Страница 32 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

► 170. Как с помощью одной рулетки сравнить массы двух стоящих на льду конькобежцев?

Решение

Для сравнения масс двух конькобежцев с помощью рулетки следует воспользоваться законом сохранения импульса. Так как конькобежцы стоят на льду, силу трения можно считать пренебрежимо малой, а систему из двух конькобежцев — замкнутой.

Эксперимент проводится следующим образом:

1. Конькобежцы встают на льду вплотную друг к другу.

2. Затем они одновременно отталкиваются друг от друга. По третьему закону Ньютона, силы, с которыми они взаимодействуют, равны по модулю и противоположны по направлению.

3. До толчка оба конькобежца покоились, поэтому суммарный импульс системы был равен нулю. Согласно закону сохранения импульса, после толчка суммарный импульс системы также должен остаться равным нулю. Пусть $m_1$ и $m_2$ — массы конькобежцев, а $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ — их скорости сразу после толчка. Тогда можно записать:

$m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} = 0$

Это векторное равенство означает, что импульсы конькобежцев равны по величине и противоположны по направлению:

$m_1 v_1 = m_2 v_2$

Из этого соотношения можно найти отношение масс:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1}$

4. Отношение скоростей можно определить, измерив расстояния $S_1$ и $S_2$, которые проскользит каждый конькобежец за одинаковый промежуток времени $t$ (например, до полной остановки). Считая движение после толчка равномерным, скорости равны $v_1 = S_1/t$ и $v_2 = S_2/t$. Подставив это в формулу для отношения масс, получим:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{S_2/t}{S_1/t} = \frac{S_2}{S_1}$

5. Таким образом, для сравнения масс необходимо с помощью рулетки измерить расстояния $S_1$ и $S_2$, пройденные конькобежцами от начальной точки до места их остановки. Отношение масс будет обратно пропорционально отношению пройденных расстояний. Конькобежец, который проехал меньшее расстояние, имеет большую массу.

Ответ:

Конькобежцам нужно встать на льду в одной точке и оттолкнуться друг от друга. После того как они остановятся, необходимо рулеткой измерить пройденные ими расстояния $S_1$ и $S_2$. Отношение их масс будет обратно пропорционально отношению пройденных расстояний: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{S_2}{S_1}$. Тот конькобежец, который проехал меньшее расстояние, имеет большую массу.

► 171. Аристотель считал, что причиной движения является сила, т. е. тело движется до тех пор, пока на него действует сила. Скорость тела, по Аристотелю, пропорциональна приложенной силе. Галилей же предполагал, что сила является не причиной движения, а причиной изменения движения. Кто из учёных был прав? Ответ поясните.

В споре между Аристотелем и Галилеем прав оказался Галилео Галилей.

Пояснение:

Взгляды Аристотеля основывались на повседневных наблюдениях. В земных условиях, чтобы тело, например, телега, двигалось с постоянной скоростью, к нему необходимо постоянно прикладывать силу. Это связано с тем, что на телегу постоянно действует сила трения, направленная против движения. Приложенная сила компенсирует силу трения, и в результате равнодействующая всех сил становится равной нулю, что и обеспечивает движение с постоянной скоростью. Аристотель ошибочно полагал, что приложенная сила и есть причина самой скорости, не учитывая в полной мере силу трения.

Галилей же, основываясь на своих экспериментах, ввел понятие инерции. Он предположил, что в идеальных условиях, при отсутствии трения и сопротивления воздуха, тело, получившее начальную скорость, будет сохранять её и двигаться прямолинейно и равномерно без приложения каких-либо внешних сил. Таким образом, сила не нужна для поддержания движения, она нужна для изменения движения, то есть для изменения скорости тела (как по величине, так и по направлению).

Позднее идеи Галилея были обобщены и сформулированы Исааком Ньютоном в виде законов механики. Второй закон Ньютона утверждает, что равнодействующая сила, действующая на тело, пропорциональна ускорению, которое она сообщает телу, и массе тела:

$\vec{F} = m\vec{a}$

Из этой формулы следует, что сила ($\vec{F}$) является причиной ускорения ($\vec{a}$), то есть изменения скорости, а не самой скорости. Если равнодействующая сила равна нулю, то и ускорение равно нулю. Это означает, что тело либо находится в состоянии покоя, либо движется с постоянной скоростью (движение по инерции).

