Страница 39 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

224. Дальность полёта тела, брошенного в горизонтальном направлении со скоростью $5 \text{ м/с}$, равна высоте бросания. С какой высоты брошено тело?

Дано:

Начальная скорость тела, брошенного в горизонтальном направлении, $v_x = 5 \text{ м/с}$.

Дальность полёта $L$ равна высоте бросания $h$, то есть $L = h$.

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Начальная вертикальная скорость $v_{0y} = 0 \text{ м/с}$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Высоту бросания $h$.

Решение:

Движение тела можно разложить на две независимые составляющие: равномерное движение по горизонтали (ось X) и равноускоренное движение (свободное падение) по вертикали (ось Y).

1. Время полёта тела $t$ определяется его вертикальным движением. Поскольку тело брошено горизонтально, его начальная вертикальная скорость $v_{0y}$ равна нулю. Высота, с которой падает тело, связана со временем падения следующим соотношением:

$h = v_{0y}t + \frac{gt^2}{2} = 0 \cdot t + \frac{gt^2}{2} = \frac{gt^2}{2}$

Из этой формулы можно выразить время полёта $t$:

$t^2 = \frac{2h}{g} \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

2. Дальность полёта $L$ — это расстояние, которое тело пролетело по горизонтали за время полёта $t$. Так как по горизонтали тело движется равномерно со скоростью $v_x$, дальность полёта вычисляется по формуле:

$L = v_x \cdot t$

3. Согласно условию задачи, дальность полёта равна высоте бросания, то есть $L = h$. Приравняем выражения для $L$ и $h$:

$h = v_x \cdot t$

Теперь подставим в это уравнение выражение для времени $t$, полученное в первом шаге:

$h = v_x \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}$

4. Решим полученное уравнение относительно $h$. Для этого возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$h^2 = \left(v_x \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}\right)^2$

$h^2 = v_x^2 \cdot \frac{2h}{g}$

Поскольку $h > 0$ (тело брошено с некоторой высоты), мы можем разделить обе части уравнения на $h$:

$h = \frac{2v_x^2}{g}$

5. Подставим известные числовые значения в полученную формулу:

$h = \frac{2 \cdot (5 \text{ м/с})^2}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{2 \cdot 25 \text{ м}^2/\text{с}^2}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{50}{10} \text{ м} = 5 \text{ м}$.

Ответ: тело было брошено с высоты 5 м.

* 225. С воздушного шара, поднимающегося со скоростью $10 \text{ м/с}$, сбрасывают груз, который достигает поверхности земли через $8 \text{ с}$. На какой высоте находился шар в момент сбрасывания груза?

Дано:

$v_0 = 10$ м/с

$t = 8$ с

$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$h$ - ?

Решение:

В момент сбрасывания груз имеет ту же скорость, что и воздушный шар. Так как шар поднимается, начальная скорость груза $v_0$ направлена вертикально вверх.

Выберем систему отсчета, связанную с поверхностью земли. Направим ось OY вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) разместим на земле. Тогда начальная высота груза будет равна высоте шара $h$, которую нам нужно найти.

Движение груза после сбрасывания — это свободное падение с начальной скоростью, направленной вверх. Движение является равноускоренным с ускорением $a = -g$ (знак "минус" указывает, что ускорение направлено против оси OY).

Запишем уравнение для координаты $y$ (высоты) груза в любой момент времени $t$:

$y(t) = y_0 + v_{0}t + \frac{a t^2}{2}$

В нашем случае:

• $y_0 = h$ — начальная высота.
• $v_0 = 10$ м/с — начальная скорость.
• $a = -g \approx -10$ м/с².

По условию, груз достигает земли ($y(t) = 0$) через время $t = 8$ с. Подставим все известные значения в уравнение движения:

$0 = h + v_0 t - \frac{g t^2}{2}$

Выразим из этого уравнения искомую высоту $h$:

$h = \frac{g t^2}{2} - v_0 t$

Теперь подставим числовые значения и выполним расчет:

$h = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (8 \text{ с})^2}{2} - 10 \text{ м/с} \cdot 8 \text{ с} = \frac{10 \cdot 64}{2} \text{ м} - 80 \text{ м}$

$h = 5 \cdot 64 \text{ м} - 80 \text{ м} = 320 \text{ м} - 80 \text{ м} = 240 \text{ м}$

Ответ: шар находился на высоте 240 м в момент сбрасывания груза.

