Номер 234, страница 40 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Свободное падение тел - номер 234, страница 40.

Условие.

* 234. Известно, что дальность полёта тела, брошенного под углом к горизонту $\alpha = 45^\circ$, наибольшая. Почему спортсмен толкает ядро под углом меньше $45^\circ$?

Решение.

Утверждение о том, что дальность полёта тела является наибольшей при угле броска $\alpha = 45^\circ$, справедливо для идеализированной физической модели, в которой точка броска и точка приземления находятся на одной и той же высоте, а начальная скорость не зависит от угла. Формула для дальности полёта в этом случае выглядит так:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Эта функция достигает максимума при $\sin(2\alpha) = 1$, что соответствует $2\alpha = 90^\circ$ или $\alpha = 45^\circ$.

Однако при толкании ядра спортсменом условия реального мира существенно отличаются от этой модели, и на оптимальный угол влияют два ключевых фактора.

Первый фактор — это начальная высота. Спортсмен толкает ядро с высоты плеча (обозначим её $h$), а приземляется ядро на землю (нулевая высота). Таким образом, ядро летит дольше, чем если бы оно было брошено с земли, так как ему нужно преодолеть по вертикали дополнительное расстояние $h$. Это дополнительное время полёта делает более выгодным увеличение горизонтальной составляющей начальной скорости ($v_x = v_0 \cos\alpha$) за счёт уменьшения вертикальной ($v_y = v_0 \sin\alpha$). Чтобы увеличить горизонтальную составляющую скорости, необходимо уменьшить угол броска $\alpha$. Таким образом, даже при одинаковой начальной скорости $v_0$ для всех углов, наличие начальной высоты $h > 0$ смещает оптимальный угол в сторону значений, меньших $45^\circ$.

Второй, и, возможно, более значимый фактор — это биомеханика человека. Начальная скорость $v_0$, которую спортсмен способен сообщить ядру, не постоянна, а сама зависит от угла $\alpha$. Строение мышц и суставов человека таково, что максимальная мощность толчка (и, следовательно, максимальная начальная скорость ядра) достигается при углах, как правило, меньших $45^\circ$. Поскольку дальность полёта пропорциональна квадрату начальной скорости ($L \sim v_0^2$), даже небольшое увеличение $v_0$ приводит к значительному увеличению дальности. Поэтому для спортсмена выгоднее выбрать угол, при котором он сможет сообщить ядру максимальную скорость, даже если этот угол отличается от теоретически оптимального для полёта.

В итоге, оптимальный угол для толкания ядра является результатом компромисса между этими двумя факторами. На практике у элитных спортсменов этот угол обычно находится в диапазоне $37^\circ-42^\circ$.

Ответ: Спортсмен толкает ядро под углом меньше $45^\circ$ по двум основным причинам: 1) ядро выпускается со значительной высоты над землёй, что делает более выгодным увеличение горизонтальной составляющей скорости за счёт уменьшения угла; 2) из-за особенностей биомеханики спортсмен может сообщить ядру максимальную начальную скорость именно при углах меньше $45^\circ$, а дальность полёта сильно зависит от начальной скорости.