Номер 240, страница 40 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Свободное падение тел. Законы движения и взаимодействия тел - номер 240, страница 40.

► 240. Два тела, массы которых $M$ и $m$ ($M > m$), подняты на одинаковую высоту над землёй и одновременно отпущены. Исследуйте, одновременно ли они приземлятся, если сила сопротивления воздуха для обоих тел одинакова и постоянна.

Дано:

Массы тел: $M$ и $m$

Условие: $M > m$

Высота падения: $h$ (одинаковая для обоих тел)

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Сила сопротивления воздуха: $F_{сопр}$ (одинакова и постоянна для обоих тел)

Найти:

Сравнить время падения тел $t_M$ и $t_m$.

Решение:

На каждое тело во время падения действуют две силы: сила тяжести ($F_{тяж}$), направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха ($F_{сопр}$), направленная вертикально вверх. Выберем ось OY, направленную вертикально вниз. Тогда второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на эту ось будет выглядеть следующим образом.

Для тела с массой $M$:

$M \cdot a_M = F_{тяж, M} - F_{сопр}$

$M \cdot a_M = M \cdot g - F_{сопр}$

Отсюда находим ускорение тела с массой $M$:

$a_M = \frac{M \cdot g - F_{сопр}}{M} = g - \frac{F_{сопр}}{M}$

Для тела с массой $m$:

$m \cdot a_m = F_{тяж, m} - F_{сопр}$

$m \cdot a_m = m \cdot g - F_{сопр}$

Отсюда находим ускорение тела с массой $m$:

$a_m = \frac{m \cdot g - F_{сопр}}{m} = g - \frac{F_{сопр}}{m}$

Теперь сравним ускорения $a_M$ и $a_m$. По условию задачи $M > m$. Из этого следует, что $\frac{1}{M} < \frac{1}{m}$.

Поскольку сила сопротивления $F_{сопр}$ — величина положительная, то:

$\frac{F_{сопр}}{M} < \frac{F_{сопр}}{m}$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$-\frac{F_{сопр}}{M} > -\frac{F_{сопр}}{m}$

Прибавим к обеим частям ускорение свободного падения $g$:

$g - \frac{F_{сопр}}{M} > g - \frac{F_{сопр}}{m}$

Таким образом, мы получаем, что $a_M > a_m$. Это означает, что тело с большей массой падает с большим ускорением.

Тела падают с одной и той же высоты $h$ без начальной скорости. Движение является равноускоренным. Путь, пройденный телом, определяется по формуле: $h = \frac{a \cdot t^2}{2}$.

Выразим из этой формулы время падения $t$:

$t = \sqrt{\frac{2h}{a}}$

Из формулы видно, что время падения обратно пропорционально корню из ускорения. Поскольку ускорение тела с массой $M$ больше, чем ускорение тела с массой $m$ ($a_M > a_m$), время его падения будет меньше:

$t_M < t_m$

Ответ: Тела приземлятся не одновременно. Тело с большей массой $M$ приземлится раньше, так как оно движется с большим ускорением.