Номер 230, страница 39 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Свободное падение тел. Законы движения и взаимодействия тел - номер 230, страница 39.

* 230. Мальчик прыгает в длину. Под каким углом к горизонту совершены прыжки, если: а) дальность полёта $L$ больше максимальной высоты полёта $H$ в 3 раза; б) $L=H$?

Дано:

а) $L = 3H$

б) $L = H$

Найти:

$\alpha$ - ?

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (в данном случае, прыжок мальчика), можно описать, пренебрегая сопротивлением воздуха. Дальность полёта $L$ и максимальная высота подъёма $H$ определяются следующими формулами:

Дальность полёта: $L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Максимальная высота полёта: $H = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Здесь $v_0$ — начальная скорость прыжка, $\alpha$ — угол, под которым совершён прыжок к горизонту, а $g$ — ускорение свободного падения.

а)

По условию задачи, дальность полёта в 3 раза больше максимальной высоты, то есть $L = 3H$. Подставим в это равенство формулы для $L$ и $H$:

$\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = 3 \cdot \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Сократим в обеих частях уравнения одинаковые множители $v_0^2$ и $g$ (так как начальная скорость и ускорение свободного падения не равны нулю):

$\sin(2\alpha) = \frac{3}{2} \sin^2(\alpha)$

Воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

$2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{3}{2} \sin^2(\alpha)$

Так как прыжок совершён, угол $\alpha$ находится в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$, следовательно $\sin(\alpha) \neq 0$. Можем разделить обе части уравнения на $\sin(\alpha)$:

$2\cos(\alpha) = \frac{3}{2} \sin(\alpha)$

Теперь выразим тангенс угла $\alpha$, зная что $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$:

$\tan(\alpha) = \frac{2 \cdot 2}{3} = \frac{4}{3}$

Найдём значение угла $\alpha$:

$\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ$

Ответ: угол прыжка равен примерно $53^\circ$.

б)

По условию задачи, дальность полёта равна максимальной высоте, то есть $L = H$. Снова подставим формулы для $L$ и $H$:

$\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Сократим $v_0^2$ и $g$:

$\sin(2\alpha) = \frac{1}{2} \sin^2(\alpha)$

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $:

$2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2} \sin^2(\alpha)$

Разделим обе части на $\sin(\alpha)$ (поскольку $\alpha \neq 0$):

$2\cos(\alpha) = \frac{1}{2} \sin(\alpha)$

Выразим тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{2 \cdot 2}{1} = 4$

Найдём значение угла $\alpha$:

$\alpha = \arctan(4) \approx 75.96^\circ$

Ответ: угол прыжка равен примерно $76^\circ$.