Ответ: Прав был Галилей. Сила является причиной изменения скорости тела (то есть ускорения), а не причиной движения как такового. Тело способно двигаться с постоянной скоростью и при отсутствии внешних сил (или если их действие скомпенсировано) — это называется движением по инерции.

► 172. В книге Э. Распе «Приключения барона Мюнхгаузена» есть такой эпизод: «Я стал рядом с огромнейшей пушкой... и когда из пушки вылетело ядро, я вскочил на него верхом и лихо понёсся вперёд... Мимо меня пролетало встречное ядро... я пересел на него и как ни в чём не бывало помчался обратно». Почему такое путешествие на ядре невозможно?

Путешествие барона Мюнхгаузена на пушечном ядре, описанное в книге Э. Распе, является художественным вымыслом и абсолютно невозможно с точки зрения законов физики. Рассмотрим основные причины, делающие этот эпизод нереализуемым. Для наглядности введем некоторые примерные физические величины.

Дано

Масса барона Мюнхгаузена: $m_{б} \approx 80 \text{ кг}$
Масса пушечного ядра: $m_{я} \approx 10 \text{ кг}$
Скорость ядра при вылете из пушки: $v_{я} \approx 400 \text{ м/с}$ (примерно 1440 км/ч)

Найти:

Объяснить, почему описанное путешествие невозможно.

Решение

Проанализируем два ключевых момента из рассказа барона: прыжок на ядро и пересадку на встречное ядро.

1. Невозможность запрыгнуть на ядро при вылете из пушки

Во-первых, скорость пушечного ядра огромна. При скорости $v_{я} = 400 \text{ м/с}$ ядро пролетит первые 40 метров менее чем за 0,1 секунды. Время реакции человека значительно больше, поэтому барон просто не успел бы среагировать, чтобы запрыгнуть на летящее ядро.
Во-вторых, чтобы оказаться на ядре, барону, который до этого стоял на земле ($v_{б} = 0$), пришлось бы практически мгновенно набрать скорость ядра. Попытка совершить такой прыжок была бы равносильна столкновению с неподвижным объектом на скорости 1440 км/ч. Такой удар был бы абсолютно смертельным из-за колоссальных перегрузок.
В-третьих, само ядро в момент выстрела раскалено до высокой температуры из-за сгорания пороха, и сидеть на нем было бы невозможно.

2. Невозможность пересесть на встречное ядро

Предположим, барону каким-то чудом удалось оказаться на первом ядре, летящем со скоростью $v_1 = 400 \text{ м/с}$. Встречное ядро летит ему навстречу с такой же скоростью $v_2 = 400 \text{ м/с}$. Их относительная скорость сближения составляет $v_{отн} = v_1 + v_2 = 400 \text{ м/с} + 400 \text{ м/с} = 800 \text{ м/с}$ (около 2880 км/ч), что более чем в два раза превышает скорость звука.
Для того чтобы пересесть на встречное ядро, барону необходимо было бы полностью погасить свою первоначальную скорость и набрать такую же, но в обратном направлении. Это требует изменения импульса тела барона на величину $\Delta p = m_{б} \cdot (v_1 - (-v_2)) = m_{б} \cdot (v_1 + v_2)$.
Подставив значения, получим: $\Delta p = 80 \text{ кг} \cdot (400 \text{ м/с} + 400 \text{ м/с}) = 64000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.
Согласно второму закону Ньютона, для такого изменения импульса за короткое время $\Delta t$ потребовалась бы гигантская сила $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$. Даже если бы "пересадка" длилась целую секунду, сила составила бы 64000 Н, что эквивалентно весу объекта массой около 6,5 тонн. Человеческое тело не способно выдержать такую нагрузку.
Фактически, попытка пересесть была бы равносильна лобовому столкновению с объектом, движущимся на скорости 800 м/с, что привело бы к мгновенному и полному разрушению.

