Страница 29 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

145. На рисунке 39 приведён график зависимости скорости движения тела от времени. Что можно сказать о действующих на это тело силах?

Рис. 39

Для анализа действующих на тело сил воспользуемся вторым законом Ньютона: $\vec{F} = m\vec{a}$, где $\vec{F}$ — равнодействующая всех сил, действующих на тело, $m$ — масса тела, а $\vec{a}$ — его ускорение. Ускорение можно определить по графику зависимости скорости $v$ от времени $t$. Рассмотрим каждый участок графика отдельно.

На этом участке графика скорость тела постоянна ($v = \text{const}$) и отлична от нуля. Это означает, что тело движется равномерно и прямолинейно. Ускорение тела равно нулю ($a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = 0$), так как скорость не изменяется. Согласно второму закону Ньютона, если ускорение равно нулю, то и равнодействующая всех приложенных к телу сил также равна нулю ($\vec{F} = 0$). Это возможно в двух случаях: либо на тело не действуют никакие силы, либо действие всех сил скомпенсировано, то есть их векторная сумма равна нулю.

Ответ: Равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю.

На этом участке скорость тела линейно возрастает со временем. Это соответствует движению с постоянным положительным ускорением ($a = \text{const} > 0$). Согласно второму закону Ньютона, на тело действует постоянная по величине и направлению равнодействующая сила, которая сонаправлена с вектором ускорения (и скорости). Именно эта сила и вызывает изменение скорости тела.

Ответ: На тело действует постоянная равнодействующая сила, направленная в сторону движения.

На этом участке скорость тела снова становится постоянной, но уже на более высоком уровне. Движение вновь является равномерным и прямолинейным. Следовательно, ускорение тела равно нулю ($a = 0$). Как и на участке AB, это означает, что равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю ($\vec{F} = 0$).

Ответ: Равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю.

146. Охарактеризуйте действующую на тело силу на разных участках движения тела (рис. 40).

Рис. 40

Решение

Для того чтобы охарактеризовать силу, действующую на тело на разных участках его движения, необходимо проанализировать характер изменения его скорости. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила $F$, действующая на тело, связана с его массой $m$ и ускорением $a$ соотношением $F = ma$. Ускорение тела на графике зависимости скорости от времени ($v-t$) равно тангенсу угла наклона графика к оси времени, то есть $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$. Таким образом, характер действующей силы определяется характером ускорения.

Участок AB

На этом участке график представляет собой горизонтальную линию, параллельную оси времени $t$. Это означает, что скорость тела постоянна ($v = const$). Следовательно, ускорение тела равно нулю ($a=0$). По второму закону Ньютона, если ускорение равно нулю, то и равнодействующая всех сил, приложенных к телу, также равна нулю ($F=0$). Тело движется равномерно и прямолинейно.

Ответ: Равнодействующая сила, действующая на тело, равна нулю.

Участок BC

На этом участке график представляет собой прямую линию, наклонённую вверх. Это означает, что скорость тела равномерно возрастает. Ускорение тела постоянно и положительно ($a = const > 0$). Следовательно, на тело действует постоянная по величине и направлению сила, сонаправленная с вектором скорости. Эта сила вызывает равноускоренное движение.

Ответ: На тело действует постоянная сила, направленная в сторону движения.

Участок CD

На этом участке график снова представляет собой горизонтальную линию, параллельную оси времени. Скорость тела постоянна ($v = const$), но её значение больше, чем на участке AB. Ускорение тела равно нулю ($a=0$). Соответственно, равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю ($F=0$). Тело снова движется равномерно и прямолинейно.

Ответ: Равнодействующая сила, действующая на тело, равна нулю.

Участок DE

На этом участке график представляет собой прямую линию, наклонённую вниз. Это означает, что скорость тела равномерно уменьшается до нуля. Ускорение тела постоянно и отрицательно ($a = const < 0$), то есть тело движется равнозамедленно. Следовательно, на тело действует постоянная по величине сила, направленная противоположно вектору скорости.

Ответ: На тело действует постоянная сила, направленная противоположно направлению движения.

