $V$), чем легкое тело с массой $m$ (которое падает со скоростью $v$). Здесь нет никаких противоречий, это прямое следствие теории Аристотеля.

а) тела связаны друг с другом

Теперь свяжем эти два тела, например, нитью, и бросим их одновременно. К чему это приведет, если рассуждать с позиции Аристотеля? Здесь можно прийти к двум взаимоисключающим выводам.

Рассуждение 1: Связав два тела, мы получили новую систему, общая масса которой равна $M+m$. Эта масса очевидно больше массы тяжелого тела $M$. Следовательно, по логике Аристотеля, эта связанная система должна падать еще быстрее, чем одно только тяжелое тело. То есть, итоговая скорость $V_{системы}$ должна быть больше $V$.

Рассуждение 2: Так как тела связаны, более медленное легкое тело (которое стремится падать со скоростью $v$) будет тормозить более быстрое тяжелое тело (которое стремится падать со скоростью $V$). В то же время тяжелое тело будет тянуть за собой легкое, ускоряя его. В результате скорость всей системы $V_{системы}$ должна быть некой средней величиной, то есть медленнее, чем скорость падения тяжелого тела, но быстрее, чем скорость падения легкого. Математически это означает, что $v < V_{системы} < V$.

Таким образом, мы приходим к парадоксу. С одной стороны, связанная система должна падать быстрее самого тяжелого тела ($V_{системы} > V$). С другой стороны, она должна падать медленнее самого тяжелого тела ($V_{системы} < V$). Одно и то же событие не может одновременно удовлетворять обоим условиям.

Единственный способ разрешить это логическое противоречие — признать, что исходное предположение (посылка Аристотеля) было неверным. Скорость падения тела не зависит от его массы. Все тела в вакууме падают с одинаковым ускорением.

Ответ: Рассуждения Галилея, основанные на логике Аристотеля, приводят к противоречию: связанная система из тяжелого и легкого тел должна падать одновременно и быстрее, и медленнее, чем одно тяжелое тело. Это доказывает ошибочность утверждения Аристотеля и приводит к выводу, что все тела падают с одинаковой скоростью (и ускорением) независимо от их массы.

► 238. В результате экспериментов Галилей пришёл к выводу о том, «что пространства, проходимые падающим телом в одинаковые промежутки времени, относятся между собой как последовательные нечётные числа». Что следует из этого вывода учёного?

Решение

Вывод Галилея утверждает, что расстояния, которые проходит падающее тело за последовательные равные промежутки времени, соотносятся как последовательные нечётные числа. Чтобы понять, что из этого следует, проанализируем это утверждение математически.

Предположим, что тело начинает падать из состояния покоя (начальная скорость $v_0 = 0$). Разобьём время падения на равные промежутки, каждый длительностью $\Delta t$.

Пусть $\Delta s_1$ — расстояние, пройденное за первый промежуток времени (от $0$ до $\Delta t$).
$\Delta s_2$ — расстояние, пройденное за второй промежуток времени (от $\Delta t$ до $2\Delta t$).
$\Delta s_3$ — расстояние, пройденное за третий промежуток времени (от $2\Delta t$ до $3\Delta t$).
И так далее, $\Delta s_n$ — расстояние, пройденное за n-й промежуток времени.

Согласно выводу Галилея, справедливо соотношение:

$\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 : \dots = 1 : 3 : 5 : \dots$

Это означает, что если за первый промежуток времени тело прошло путь $\Delta s_1$, то за второй оно пройдёт путь $3\Delta s_1$, за третий — $5\Delta s_1$, и за n-й промежуток — $(2n-1)\Delta s_1$.

Теперь рассчитаем полный путь $S_N$, пройденный телом за $N$ таких промежутков, то есть за общее время $t = N \cdot \Delta t$. Полный путь равен сумме путей, пройденных за каждый из промежутков:

$S_N = \Delta s_1 + \Delta s_2 + \Delta s_3 + \dots + \Delta s_N = \Delta s_1 \cdot (1 + 3 + 5 + \dots + (2N-1))$

Известно, что сумма первых $N$ нечётных натуральных чисел равна $N^2$. То есть:

$1 + 3 + 5 + \dots + (2N-1) = N^2$

Следовательно, полный путь, пройденный телом за $N$ промежутков времени, равен:

$S_N = \Delta s_1 \cdot N^2$

Поскольку общее время движения $t = N \cdot \Delta t$, то количество промежутков $N = \frac{t}{\Delta t}$. Подставим это в выражение для пути:

$S(t) = \Delta s_1 \cdot \left(\frac{t}{\Delta t}\right)^2 = \frac{\Delta s_1}{(\Delta t)^2} \cdot t^2$

В этом выражении дробь $\frac{\Delta s_1}{(\Delta t)^2}$ является постоянной величиной для данного движения. Обозначим её как некий коэффициент $k$. Тогда зависимость пути от времени принимает вид:

$S(t) = k \cdot t^2$

Эта формула показывает, что путь, проходимый свободно падающим телом, прямо пропорционален квадрату времени его падения. Такая зависимость характерна для равноускоренного движения без начальной скорости, которое описывается формулой:

$S(t) = \frac{at^2}{2}$

где $a$ — постоянное ускорение.

