Номер 231, страница 39 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Свободное падение тел - номер 231, страница 39.

Условие.

* 231. Гепард — самое быстрое животное. Он развивает скорость до 90 км/ч, совершая при этом прыжки длиной до 25 м. Оцените приблизительно высоту этих прыжков.

Решение.

Дано:

Скорость гепарда, $v = 90 \text{ км/ч}$

Длина прыжка, $L = 25 \text{ м}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Перевод в систему СИ:

Скорость $v = 90 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25 \text{ м/с}$.

Найти:

Высоту прыжка, $H$.

Решение:

Прыжок гепарда можно рассматривать как движение тела, брошенного под углом $\alpha$ к горизонту. В этом случае, пренебрегая сопротивлением воздуха, дальность полета $L$ и максимальная высота подъема $H$ описываются следующими формулами:

$L = \frac{v^2 \sin(2\alpha)}{g}$

$H = \frac{v^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Сначала из формулы для дальности полета найдем синус двойного угла броска $\sin(2\alpha)$:

$\sin(2\alpha) = \frac{Lg}{v^2}$

Подставим известные значения:

$\sin(2\alpha) = \frac{25 \text{ м} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{(25 \text{ м/с})^2} = \frac{250}{625} = \frac{10}{25} = 0.4$

Для нахождения высоты $H$ нам нужно знать $\sin^2(\alpha)$. Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени, которая связывает $\sin^2(\alpha)$ и $\cos(2\alpha)$:

$\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$

Найдем $\cos(2\alpha)$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(2\alpha) + \cos^2(2\alpha) = 1$:

$\cos(2\alpha) = \pm\sqrt{1 - \sin^2(2\alpha)} = \pm\sqrt{1 - 0.4^2} = \pm\sqrt{1 - 0.16} = \pm\sqrt{0.84}$

Так как гепард совершает длинный прыжок во время бега, логично предположить, что угол прыжка $\alpha$ является острым и меньше $45^\circ$ (что обеспечивает большую дальность, чем высоту). В этом случае $2\alpha$ будет меньше $90^\circ$, а косинус этого угла будет положительным. Поэтому выбираем знак "плюс":

$\cos(2\alpha) = \sqrt{0.84} \approx 0.917$

Теперь подставим выражение для $\sin^2(\alpha)$ в формулу для высоты $H$:

$H = \frac{v^2}{2g} \cdot \sin^2(\alpha) = \frac{v^2}{2g} \cdot \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} = \frac{v^2(1 - \cos(2\alpha))}{4g}$

Теперь мы можем вычислить приблизительную высоту прыжка:

$H \approx \frac{(25 \text{ м/с})^2 \cdot (1 - 0.917)}{4 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{625 \cdot 0.083}{40} = \frac{51.875}{40} \approx 1.297 \text{ м}$

Округлим результат до десятых.

Ответ: приблизительная высота прыжков гепарда составляет 1.3 м.