147. Парашютист весом $800 \, \text{Н}$ спускается с раскрытым парашютом. Чему равна сила сопротивления воздуха при равномерном движении парашютиста? Чему равна равнодействующая сила в этом случае? Решите задачу графически.

Дано:

Вес парашютиста $P = 800$ Н

Движение равномерное, $v = \text{const}$

Найти:

$F_{сопр}$ — сила сопротивления воздуха

$F_{равн}$ — равнодействующая сила

Решение

Чему равна равнодействующая сила в этом случае?

В задаче указано, что движение парашютиста равномерное. Это означает, что его скорость постоянна ($v = \text{const}$), а ускорение равно нулю ($a = 0$). Согласно первому закону Ньютона, если тело движется равномерно и прямолинейно, то векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю. Эта векторная сумма и является равнодействующей силой.

Таким образом, равнодействующая сила $F_{равн}$, приложенная к парашютисту, равна нулю.

Ответ: Равнодействующая сила равна 0 Н.

Чему равна сила сопротивления воздуха при равномерном движении парашютиста?

На парашютиста в полете действуют две основные силы: сила тяжести $\vec{P}$, направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха $\vec{F}_{сопр}$, направленная вертикально вверх, против движения. Так как равнодействующая сила равна нулю, то векторная сумма этих сил также равна нулю:

$\vec{F}_{равн} = \vec{P} + \vec{F}_{сопр} = 0$

Это равенство означает, что силы $\vec{P}$ и $\vec{F}_{сопр}$ равны по модулю и противоположны по направлению. Выберем ось OY, направленную вертикально вниз. Тогда проекция силы тяжести на эту ось будет $P$, а проекция силы сопротивления — $-F_{сопр}$. Уравнение в проекциях будет выглядеть так:

$P - F_{сопр} = 0$

Отсюда находим модуль силы сопротивления воздуха:

$F_{сопр} = P = 800$ Н

Ответ: Сила сопротивления воздуха равна 800 Н.

Решите задачу графически.

Для графического решения задачи изобразим парашютиста как материальную точку. Из этой точки нарисуем два вектора, представляющие действующие на него силы:

1. Вектор силы тяжести $\vec{P}$ направлен вертикально вниз. Его длина в выбранном масштабе соответствует 800 Н.

2. Вектор силы сопротивления воздуха $\vec{F}_{сопр}$ направлен вертикально вверх.

Поскольку равнодействующая сила равна нулю, это означает, что векторная сумма сил $\vec{P}$ и $\vec{F}_{сопр}$ равна нулю. Графически это означает, что вектор $\vec{F}_{сопр}$ должен быть равен по длине (модулю) вектору $\vec{P}$ и направлен в противоположную сторону. Если приложить начало второго вектора к концу первого, то конец второго вектора совпадет с началом первого, что и означает нулевую сумму векторов.

Ответ: Графически силы изображаются двумя одинаковыми по длине и противоположно направленными векторами, приложенными к одной точке. Вектор силы тяжести направлен вниз, а вектор силы сопротивления воздуха — вверх.

148. Сложите графически две силы 50 и 30 H, направленные друг к другу под углом $0^\circ$; $180^\circ$.

Угол 0°

Дано:

Сила $F_1 = 50$ Н
Сила $F_2 = 30$ Н
Угол между силами $\alpha = 0°$
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Равнодействующую силу $R$.

Решение:

Графическое сложение сил выполняется как сложение векторов. Для этого выберем удобный масштаб, например, 1 см на чертеже будет соответствовать 10 Н. Тогда вектор силы $F_1$ будет иметь длину 5 см, а вектор силы $F_2$ — 3 см.
Так как угол между силами равен 0°, это означает, что векторы сил сонаправлены, то есть лежат на одной прямой и направлены в одну сторону.
1. На прямой откладываем вектор $\vec{F_1}$ длиной 5 см.
2. От конца вектора $\vec{F_1}$ откладываем в том же направлении вектор $\vec{F_2}$ длиной 3 см.
3. Результирующий вектор $\vec{R}$ (равнодействующая сила) соединяет начало первого вектора ($\vec{F_1}$) и конец второго вектора ($\vec{F_2}$).
Длина результирующего вектора будет равна сумме длин исходных векторов: 5 см + 3 см = 8 см.
Чтобы найти модуль равнодействующей силы, переведем длину результирующего вектора обратно в ньютоны, используя выбранный масштаб: 8 см ⋅ 10 Н/см = 80 Н.
Математически, если силы сонаправлены, их модули складываются:$R = F_1 + F_2 = 50 \text{ Н} + 30 \text{ Н} = 80 \text{ Н}$.
Направление равнодействующей силы совпадает с направлением исходных сил.