3. Прочие физические факторы

Помимо вышеуказанных причин, существуют и другие. На скорости 400 м/с сопротивление воздуха создало бы огромное давление и силу трения, которые просто сдули бы человека с гладкого и, вероятно, вращающегося ядра. Удержаться на нем было бы невозможно.

Ответ: Такое путешествие невозможно по целому ряду причин, основанных на фундаментальных законах физики. Основные из них: сверхчеловеческая реакция и ускорение, необходимые для того, чтобы запрыгнуть на ядро; смертельные перегрузки и удар при попытке сменить одно ядро на другое, движущееся с огромной относительной скоростью; а также экстремальные условия полета (высокая температура ядра, колоссальное сопротивление воздуха).

173. Укажите проявление третьего закона Ньютона в следующих случаях: а) при отталкивании от опоры прыгуна с вышки; б) при толкании ядра; в) в момент приземления прыгуна; г) при ударе по мячу.

Третий закон Ньютона гласит, что силы всегда возникают парами. Если тело А действует на тело Б с силой $\vec{F}_{А \to Б}$, то тело Б одновременно действует на тело А с силой $\vec{F}_{Б \to А}$. Эти силы равны по модулю и противоположны по направлению: $\vec{F}_{А \to Б} = -\vec{F}_{Б \to А}$. Рассмотрим проявление этого закона в предложенных случаях.

а) при отталкивании от опоры прыгуна с вышки

Когда прыгун отталкивается от вышки, он действует на нее с силой, направленной вниз и назад. Согласно третьему закону Ньютона, вышка в тот же момент действует на прыгуна с равной по величине, но противоположной по направлению силой. Эта сила, называемая силой реакции опоры, направлена вверх и вперед и именно она придает прыгуну ускорение, необходимое для прыжка. Если сила действия прыгуна на опору равна $\vec{F}_{прыгун \to опора}$, а сила действия опоры на прыгуна равна $\vec{F}_{опора \to прыгун}$, то $\vec{F}_{прыгун \to опора} = -\vec{F}_{опора \to прыгун}$.

Ответ: Прыгун действует на опору (вышку) с некоторой силой, а опора действует на прыгуна с точно такой же по модулю и противоположной по направлению силой.

б) при толкании ядра

Спортсмен, толкая ядро, прикладывает к нему силу, которая сообщает ядру ускорение. В то же самое время ядро, в соответствии с третьим законом Ньютона, действует на руку спортсмена с равной по модулю и противоположной по направлению силой. Эту силу противодействия спортсмен ощущает как давление на руку. Если сила, с которой рука действует на ядро, равна $\vec{F}_{рука \to ядро}$, а сила, с которой ядро действует на руку, равна $\vec{F}_{ядро \to рука}$, то $\vec{F}_{рука \to ядро} = -\vec{F}_{ядро \to рука}$.

Ответ: Рука спортсмена толкает ядро, а ядро с равной по величине и противоположной по направлению силой давит на руку.

в) в момент приземления прыгуна

В момент приземления прыгун воздействует на поверхность земли с силой, направленной вниз. По третьему закону Ньютона, земля одновременно действует на прыгуна с равной по модулю, но противоположной по направлению силой. Эта сила (сила нормальной реакции опоры) направлена вверх. Именно она замедляет движение прыгуна и в конечном итоге останавливает его. Если сила действия прыгуна на землю равна $\vec{F}_{прыгун \to земля}$, а сила действия земли на прыгуна равна $\vec{F}_{земля \to прыгун}$, то $\vec{F}_{прыгун \to земля} = -\vec{F}_{земля \to прыгун}$.

Ответ: Прыгун действует на землю с силой, направленной вниз, а земля действует на прыгуна с равной по модулю силой, направленной вверх.

г) при ударе по мячу

Во время удара, например, ногой по футбольному мячу, нога действует на мяч с определенной силой, заставляя его ускоряться. В тот же момент, согласно третьему закону Ньютона, мяч действует на ногу с точно такой же по величине и противоположной по направлению силой. Эту силу футболист ощущает как ответный удар по ноге. Если сила, с которой нога действует на мяч, равна $\vec{F}_{нога \to мяч}$, а сила, с которой мяч действует на ногу, равна $\vec{F}_{мяч \to нога}$, то $\vec{F}_{нога \to мяч} = -\vec{F}_{мяч \to нога}$.