Таким образом, из вывода Галилея напрямую следует, что свободное падение является движением с постоянным ускорением (равноускоренным движением).

Ответ: Из вывода Галилея следует, что свободное падение тел является равноускоренным движением, то есть движением с постоянным ускорением. Как следствие, путь, пройденный телом при свободном падении из состояния покоя, прямо пропорционален квадрату времени падения ($S \propto t^2$).

► 239. Аристотель считал: «Камень под действием собственного веса падает с определённой скоростью. Если положить на него ещё один такой же камень, то лежащий сверху будет подталкивать нижний, в результате чего скорость последнего возрастает». В чём заключается допущенная Аристотелем ошибка?

Решение

Ошибка Аристотеля заключается в его фундаментальном представлении о природе падения тел. Он считал, что скорость падения тела прямо пропорциональна его весу. Этот взгляд был опровергнут последующими исследованиями, в частности, работами Галилео Галилея и Исаака Ньютона.

С точки зрения современной физики, если пренебречь сопротивлением воздуха, все тела падают с одинаковым ускорением, независимо от их массы. На тело массой $m$ действует сила тяжести $F_{тяж} = mg$, где $g$ — ускорение свободного падения. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение: $F = ma$. Приравнивая выражения для силы тяжести, получим $mg = ma$, откуда следует, что ускорение $a = g$ и не зависит от массы $m$.

Когда два одинаковых камня падают вместе, они образуют единую систему. Масса этой системы вдвое больше массы одного камня ($2m$), но и сила тяжести, действующая на нее, также вдвое больше ($2mg$). Поэтому ускорение системы остается прежним: $a = \frac{F_{общ}}{m_{общ}} = \frac{2mg}{2m} = g$. Верхний камень не "подталкивает" нижний, чтобы тот падал быстрее. Оба камня, будь то вместе или по отдельности, падают с одинаковым ускорением.

Таким образом, основная ошибка Аристотеля состоит в том, что он не понимал концепции инерции, которая пропорциональна массе и характеризует свойство тела сопротивляться изменению скорости. Увеличение движущей силы (веса) в точности компенсируется увеличением инертности (массы), в результате чего ускорение остается постоянным.

Ответ: Ошибка Аристотеля заключается в его неверном предположении, что скорость падения тела пропорциональна его весу. Он не учёл, что у более тяжёлого тела не только больше сила притяжения к Земле, но и больше инертность (масса), из-за чего ускорение свободного падения для всех тел (в вакууме) одинаково.

► 240. Два тела, массы которых $M$ и $m$ ($M > m$), подняты на одинаковую высоту над землёй и одновременно отпущены. Исследуйте, одновременно ли они приземлятся, если сила сопротивления воздуха для обоих тел одинакова и постоянна.

Дано:

Массы тел: $M$ и $m$

Условие: $M > m$

Высота падения: $h$ (одинаковая для обоих тел)

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Сила сопротивления воздуха: $F_{сопр}$ (одинакова и постоянна для обоих тел)

Найти:

Сравнить время падения тел $t_M$ и $t_m$.

Решение:

На каждое тело во время падения действуют две силы: сила тяжести ($F_{тяж}$), направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха ($F_{сопр}$), направленная вертикально вверх. Выберем ось OY, направленную вертикально вниз. Тогда второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на эту ось будет выглядеть следующим образом.

Для тела с массой $M$:

$M \cdot a_M = F_{тяж, M} - F_{сопр}$

$M \cdot a_M = M \cdot g - F_{сопр}$

Отсюда находим ускорение тела с массой $M$:

$a_M = \frac{M \cdot g - F_{сопр}}{M} = g - \frac{F_{сопр}}{M}$

Для тела с массой $m$:

$m \cdot a_m = F_{тяж, m} - F_{сопр}$

$m \cdot a_m = m \cdot g - F_{сопр}$

Отсюда находим ускорение тела с массой $m$:

$a_m = \frac{m \cdot g - F_{сопр}}{m} = g - \frac{F_{сопр}}{m}$

Теперь сравним ускорения $a_M$ и $a_m$. По условию задачи $M > m$. Из этого следует, что $\frac{1}{M} < \frac{1}{m}$.