* 226. Определите высоту Останкинской телевизионной башни, если шарик, падая с башни без начальной скорости, последние 185 м пути пролетел за 2 с.

Дано:

$\Delta h = 185$ м

$\Delta t = 2$ с

$v_0 = 0$ м/с

$g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

$H$ - ?

Решение:

Обозначим полную высоту башни как $H$. Движение шарика — свободное падение без начальной скорости.

Пусть $v_1$ — это скорость шарика в начале последнего участка пути длиной $\Delta h$. Этот участок шарик пролетел за время $\Delta t$. Движение на этом участке является равноускоренным с начальной скоростью $v_1$.

Пройденный путь $\Delta h$ можно выразить через уравнение:

$\Delta h = v_1 \Delta t + \frac{g (\Delta t)^2}{2}$

Из этого уравнения мы можем найти скорость $v_1$:

$v_1 \Delta t = \Delta h - \frac{g (\Delta t)^2}{2}$

$v_1 = \frac{\Delta h}{\Delta t} - \frac{g \Delta t}{2}$

Подставим известные значения:

$v_1 = \frac{185 \text{ м}}{2 \text{ с}} - \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ с}}{2} = 92.5 \text{ м/с} - 9.8 \text{ м/с} = 82.7 \text{ м/с}$

Эта скорость была достигнута шариком после падения с высоты $h_1 = H - \Delta h$. Для свободного падения с нулевой начальной скоростью связь между скоростью и пройденным путем описывается формулой:

$v_1^2 = 2 g h_1$

Отсюда можем найти высоту $h_1$:

$h_1 = \frac{v_1^2}{2g}$

Подставим значение $v_1$:

$h_1 = \frac{(82.7 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{6839.29 \text{ м}^2/\text{с}^2}{19.6 \text{ м/с}^2} \approx 348.94 \text{ м}$

Полная высота башни $H$ равна сумме высоты $h_1$ и последнего участка $\Delta h$:

$H = h_1 + \Delta h = 348.94 \text{ м} + 185 \text{ м} = 533.94 \text{ м}$

Округлим результат до целого числа.

Ответ: $H \approx 534$ м.

* 227. Два тела начали свободно падать с одной и той же высоты одно вслед за другим через 5 с. Через какое время, считая от начала движения первого тела, расстояние между телами будет равно 200 м?

Дано:

$v_{01} = 0$ м/с (начальная скорость первого тела)

$v_{02} = 0$ м/с (начальная скорость второго тела)

$\Delta t = 5$ с (задержка старта второго тела)

$\Delta h = 200$ м (требуемое расстояние между телами)

$g \approx 10$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$t_1$ — время от начала движения первого тела.

Решение:

Движение обоих тел является свободным падением, которое описывается уравнением для пути, пройденного при равноускоренном движении без начальной скорости:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Пусть $t_1$ — это искомое время, прошедшее с момента начала падения первого тела. За это время первое тело пройдет расстояние:

$h_1 = \frac{gt_1^2}{2}$

Второе тело начинает свое движение на $\Delta t = 5$ с позже, следовательно, время его движения на момент $t_1$ составляет $t_2 = t_1 - \Delta t$. Расстояние, которое пройдет второе тело, равно:

$h_2 = \frac{g(t_1 - \Delta t)^2}{2}$

Расстояние между телами $\Delta h$ равно разности путей, пройденных первым и вторым телами (при условии $t_1 > \Delta t$):

$\Delta h = h_1 - h_2$

Подставим выражения для $h_1$ и $h_2$ в это уравнение:

$\Delta h = \frac{gt_1^2}{2} - \frac{g(t_1 - \Delta t)^2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{g}{2}$ за скобки:

$\Delta h = \frac{g}{2} \left( t_1^2 - (t_1 - \Delta t)^2 \right)$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$\Delta h = \frac{g}{2} \left( t_1^2 - (t_1^2 - 2t_1\Delta t + (\Delta t)^2) \right)$

$\Delta h = \frac{g}{2} (t_1^2 - t_1^2 + 2t_1\Delta t - (\Delta t)^2)$

$\Delta h = \frac{g}{2} (2t_1\Delta t - (\Delta t)^2)$

Теперь из полученного выражения выразим искомое время $t_1$:

$2\Delta h = g(2t_1\Delta t - (\Delta t)^2)$

$\frac{2\Delta h}{g} = 2t_1\Delta t - (\Delta t)^2$

$2t_1\Delta t = \frac{2\Delta h}{g} + (\Delta t)^2$

$t_1 = \frac{1}{2\Delta t} \left( \frac{2\Delta h}{g} + (\Delta t)^2 \right) = \frac{\Delta h}{g\Delta t} + \frac{\Delta t}{2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в выведенную формулу:

$t_1 = \frac{200 \text{ м}}{10 \text{ м/с²} \cdot 5 \text{ с}} + \frac{5 \text{ с}}{2} = \frac{200}{50} \text{ с} + 2.5 \text{ с} = 4 \text{ с} + 2.5 \text{ с} = 6.5 \text{ с}$

Ответ: расстояние между телами будет равно 200 м через 6,5 с после начала движения первого тела.

* 228. С какой скоростью надо бросать копьё под углом $30^\circ$ к горизонту, чтобы дальность полёта была равной 68 м?

Дано:

Угол броска к горизонту, $ \alpha = 30° $

Дальность полёта, $ L = 68 \text{ м} $

Ускорение свободного падения, $ g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 $

Найти:

Начальную скорость броска, $ v_0 $

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой дальности полёта тела, брошенного под углом к горизонту. Сопротивление воздуха не учитываем. Формула имеет вид:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

где $L$ – дальность полёта, $v_0$ – начальная скорость, $\alpha$ – угол броска, $g$ – ускорение свободного падения.

Из этой формулы нам необходимо выразить начальную скорость $v_0$:

$v_0^2 = \frac{L \cdot g}{\sin(2\alpha)}$

$v_0 = \sqrt{\frac{L \cdot g}{\sin(2\alpha)}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$v_0 = \sqrt{\frac{68 \text{ м} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{\sin(2 \cdot 30°)}} = \sqrt{\frac{666.4 \text{ м}^2/\text{с}^2}{\sin(60°)}}$

Мы знаем, что значение синуса 60 градусов равно $ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 $.

Произведем вычисления:

$v_0 = \sqrt{\frac{666.4}{0.866}} \approx \sqrt{769.5} \approx 27.74 \text{ м/с}$

Округлим полученное значение до десятых.

$v_0 \approx 27.7 \text{ м/с}$

Ответ: чтобы дальность полёта копья была равной 68 м, его надо бросать со скоростью примерно 27,7 м/с.

* 229. Спортсмен на Земле толкнул ядро на 20 м. На какое расстояние полетело бы это ядро при тех же условиях на Марсе ($g = 3.7 \, \text{м}/\text{с}^2$); на Юпитере ($g = 23 \, \text{м}/\text{с}^2$)?

Дано:

$L_З = 20 \, м$ (дальность полета ядра на Земле)

$g_З \approx 9.8 \, м/с^2$ (ускорение свободного падения на Земле)

$g_М = 3.7 \, м/с^2$ (ускорение свободного падения на Марсе)

$g_Ю = 23 \, м/с^2$ (ускорение свободного падения на Юпитере)

Найти:

$L_М$ — ? (дальность полета на Марсе)

$L_Ю$ — ? (дальность полета на Юпитере)

Решение:

Дальность полета тела, брошенного под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$, определяется формулой (пренебрегая сопротивлением воздуха и предполагая, что высота броска и падения одинакова):

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

где $g$ — ускорение свободного падения на планете.

Согласно условию задачи, бросок на других планетах производится "при тех же условиях", что означает, что начальная скорость $v_0$ и угол броска $\alpha$ остаются неизменными. Следовательно, выражение $v_0^2 \sin(2\alpha)$ является постоянной величиной для всех трех случаев (Земля, Марс, Юпитер).

Из формулы видно, что дальность полета $L$ обратно пропорциональна ускорению свободного падения $g$. Это можно записать в виде соотношения:

$L \cdot g = \text{const}$

Следовательно, мы можем написать равенство для Земли и любой другой планеты:

$L_З \cdot g_З = L_П \cdot g_П$

где индекс "П" обозначает другую планету. Отсюда можно выразить дальность полета на другой планете:

$L_П = L_З \cdot \frac{g_З}{g_П}$

Теперь рассчитаем дальность полета для Марса и Юпитера.