Ответ: Ударяющий предмет (например, нога) действует на мяч с некоторой силой, и одновременно мяч действует на этот предмет с равной по модулю и противоположной по направлению силой.

174. Лошадь тянет сани. Рассмотрите взаимодействия тел: лошадь — сани, лошадь — земля, сани — земля. Объясните, почему движутся сани.

Лошадь — сани

Между лошадью и санями возникает пара сил взаимодействия. Лошадь тянет сани вперед с силой тяги $F_{т}$. Одновременно, согласно третьему закону Ньютона, сани тянут лошадь назад с силой $F'_{т}$, которая равна по модулю силе тяги ($|F_{т}| = |F'_{т}|$) и противоположна ей по направлению. Важно отметить, что эти силы приложены к разным телам (сила $F_{т}$ приложена к саням, а сила $F'_{т}$ — к лошади), поэтому они не могут уравновесить друг друга.

Лошадь — земля

Чтобы начать движение, лошадь отталкивается копытами от земли, действуя на нее с силой, направленной назад. По третьему закону Ньютона, земля в ответ действует на лошадь с равной по модулю, но противоположной по направлению силой $F_{дв}$. Эта сила (сила трения покоя) направлена вперед и является внешней движущей силой, которая и позволяет лошади двигаться вперед, преодолевая сопротивление.

Сани — земля

Когда сани движутся, между их полозьями и поверхностью земли возникает сила трения скольжения $F_{тр}$. Эта сила всегда направлена в сторону, противоположную движению, и является силой сопротивления, которая замедляет сани.

Объяснение, почему движутся сани

Движение любого тела определяется равнодействующей (векторной суммой) всех сил, приложенных к этому телу. Рассмотрим силы, действующие на сани в горизонтальном направлении: это сила тяги $F_{т}$ со стороны лошади, направленная вперед, и сила трения $F_{тр}$ со стороны земли, направленная назад.

Сани придут в движение и будут двигаться с ускорением только в том случае, если сила тяги, которую развивает лошадь, будет больше силы трения, действующей на сани. Математически это условие выглядит так: $F_{т} > F_{тр}$.

Лошадь, в свою очередь, способна создать эту силу тяги и двигаться вперед только тогда, когда движущая сила $F_{дв}$ (с которой земля толкает ее вперед) превосходит силу сопротивления $F'_{т}$ (с которой сани тянут ее назад).

Таким образом, первопричиной движения всей системы является взаимодействие лошади с землей. Лошадь отталкивается от земли, а земля толкает лошадь вперед. Эта внешняя движущая сила позволяет всей системе (лошадь + сани) преодолеть внешнюю силу сопротивления (трение саней о землю) и прийти в движение. Силы взаимодействия между лошадью и санями являются внутренними для этой системы.

Ответ: Сани движутся потому, что сила тяги, с которой лошадь тянет их вперед, оказывается больше силы трения, действующей на сани со стороны земли. Сама же возможность создания этой силы тяги обусловлена тем, что лошадь отталкивается от земли, а земля в ответ толкает лошадь вперед с силой, достаточной для преодоления всех сил сопротивления.

175. При взвешивании на рычажных весах тело давит на чашу весов с силой $P$. Согласно третьему закону Ньютона, чаша с такой же силой давит на взвешиваемое тело. Почему же нарушается равновесие весов?

Решение

Этот вопрос касается правильного применения третьего закона Ньютона. Ошибка в рассуждении, предложенном в задаче, заключается в том, что силы действия и противодействия, хотя и равны по модулю и противоположны по направлению, приложены к разным телам и поэтому не могут уравновесить друг друга.

Давайте рассмотрим две силы, о которых идет речь:

1. Сила $P$ (вес тела), с которой тело давит на чашу весов. Эта сила приложена к чаше весов.

2. Сила реакции опоры $N$, с которой чаша весов действует на тело. Эта сила приложена к взвешиваемому телу.

