Номер 238, страница 40 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Свободное падение тел - номер 238, страница 40.

Условие.

► 238. В результате экспериментов Галилей пришёл к выводу о том, «что пространства, проходимые падающим телом в одинаковые промежутки времени, относятся между собой как последовательные нечётные числа». Что следует из этого вывода учёного?

Решение.

Решение

Вывод Галилея утверждает, что расстояния, которые проходит падающее тело за последовательные равные промежутки времени, соотносятся как последовательные нечётные числа. Чтобы понять, что из этого следует, проанализируем это утверждение математически.

Предположим, что тело начинает падать из состояния покоя (начальная скорость $v_0 = 0$). Разобьём время падения на равные промежутки, каждый длительностью $\Delta t$.

Пусть $\Delta s_1$ — расстояние, пройденное за первый промежуток времени (от $0$ до $\Delta t$).
$\Delta s_2$ — расстояние, пройденное за второй промежуток времени (от $\Delta t$ до $2\Delta t$).
$\Delta s_3$ — расстояние, пройденное за третий промежуток времени (от $2\Delta t$ до $3\Delta t$).
И так далее, $\Delta s_n$ — расстояние, пройденное за n-й промежуток времени.

Согласно выводу Галилея, справедливо соотношение:

$\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 : \dots = 1 : 3 : 5 : \dots$

Это означает, что если за первый промежуток времени тело прошло путь $\Delta s_1$, то за второй оно пройдёт путь $3\Delta s_1$, за третий — $5\Delta s_1$, и за n-й промежуток — $(2n-1)\Delta s_1$.

Теперь рассчитаем полный путь $S_N$, пройденный телом за $N$ таких промежутков, то есть за общее время $t = N \cdot \Delta t$. Полный путь равен сумме путей, пройденных за каждый из промежутков:

$S_N = \Delta s_1 + \Delta s_2 + \Delta s_3 + \dots + \Delta s_N = \Delta s_1 \cdot (1 + 3 + 5 + \dots + (2N-1))$

Известно, что сумма первых $N$ нечётных натуральных чисел равна $N^2$. То есть:

$1 + 3 + 5 + \dots + (2N-1) = N^2$

Следовательно, полный путь, пройденный телом за $N$ промежутков времени, равен:

$S_N = \Delta s_1 \cdot N^2$

Поскольку общее время движения $t = N \cdot \Delta t$, то количество промежутков $N = \frac{t}{\Delta t}$. Подставим это в выражение для пути:

$S(t) = \Delta s_1 \cdot \left(\frac{t}{\Delta t}\right)^2 = \frac{\Delta s_1}{(\Delta t)^2} \cdot t^2$

В этом выражении дробь $\frac{\Delta s_1}{(\Delta t)^2}$ является постоянной величиной для данного движения. Обозначим её как некий коэффициент $k$. Тогда зависимость пути от времени принимает вид:

$S(t) = k \cdot t^2$

Эта формула показывает, что путь, проходимый свободно падающим телом, прямо пропорционален квадрату времени его падения. Такая зависимость характерна для равноускоренного движения без начальной скорости, которое описывается формулой:

$S(t) = \frac{at^2}{2}$

где $a$ — постоянное ускорение.

Таким образом, из вывода Галилея напрямую следует, что свободное падение является движением с постоянным ускорением (равноускоренным движением).

Ответ: Из вывода Галилея следует, что свободное падение тел является равноускоренным движением, то есть движением с постоянным ускорением. Как следствие, путь, пройденный телом при свободном падении из состояния покоя, прямо пропорционален квадрату времени падения ($S \propto t^2$).