Номер 227, страница 39 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Свободное падение тел - номер 227, страница 39.

Условие.

* 227. Два тела начали свободно падать с одной и той же высоты одно вслед за другим через 5 с. Через какое время, считая от начала движения первого тела, расстояние между телами будет равно 200 м?

Решение.

Дано:

$v_{01} = 0$ м/с (начальная скорость первого тела)

$v_{02} = 0$ м/с (начальная скорость второго тела)

$\Delta t = 5$ с (задержка старта второго тела)

$\Delta h = 200$ м (требуемое расстояние между телами)

$g \approx 10$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$t_1$ — время от начала движения первого тела.

Решение:

Движение обоих тел является свободным падением, которое описывается уравнением для пути, пройденного при равноускоренном движении без начальной скорости:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Пусть $t_1$ — это искомое время, прошедшее с момента начала падения первого тела. За это время первое тело пройдет расстояние:

$h_1 = \frac{gt_1^2}{2}$

Второе тело начинает свое движение на $\Delta t = 5$ с позже, следовательно, время его движения на момент $t_1$ составляет $t_2 = t_1 - \Delta t$. Расстояние, которое пройдет второе тело, равно:

$h_2 = \frac{g(t_1 - \Delta t)^2}{2}$

Расстояние между телами $\Delta h$ равно разности путей, пройденных первым и вторым телами (при условии $t_1 > \Delta t$):

$\Delta h = h_1 - h_2$

Подставим выражения для $h_1$ и $h_2$ в это уравнение:

$\Delta h = \frac{gt_1^2}{2} - \frac{g(t_1 - \Delta t)^2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{g}{2}$ за скобки:

$\Delta h = \frac{g}{2} \left( t_1^2 - (t_1 - \Delta t)^2 \right)$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$\Delta h = \frac{g}{2} \left( t_1^2 - (t_1^2 - 2t_1\Delta t + (\Delta t)^2) \right)$

$\Delta h = \frac{g}{2} (t_1^2 - t_1^2 + 2t_1\Delta t - (\Delta t)^2)$

$\Delta h = \frac{g}{2} (2t_1\Delta t - (\Delta t)^2)$

Теперь из полученного выражения выразим искомое время $t_1$:

$2\Delta h = g(2t_1\Delta t - (\Delta t)^2)$

$\frac{2\Delta h}{g} = 2t_1\Delta t - (\Delta t)^2$

$2t_1\Delta t = \frac{2\Delta h}{g} + (\Delta t)^2$

$t_1 = \frac{1}{2\Delta t} \left( \frac{2\Delta h}{g} + (\Delta t)^2 \right) = \frac{\Delta h}{g\Delta t} + \frac{\Delta t}{2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в выведенную формулу:

$t_1 = \frac{200 \text{ м}}{10 \text{ м/с²} \cdot 5 \text{ с}} + \frac{5 \text{ с}}{2} = \frac{200}{50} \text{ с} + 2.5 \text{ с} = 4 \text{ с} + 2.5 \text{ с} = 6.5 \text{ с}$

Ответ: расстояние между телами будет равно 200 м через 6,5 с после начала движения первого тела.