Ответ: Равнодействующая сила равна 80 Н и направлена в ту же сторону, что и обе составляющие силы.

Угол 180°

Дано:

Сила $F_1 = 50$ Н
Сила $F_2 = 30$ Н
Угол между силами $\alpha = 180°$
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Равнодействующую силу $R$.

Решение:

Используем тот же масштаб: 1 см соответствует 10 Н. Длины векторов сил $F_1$ и $F_2$ равны 5 см и 3 см соответственно.
Угол 180° означает, что векторы сил направлены в противоположные стороны, но лежат на одной прямой.
1. На прямой откладываем вектор большей силы $\vec{F_1}$ длиной 5 см.
2. От конца вектора $\vec{F_1}$ откладываем вектор $\vec{F_2}$ длиной 3 см в направлении, противоположном вектору $\vec{F_1}$.
3. Результирующий вектор $\vec{R}$ соединяет начало первого вектора ($\vec{F_1}$) и конец второго вектора ($\vec{F_2}$).
Длина результирующего вектора будет равна разности длин исходных векторов: 5 см - 3 см = 2 см.
Переводим длину результирующего вектора в ньютоны: 2 см ⋅ 10 Н/см = 20 Н.
Математически, если силы направлены противоположно, модуль их равнодействующей равен разности их модулей:$R = |F_1 - F_2| = 50 \text{ Н} - 30 \text{ Н} = 20 \text{ Н}$.
Направление равнодействующей силы совпадает с направлением большей по модулю силы, то есть с направлением силы $F_1$.

Ответ: Равнодействующая сила равна 20 Н и направлена в сторону действия силы 50 Н.

149. В каких случаях равнодействующая двух сил $4 \text{ Н}$ и $3 \text{ Н}$, приложенных к одной точке, равна $7 \text{ Н}$; $1 \text{ Н}$; $5 \text{ Н}$?

Модуль первой силы $F_1 = 4$ Н

Модуль второй силы $F_2 = 3$ Н

Силы приложены к одной точке.

Угол $\alpha$ между векторами сил для каждого случая, когда модуль равнодействующей силы $R$ равен 7 Н, 1 Н, 5 Н.

Равнодействующая двух сил $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$, приложенных к одной точке, является их векторной суммой $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$. Модуль равнодействующей силы зависит от модулей исходных сил и угла $\alpha$ между ними и определяется по теореме косинусов:

$R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \alpha$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

7 Н

Модуль равнодействующей силы максимален, когда векторы сил сонаправлены, то есть угол между ними равен $0^\circ$. В этом случае модуль равнодействующей равен арифметической сумме модулей сил: $R_{max} = F_1 + F_2$.

В нашем случае:

$R = 4 \text{ Н} + 3 \text{ Н} = 7 \text{ Н}$

Это значение совпадает с заданным в первом пункте. Таким образом, равнодействующая равна 7 Н, когда силы направлены вдоль одной прямой в одну сторону.

Ответ: Равнодействующая двух сил равна 7 Н в том случае, если эти силы направлены в одну и ту же сторону вдоль одной прямой (угол между векторами сил равен $0^\circ$).

1 Н

Модуль равнодействующей силы минимален, когда векторы сил направлены в противоположные стороны, то есть угол между ними равен $180^\circ$. В этом случае модуль равнодействующей равен модулю разности модулей сил: $R_{min} = |F_1 - F_2|$.