Согласно третьему закону Ньютона, эти силы действительно равны по модулю ($P = N$) и противоположны по направлению. Однако для определения движения или состояния равновесия системы (в данном случае — весов), необходимо рассматривать сумму сил, приложенных именно к этой системе.

Равновесие весов определяется силами, которые действуют на них. На одну из чаш весов начинает действовать сила $P$ со стороны тела. Эта сила является внешней по отношению к весам и создает вращающий момент, который и выводит весы из состояния равновесия.

Сила противодействия $N$ приложена к телу, а не к весам. Она уравновешивает силу тяжести, действующую на само тело, в результате чего тело покоится на чаше. Но эта сила $N$ никак не влияет на равновесие весов, так как она к ним не приложена.

Таким образом, пара сил "действие-противодействие" не может скомпенсировать друг друга, потому что они действуют на разные объекты. Равновесие весов нарушается из-за неуравновешенной силы $P$, приложенной к одной из чаш.

Ответ: Равновесие весов нарушается потому, что сила, с которой тело давит на чашу, и сила, с которой чаша давит на тело, приложены к разным телам (к чаше весов и к самому телу соответственно). Для анализа состояния весов нужно учитывать только силы, приложенные к весам. Сила $P$ является такой силой и, будучи не скомпенсированной на другой чаше, нарушает равновесие. Сила противодействия, приложенная к взвешиваемому телу, не может скомпенсировать действие силы $P$ на весы.

176. Сила тяги, действующая на автомобиль, равна 100 Н, а сила сопротивления движению — 500 Н. Как это согласуется с третьим законом Ньютона?

Решение

Данная ситуация не противоречит третьему закону Ньютона, а полностью с ним согласуется. Чтобы понять почему, необходимо вспомнить точную формулировку закона и проанализировать, какие силы упомянуты в задаче.

Третий закон Ньютона гласит, что силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению ($ \vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21} $). Ключевым аспектом этого закона является то, что силы действия и противодействия всегда приложены к разным телам. Они никогда не могут компенсировать друг друга, так как действуют на разные объекты.

В условии задачи указаны две силы: сила тяги ($100$ Н) и сила сопротивления ($500$ Н). Обе эти силы действуют на один и тот же объект — автомобиль. Следовательно, они не являются парой "действие-противодействие" в смысле третьего закона Ньютона, и их величины не обязаны быть равны. Это просто две из нескольких внешних сил, приложенных к автомобилю.

Давайте рассмотрим, какие силы на самом деле являются парами "действие-противодействие" для сил из задачи:

1. Сила тяги ($100$ Н). Это сила, с которой дорога толкает ведущие колеса автомобиля вперед. Согласно третьему закону Ньютона, существует равная ей по модулю и противоположная по направлению сила — это сила, с которой колеса автомобиля отталкивают дорогу назад. Она также равна $100$ Н. Пара сил: "дорога-автомобиль" и "автомобиль-дорога".

2. Сила сопротивления ($500$ Н). Это суммарная сила, с которой окружающая среда (воздух, дорожное покрытие) действует на автомобиль, препятствуя его движению. Силой противодействия будет сила, с которой автомобиль действует на окружающую среду. Её модуль также равен $500$ Н. Пара сил: "среда-автомобиль" и "автомобиль-среда".

Таким образом, третий закон Ньютона выполняется для каждой из взаимодействующих пар. А тот факт, что сила тяги, действующая на автомобиль, не равна силе сопротивления, действующей на него же, описывается уже вторым законом Ньютона. Он гласит, что равнодействующая всех сил, приложенных к телу, определяет его ускорение ($ \vec{F}_{равн} = m\vec{a} $). В данном случае равнодействующая сила направлена против движения ($100 \text{ Н} - 500 \text{ Н} = -400 \text{ Н}$), и автомобиль замедляется.

Ответ: Ситуация полностью согласуется с третьим законом Ньютона. Этот закон описывает силы взаимодействия между двумя телами (действие и противодействие), которые всегда равны по модулю и приложены к разным телам. В задаче же сила тяги и сила сопротивления приложены к одному телу — автомобилю, поэтому они не являются парой "действие-противодействие" и не обязаны быть равными.