на Марсе

Используем выведенную формулу для Марса:

$L_М = L_З \cdot \frac{g_З}{g_М}$

Подставим числовые значения:

$L_М = 20 \, м \cdot \frac{9.8 \, м/с^2}{3.7 \, м/с^2} \approx 52.97 \, м$

Округлив результат до двух значащих цифр, получаем $53 \, м$.

Ответ: на Марсе ядро улетело бы на расстояние примерно $53 \, м$.

на Юпитере

Аналогично рассчитаем дальность полета на Юпитере:

$L_Ю = L_З \cdot \frac{g_З}{g_Ю}$

Подставим числовые значения:

$L_Ю = 20 \, м \cdot \frac{9.8 \, м/с^2}{23 \, м/с^2} \approx 8.52 \, м$

Округлив результат до двух значащих цифр, получаем $8.5 \, м$.

Ответ: на Юпитере ядро улетело бы на расстояние примерно $8.5 \, м$.

* 230. Мальчик прыгает в длину. Под каким углом к горизонту совершены прыжки, если: а) дальность полёта $L$ больше максимальной высоты полёта $H$ в 3 раза; б) $L=H$?

Дано:

а) $L = 3H$

б) $L = H$

Найти:

$\alpha$ - ?

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (в данном случае, прыжок мальчика), можно описать, пренебрегая сопротивлением воздуха. Дальность полёта $L$ и максимальная высота подъёма $H$ определяются следующими формулами:

Дальность полёта: $L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Максимальная высота полёта: $H = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Здесь $v_0$ — начальная скорость прыжка, $\alpha$ — угол, под которым совершён прыжок к горизонту, а $g$ — ускорение свободного падения.

а)

По условию задачи, дальность полёта в 3 раза больше максимальной высоты, то есть $L = 3H$. Подставим в это равенство формулы для $L$ и $H$:

$\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = 3 \cdot \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Сократим в обеих частях уравнения одинаковые множители $v_0^2$ и $g$ (так как начальная скорость и ускорение свободного падения не равны нулю):

$\sin(2\alpha) = \frac{3}{2} \sin^2(\alpha)$

Воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

$2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{3}{2} \sin^2(\alpha)$

Так как прыжок совершён, угол $\alpha$ находится в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$, следовательно $\sin(\alpha) \neq 0$. Можем разделить обе части уравнения на $\sin(\alpha)$:

$2\cos(\alpha) = \frac{3}{2} \sin(\alpha)$

Теперь выразим тангенс угла $\alpha$, зная что $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$:

$\tan(\alpha) = \frac{2 \cdot 2}{3} = \frac{4}{3}$

Найдём значение угла $\alpha$:

$\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ$

Ответ: угол прыжка равен примерно $53^\circ$.

б)

По условию задачи, дальность полёта равна максимальной высоте, то есть $L = H$. Снова подставим формулы для $L$ и $H$:

$\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Сократим $v_0^2$ и $g$:

$\sin(2\alpha) = \frac{1}{2} \sin^2(\alpha)$

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $:

$2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2} \sin^2(\alpha)$

Разделим обе части на $\sin(\alpha)$ (поскольку $\alpha \neq 0$):

$2\cos(\alpha) = \frac{1}{2} \sin(\alpha)$

Выразим тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{2 \cdot 2}{1} = 4$

Найдём значение угла $\alpha$:

$\alpha = \arctan(4) \approx 75.96^\circ$

Ответ: угол прыжка равен примерно $76^\circ$.

* 231. Гепард — самое быстрое животное. Он развивает скорость до 90 км/ч, совершая при этом прыжки длиной до 25 м. Оцените приблизительно высоту этих прыжков.

Дано:

Скорость гепарда, $v = 90 \text{ км/ч}$

Длина прыжка, $L = 25 \text{ м}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Перевод в систему СИ:

Скорость $v = 90 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25 \text{ м/с}$.

Найти:

Высоту прыжка, $H$.