В нашем случае:

$R = |4 \text{ Н} - 3 \text{ Н}| = 1 \text{ Н}$

Это значение совпадает с заданным во втором пункте. Таким образом, равнодействующая равна 1 Н, когда силы направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Ответ: Равнодействующая двух сил равна 1 Н в том случае, если эти силы направлены в противоположные стороны вдоль одной прямой (угол между векторами сил равен $180^\circ$).

5 Н

Воспользуемся общей формулой (теоремой косинусов) для нахождения угла $\alpha$ между силами.

$R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \alpha$

Подставим известные значения:

$5^2 = 4^2 + 3^2 + 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos \alpha$

$25 = 16 + 9 + 24 \cos \alpha$

$25 = 25 + 24 \cos \alpha$

$0 = 24 \cos \alpha$

Отсюда следует, что $\cos \alpha = 0$, что соответствует углу $\alpha = 90^\circ$. Этот случай также является примером теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, где силы являются катетами, а равнодействующая — гипотенузой: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Ответ: Равнодействующая двух сил равна 5 Н в том случае, если эти силы направлены перпендикулярно друг другу (угол между векторами сил равен $90^\circ$).

150. Деталь закреплена в трёхкулачковом патроне. Чему равна равнодействующая сила, если каждый кулачок действует силой $F$, а расположены они под углом $120^\circ$ друг к другу?

Дано:

Число сил (кулачков): $n = 3$

Модуль каждой силы: $|\vec{F_1}| = |\vec{F_2}| = |\vec{F_3}| = F$

Угол между соседними силами: $\alpha = 120^\circ$

Найти:

Равнодействующую силу: $\vec{R}$

Решение:

Равнодействующая сила $\vec{R}$ является векторной суммой всех сил, действующих на деталь. В данном случае это три силы $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$ и $\vec{F_3}$, приложенные к центру детали.

$\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3}$

Для нахождения суммы векторов воспользуемся методом проекций. Введем декартову систему координат $xOy$, поместив ее начало в точку приложения сил. Направим ось $Ox$ вдоль вектора силы $\vec{F_1}$.

Так как силы расположены под углом $120^\circ$ друг к другу, их направления относительно оси $Ox$ будут составлять $0^\circ$, $120^\circ$ и $240^\circ$.

Найдем проекции каждого вектора силы на оси координат:

Для $\vec{F_1}$ (угол $0^\circ$):

$F_{1x} = F \cdot \cos(0^\circ) = F \cdot 1 = F$

$F_{1y} = F \cdot \sin(0^\circ) = F \cdot 0 = 0$

Для $\vec{F_2}$ (угол $120^\circ$):

$F_{2x} = F \cdot \cos(120^\circ) = F \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{F}{2}$

$F_{2y} = F \cdot \sin(120^\circ) = F \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Для $\vec{F_3}$ (угол $240^\circ$):

$F_{3x} = F \cdot \cos(240^\circ) = F \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{F}{2}$

$F_{3y} = F \cdot \sin(240^\circ) = F \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{F\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем проекции равнодействующей силы $\vec{R}$ на оси координат, сложив соответствующие проекции векторов $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$ и $\vec{F_3}$.

Проекция на ось $Ox$:

$R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = F - \frac{F}{2} - \frac{F}{2} = F - F = 0$

Проекция на ось $Oy$:

$R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = 0 + \frac{F\sqrt{3}}{2} - \frac{F\sqrt{3}}{2} = 0$

Поскольку обе проекции равнодействующей силы равны нулю, сама равнодействующая сила также равна нулю.

Модуль равнодействующей силы:

$|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0$

Это означает, что система сил скомпенсирована (уравновешена), и деталь находится в состоянии покоя.

Ответ: Равнодействующая сила равна нулю.

151. С каким ускорением двигался при разгоне реактивный самолёт массой 60 т, если сила тяги двигателей 90 кН? Сопротивление воздуха не учитывать.