177. В одной из работ Ньютон пишет: «Если что-либо давит на что-нибудь другое или тянет его, то оно само этим последним давится или тянется. Если кто нажимает пальцем на камень, то и палец его также нажимается камнем...» О каком законе механики идёт речь в этой цитате?

Решение

В приведенной цитате Исаак Ньютон описывает фундаментальный принцип взаимодействия тел. Он утверждает, что любое действие, такое как давление или притяжение, одного тела на другое, неизбежно вызывает равное по величине и противоположное по направлению противодействие со стороны второго тела. Пример с пальцем и камнем наглядно иллюстрирует этот принцип: сила, с которой палец давит на камень, в точности равна силе, с которой камень давит на палец.

Этот принцип является формулировкой третьего закона Ньютона, также известного как закон действия и противодействия. Современная формулировка этого закона гласит: силы, с которыми два тела действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти тела.

Математически третий закон Ньютона выражается следующей формулой:

$ \vec{F}_{12} = - \vec{F}_{21} $

Здесь $ \vec{F}_{12} $ — это сила, действующая на второе тело со стороны первого, а $ \vec{F}_{21} $ — сила, действующая на первое тело со стороны второго. Знак «минус» подчёркивает, что векторы сил направлены в противоположные стороны. Важно понимать, что эти силы приложены к разным телам, поэтому они не уравновешивают друг друга.

Таким образом, отрывок из работы Ньютона является одним из первых описаний этого важного закона механики.

Ответ: В этой цитате речь идёт о третьем законе Ньютона (законе действия и противодействия).

178. Чтобы разорвать верёвку, человек тянет её руками за концы в разные стороны, причём каждая рука тянет с силой $100\text{ Н}$. Не разорвав таким образом верёвку, человек привязывает один её конец к гвоздю, вбитому в стену, а за другой тянет обеими руками с силой $200\text{ Н}$. Сильнее ли натягивается верёвка во втором случае?

Дано:

Сила, с которой каждая рука тянет верёвку в первом случае, $F_1 = 100 \, \text{Н}$.

Сила, с которой человек тянет верёвку во втором случае, $F_2 = 200 \, \text{Н}$.

Найти:

Сравнить силу натяжения верёвки в первом случае ($T_1$) и во втором случае ($T_2$).

Решение:

Рассмотрим первый случай. Человек тянет верёвку за оба конца в разные стороны. Каждая рука прикладывает силу $F_1 = 100 \, \text{Н}$. Сила натяжения верёвки — это сила, которая возникает внутри верёвки и противодействует её растяжению. Когда человек тянет за один конец с силой 100 Н, то для того, чтобы верёвка находилась в равновесии, другой конец должен быть удержан с такой же силой. В данном случае эту силу прикладывает вторая рука. Сила натяжения в любом сечении верёвки будет равна силе, приложенной к одному из её концов. Таким образом, в первом случае сила натяжения верёвки составляет $T_1 = F_1 = 100 \, \text{Н}$.

Рассмотрим второй случай. Один конец верёвки привязан к гвоздю в стене, а за другой конец человек тянет с силой $F_2 = 200 \, \text{Н}$. Верёвка находится в равновесии. Это означает, что со стороны стены на верёвку действует сила, равная по модулю и противоположная по направлению силе, с которой тянет человек. Согласно третьему закону Ньютона, стена действует на верёвку с силой реакции $F_{реакции} = 200 \, \text{Н}$. Эта ситуация механически эквивалентна тому, что два человека тянут верёвку в разные стороны, каждый с силой 200 Н. Сила натяжения верёвки в этом случае равна силе, приложенной к её концу. Следовательно, во втором случае сила натяжения верёвки равна $T_2 = F_2 = 200 \, \text{Н}$.

Сравнивая силы натяжения в обоих случаях, получаем:

$T_1 = 100 \, \text{Н}$

$T_2 = 200 \, \text{Н}$

Так как $200 \, \text{Н} > 100 \, \text{Н}$, то $T_2 > T_1$. Это означает, что во втором случае верёвка натягивается сильнее.

Ответ: Да, во втором случае верёвка натягивается сильнее. Сила натяжения в первом случае составляет 100 Н, а во втором — 200 Н.