Номер 236, страница 40 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Свободное падение тел. Законы движения и взаимодействия тел - номер 236, страница 40.

► 236. Докажите, что при отсутствии сопротивления воздуха начальная скорость $v_0$ тела, брошенного вертикально вверх, равна его скорости $v$ в момент касания земли.

Дано:

Тело брошено вертикально вверх с поверхности земли.

Сопротивление воздуха отсутствует.

Начальная скорость тела – $v_0$.

Конечная скорость тела в момент касания земли – $v$.

Найти:

Доказать, что $|v| = |v_0|$.

Решение:

Поскольку сопротивление воздуха отсутствует, на тело во время его полета действует только сила тяжести. Сила тяжести является консервативной силой, следовательно, для тела будет выполняться закон сохранения полной механической энергии.

Полная механическая энергия $E$ тела равна сумме его кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$

где $m$ – масса тела, $v$ – его скорость, $g$ – ускорение свободного падения, $h$ – высота тела над поверхностью земли.

Примем уровень поверхности земли за нулевой уровень потенциальной энергии ($h=0$).

В начальный момент времени (в момент броска) тело находится на поверхности земли ($h_0 = 0$) и имеет скорость $v_0$. Его полная механическая энергия $E_0$ равна:

$E_0 = \frac{mv_0^2}{2} + mg \cdot 0 = \frac{mv_0^2}{2}$

В конечный момент времени (в момент касания земли) тело снова находится на поверхности земли ($h = 0$) и имеет скорость $v$. Его полная механическая энергия $E$ равна:

$E = \frac{mv^2}{2} + mg \cdot 0 = \frac{mv^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия тела в начальный момент времени равна его полной механической энергии в конечный момент времени:

$E_0 = E$

Подставим выражения для энергий:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Сократив обе части уравнения на $\frac{m}{2}$ (так как масса тела не равна нулю), получим:

$v_0^2 = v^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем равенство модулей скоростей:

$|v_0| = |v|$

Это означает, что скорость тела по модулю (т.е. его быстрота) в момент касания земли равна начальной скорости. При этом векторы скоростей направлены в противоположные стороны: начальная скорость направлена вверх, а конечная – вниз.

Ответ: В соответствии с законом сохранения механической энергии, при отсутствии сопротивления воздуха кинетическая энергия тела в начальный момент (при броске с земли) и в конечный момент (при падении на землю) одинакова, так как потенциальная энергия в обоих случаях равна нулю (если принять уровень земли за нулевой). Из равенства кинетических энергий $\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$ следует равенство модулей скоростей $|v_0| = |v|$, что и требовалось доказать.