Решение:

Прыжок гепарда можно рассматривать как движение тела, брошенного под углом $\alpha$ к горизонту. В этом случае, пренебрегая сопротивлением воздуха, дальность полета $L$ и максимальная высота подъема $H$ описываются следующими формулами:

$L = \frac{v^2 \sin(2\alpha)}{g}$

$H = \frac{v^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Сначала из формулы для дальности полета найдем синус двойного угла броска $\sin(2\alpha)$:

$\sin(2\alpha) = \frac{Lg}{v^2}$

Подставим известные значения:

$\sin(2\alpha) = \frac{25 \text{ м} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{(25 \text{ м/с})^2} = \frac{250}{625} = \frac{10}{25} = 0.4$

Для нахождения высоты $H$ нам нужно знать $\sin^2(\alpha)$. Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени, которая связывает $\sin^2(\alpha)$ и $\cos(2\alpha)$:

$\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$

Найдем $\cos(2\alpha)$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(2\alpha) + \cos^2(2\alpha) = 1$:

$\cos(2\alpha) = \pm\sqrt{1 - \sin^2(2\alpha)} = \pm\sqrt{1 - 0.4^2} = \pm\sqrt{1 - 0.16} = \pm\sqrt{0.84}$

Так как гепард совершает длинный прыжок во время бега, логично предположить, что угол прыжка $\alpha$ является острым и меньше $45^\circ$ (что обеспечивает большую дальность, чем высоту). В этом случае $2\alpha$ будет меньше $90^\circ$, а косинус этого угла будет положительным. Поэтому выбираем знак "плюс":

$\cos(2\alpha) = \sqrt{0.84} \approx 0.917$

Теперь подставим выражение для $\sin^2(\alpha)$ в формулу для высоты $H$:

$H = \frac{v^2}{2g} \cdot \sin^2(\alpha) = \frac{v^2}{2g} \cdot \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} = \frac{v^2(1 - \cos(2\alpha))}{4g}$

Теперь мы можем вычислить приблизительную высоту прыжка:

$H \approx \frac{(25 \text{ м/с})^2 \cdot (1 - 0.917)}{4 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{625 \cdot 0.083}{40} = \frac{51.875}{40} \approx 1.297 \text{ м}$

Округлим результат до десятых.

Ответ: приблизительная высота прыжков гепарда составляет 1.3 м.

232. Тело брошено под углом к горизонту. Как меняются в ходе полёта до верхней точки траектории модуль его скорости, проекция скорости на горизонтальную ось и модуль ускорения?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения: 1) не изменяется 2) увеличивается 3) уменьшается

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Модуль скорости тела

Проекция скорости тела на горизонтальную ось

Модуль ускорения тела

Рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту. В данной модели мы пренебрегаем сопротивлением воздуха. Движение тела можно разложить на два независимых компонента: равномерное движение вдоль горизонтальной оси (оси Ox) и равноускоренное движение вдоль вертикальной оси (оси Oy). Ускорение тела постоянно и равно ускорению свободного падения $\vec{g}$, которое направлено вертикально вниз.

Полная скорость тела $\vec{v}$ в любой момент времени является векторной суммой горизонтальной ($v_x$) и вертикальной ($v_y$) составляющих. Модуль скорости (или скорость) определяется по теореме Пифагора: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$. При движении тела от точки броска до верхней точки траектории, горизонтальная составляющая скорости $v_x$ остается постоянной, так как в этом направлении не действуют силы. Вертикальная составляющая скорости $v_y$ уменьшается под действием силы тяжести, и в верхней точке траектории становится равной нулю. Поскольку $v_x$ — константа, а положительная величина $v_y$ уменьшается, то и значение $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ будет уменьшаться. Таким образом, модуль скорости тела уменьшается.

Ответ: 3

Поскольку мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, в горизонтальном направлении на тело не действуют никакие силы. Согласно второму закону Ньютона, ускорение в горизонтальном направлении равно нулю ($a_x = 0$). Это означает, что проекция скорости на горизонтальную ось не изменяется в течение всего полета. Она остается равной своему начальному значению $v_x = v_0 \cos\alpha$, где $v_0$ — начальная скорость, а $\alpha$ — угол броска. Следовательно, проекция скорости тела на горизонтальную ось не изменяется.

Ответ: 1

Единственная сила, действующая на тело во время полета (при отсутствии сопротивления воздуха), — это сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$. Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела $\vec{a} = \frac{\vec{F_g}}{m} = \vec{g}$. Ускорение свободного падения $\vec{g}$ вблизи поверхности Земли является постоянной величиной как по модулю ($g \approx 9.8$ м/с$^2$), так и по направлению (вертикально вниз). Таким образом, модуль ускорения тела на протяжении всего полета не изменяется.

Ответ: 1