Номер 241, страница 40 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Свободное падение тел - номер 241, страница 40.

Условие.

► 241. Итальянский учёный Никола Тарталья (1499–1557) в одной из своих работ сообщил, что он «после изрядного размышления» доказал «естественными и математическими доводами», что наибольшая дальность полёта снаряда достигается при наклоне орудия под углом $45^\circ$ к горизонту. Подтвердите математически вывод учёного.

Решение.

Дано:

$v_0$ — начальная скорость снаряда
$α$ — угол наклона орудия к горизонту
$g$ — ускорение свободного падения
Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Найти:

Угол $α$, при котором дальность полёта $L$ будет максимальной.

Решение:

Для решения задачи рассмотрим движение снаряда в системе координат, где ось $OX$ направлена горизонтально, а ось $OY$ — вертикально вверх. Начало координат поместим в точку вылета снаряда.

Движение снаряда представляет собой сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного по вертикали. Разложим вектор начальной скорости $v_0$ на составляющие:

• Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos(α)$
• Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin(α)$

Тогда уравнения для координат снаряда в любой момент времени $t$ будут выглядеть так:

$x(t) = v_{0x} t = v_0 \cos(α) \cdot t$

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(α) \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

Полное время полёта снаряда $T$ — это время, через которое он вернётся на начальную высоту, то есть $y(T) = 0$.

$v_0 \sin(α) \cdot T - \frac{gT^2}{2} = 0$

$T \cdot (v_0 \sin(α) - \frac{gT}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $T_1 = 0$ (момент начала движения) и $T_2 = \frac{2v_0 \sin(α)}{g}$ (момент падения). Нас интересует второе решение, так как оно соответствует полному времени полёта.

$T = \frac{2v_0 \sin(α)}{g}$

Дальность полёта $L$ — это горизонтальное расстояние, которое снаряд пролетит за время $T$. Чтобы найти его, подставим значение $T$ в уравнение для координаты $x$:

$L = x(T) = v_0 \cos(α) \cdot T = v_0 \cos(α) \cdot \frac{2v_0 \sin(α)}{g}$

$L = \frac{v_0^2 \cdot (2 \sin(α) \cos(α))}{g}$

Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $ \sin(2α) = 2 \sin(α) \cos(α) $, мы можем упростить выражение для дальности полёта:

$L(α) = \frac{v_0^2 \sin(2α)}{g}$

Из этой формулы видно, что дальность полёта $L$ является функцией угла $α$. Так как начальная скорость $v_0$ и ускорение свободного падения $g$ — постоянные величины, дальность полёта будет максимальной, когда значение $ \sin(2α) $ будет максимальным.

Максимальное значение функции синус равно 1.

$\sin(2α)_{max} = 1$

Это условие выполняется, когда аргумент синуса равен $90°$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

$2α = 90°$

$α = 45°$

Таким образом, мы математически доказали, что наибольшая дальность полёта снаряда достигается при угле наклона орудия $45°$ к горизонту, что подтверждает вывод Николы Тартальи.

Ответ: Вывод учёного математически подтверждён. Дальность полёта снаряда описывается формулой $L = \frac{v_0^2 \sin(2α)}{g}$. Эта величина максимальна, когда $\sin(2α) = 1$, что соответствует углу $α = 45°$.