Номер 235, страница 40 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Свободное падение тел. Законы движения и взаимодействия тел - номер 235, страница 40.

► 235. Докажите, что при отсутствии сопротивления воздуха время $t_1$ поднятия тела на высоту $h$ равно времени $t_2$ падения его с этой высоты.

Доказать: $t_1 = t_2$, где $t_1$ – время поднятия тела на высоту $h$, а $t_2$ – время падения с той же высоты $h$.

Решение:

Рассмотрим движение тела в поле тяжести Земли при отсутствии сопротивления воздуха. В этом случае движение является равноускоренным, с ускорением свободного падения $g$, направленным вертикально вниз.

Для решения задачи выберем систему отсчета, связанную с Землей, а ось $OY$ направим вертикально вверх. Тогда проекция ускорения на эту ось будет $a_y = -g$.

Рассмотрим этап подъема тела. Пусть начальная скорость тела равна $v_0$. На максимальной высоте $h$ скорость тела обращается в ноль. Время подъема $t_1$ можно найти из уравнения для скорости при равноускоренном движении $v_y = v_{0y} + a_y t$.

$0 = v_0 - g t_1$

Отсюда находим время подъема:

$t_1 = \frac{v_0}{g}$

Теперь свяжем начальную скорость $v_0$ с высотой подъема $h$. Воспользуемся формулой, связывающей перемещение, скорости и ускорение: $h = \frac{v_y^2 - v_{0y}^2}{2a_y}$.

$h = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-g)} = \frac{-v_0^2}{-2g} = \frac{v_0^2}{2g}$

Из этого соотношения выразим начальную скорость $v_0 = \sqrt{2gh}$ и подставим ее в формулу для времени подъема:

$t_1 = \frac{\sqrt{2gh}}{g} = \sqrt{\frac{2gh}{g^2}} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Теперь рассмотрим этап падения тела с высоты $h$. На этом этапе начальная скорость тела равна нулю. Тело движется вниз, и его перемещение по модулю равно $h$. Время падения $t_2$ можно найти из уравнения для перемещения $h = v_{0y}t + \frac{a t^2}{2}$. В данном случае удобнее направить ось вниз, тогда $a=g$, $v_0=0$.

$h = 0 \cdot t_2 + \frac{g t_2^2}{2} = \frac{g t_2^2}{2}$

Выразим из этого уравнения время падения $t_2$:

$t_2^2 = \frac{2h}{g} \implies t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Сравнивая полученные выражения для времени подъема $t_1$ и времени падения $t_2$, мы видим, что они равны:

$t_1 = t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: При отсутствии сопротивления воздуха время поднятия тела на высоту $h$ равно времени падения его с этой высоты.