Поскольку сила сопротивления $F_{сопр}$ — величина положительная, то:

$\frac{F_{сопр}}{M} < \frac{F_{сопр}}{m}$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$-\frac{F_{сопр}}{M} > -\frac{F_{сопр}}{m}$

Прибавим к обеим частям ускорение свободного падения $g$:

$g - \frac{F_{сопр}}{M} > g - \frac{F_{сопр}}{m}$

Таким образом, мы получаем, что $a_M > a_m$. Это означает, что тело с большей массой падает с большим ускорением.

Тела падают с одной и той же высоты $h$ без начальной скорости. Движение является равноускоренным. Путь, пройденный телом, определяется по формуле: $h = \frac{a \cdot t^2}{2}$.

Выразим из этой формулы время падения $t$:

$t = \sqrt{\frac{2h}{a}}$

Из формулы видно, что время падения обратно пропорционально корню из ускорения. Поскольку ускорение тела с массой $M$ больше, чем ускорение тела с массой $m$ ($a_M > a_m$), время его падения будет меньше:

$t_M < t_m$

Ответ: Тела приземлятся не одновременно. Тело с большей массой $M$ приземлится раньше, так как оно движется с большим ускорением.

► 241. Итальянский учёный Никола Тарталья (1499–1557) в одной из своих работ сообщил, что он «после изрядного размышления» доказал «естественными и математическими доводами», что наибольшая дальность полёта снаряда достигается при наклоне орудия под углом $45^\circ$ к горизонту. Подтвердите математически вывод учёного.

Дано:

$v_0$ — начальная скорость снаряда
$α$ — угол наклона орудия к горизонту
$g$ — ускорение свободного падения
Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Найти:

Угол $α$, при котором дальность полёта $L$ будет максимальной.

Решение:

Для решения задачи рассмотрим движение снаряда в системе координат, где ось $OX$ направлена горизонтально, а ось $OY$ — вертикально вверх. Начало координат поместим в точку вылета снаряда.

Движение снаряда представляет собой сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного по вертикали. Разложим вектор начальной скорости $v_0$ на составляющие:

• Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos(α)$
• Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin(α)$

Тогда уравнения для координат снаряда в любой момент времени $t$ будут выглядеть так:

$x(t) = v_{0x} t = v_0 \cos(α) \cdot t$

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(α) \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

Полное время полёта снаряда $T$ — это время, через которое он вернётся на начальную высоту, то есть $y(T) = 0$.

$v_0 \sin(α) \cdot T - \frac{gT^2}{2} = 0$

$T \cdot (v_0 \sin(α) - \frac{gT}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $T_1 = 0$ (момент начала движения) и $T_2 = \frac{2v_0 \sin(α)}{g}$ (момент падения). Нас интересует второе решение, так как оно соответствует полному времени полёта.

$T = \frac{2v_0 \sin(α)}{g}$

Дальность полёта $L$ — это горизонтальное расстояние, которое снаряд пролетит за время $T$. Чтобы найти его, подставим значение $T$ в уравнение для координаты $x$:

$L = x(T) = v_0 \cos(α) \cdot T = v_0 \cos(α) \cdot \frac{2v_0 \sin(α)}{g}$

$L = \frac{v_0^2 \cdot (2 \sin(α) \cos(α))}{g}$

Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $ \sin(2α) = 2 \sin(α) \cos(α) $, мы можем упростить выражение для дальности полёта:

$L(α) = \frac{v_0^2 \sin(2α)}{g}$

Из этой формулы видно, что дальность полёта $L$ является функцией угла $α$. Так как начальная скорость $v_0$ и ускорение свободного падения $g$ — постоянные величины, дальность полёта будет максимальной, когда значение $ \sin(2α) $ будет максимальным.

Максимальное значение функции синус равно 1.

$\sin(2α)_{max} = 1$

Это условие выполняется, когда аргумент синуса равен $90°$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

$2α = 90°$

$α = 45°$

Таким образом, мы математически доказали, что наибольшая дальность полёта снаряда достигается при угле наклона орудия $45°$ к горизонту, что подтверждает вывод Николы Тартальи.

Ответ: Вывод учёного математически подтверждён. Дальность полёта снаряда описывается формулой $L = \frac{v_0^2 \sin(2α)}{g}$. Эта величина максимальна, когда $\sin(2α) = 1$, что соответствует углу $α = 45°$.