Дано:

Масса самолёта, $m = 60$ т

Сила тяги, $F = 90$ кН

Перевод в систему СИ:

$m = 60 \text{ т} = 60 \cdot 1000 \text{ кг} = 60000 \text{ кг}$

$F = 90 \text{ кН} = 90 \cdot 1000 \text{ Н} = 90000 \text{ Н}$

Найти:

Ускорение, $a$

Решение:

Для нахождения ускорения самолёта воспользуемся вторым законом Ньютона. Согласно этому закону, равнодействующая всех сил, приложенных к телу ($F_{\text{равн}}$), равна произведению массы тела ($m$) на его ускорение ($a$):

$F_{\text{равн}} = m \cdot a$

В условии задачи сказано, что сопротивление воздуха не учитывается. Это означает, что в горизонтальном направлении на самолёт действует только одна сила — сила тяги двигателей $F$. Следовательно, равнодействующая сила равна силе тяги:

$F_{\text{равн}} = F$

Тогда второй закон Ньютона для данного случая можно записать так:

$F = m \cdot a$

Чтобы найти ускорение $a$, выразим его из этой формулы:

$a = \frac{F}{m}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведём вычисление:

$a = \frac{90000 \text{ Н}}{60000 \text{ кг}} = 1,5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: ускорение самолёта при разгоне равно $1,5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

152. Один из реактивных снарядов установки «катюша» периода Великой Отечественной войны имел массу $42,5 \text{ кг}$ и запускался реактивной силой $19,6 \text{ кН}$. Какое ускорение он получал при этом?

Дано:

Масса снаряда $m = 42,5$ кг

Реактивная сила $F = 19,6$ кН

Перевод в систему СИ:
$F = 19,6 \text{ кН} = 19,6 \cdot 10^3 \text{ Н} = 19600 \text{ Н}$

Найти:

Ускорение снаряда $a$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона, который связывает силу, действующую на тело, его массу и ускорение. Формула второго закона Ньютона:

$F = m \cdot a$

где $F$ — это равнодействующая всех сил, действующих на тело, $m$ — масса тела, а $a$ — его ускорение.

В условиях задачи указана только реактивная сила, поэтому будем считать, что это и есть равнодействующая сила, пренебрегая силой тяжести и сопротивлением воздуха в начальный момент движения.

Чтобы найти ускорение, которое получает снаряд, необходимо выразить $a$ из формулы:

$a = \frac{F}{m}$

Теперь подставим числовые значения в полученное выражение:

$a = \frac{19600 \text{ Н}}{42,5 \text{ кг}}$

$a \approx 461,18 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение, которое получал снаряд, составляет примерно $461,18 \text{ м/с}^2$.

153. Определите массу автомобиля, движущегося при торможении с ускорением $2 \text{ м/с}^2$, если сила трения равна $6 \text{ кН}$.

Дано:

Ускорение, $a = 2 \text{ м/с}^2$

Сила трения, $F_{тр} = 6 \text{ кН}$

Перевод в систему СИ:
$F_{тр} = 6 \cdot 1000 \text{ Н} = 6000 \text{ Н}$

Найти:

Массу автомобиля, $m$

Решение:

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение:

$F = m \cdot a$

При торможении автомобиля движущей силой является сила инерции, а силой, вызывающей замедление (ускорение, направленное в сторону, противоположную движению), является сила трения. В данном случае, сила трения является равнодействующей силой, действующей на автомобиль в горизонтальной плоскости (пренебрегая силой сопротивления воздуха).

Таким образом, мы можем записать:

$F_{тр} = m \cdot a$

Из этой формулы выразим массу автомобиля $m$:

$m = \frac{F_{тр}}{a}$

Подставим известные значения в формулу:

$m = \frac{6000 \text{ Н}}{2 \text{ м/с}^2} = 3000 \text{ кг}$

Ответ: масса автомобиля равна $3000 \text{ кг}$.

154. Рассчитайте силу, сообщающую вагонетке массой 200 кг ускорение 0,2 $м/с^2$.

Дано:

Масса вагонетки ($m$) = 200 кг

Ускорение ($a$) = 0,2 м/с²

Все данные представлены в системе СИ, поэтому перевод единиц не требуется.

Найти:

Силу ($F$) - ?

Решение:

Для определения силы, сообщающей вагонетке ускорение, используется второй закон Ньютона. Этот закон устанавливает прямую зависимость между силой, действующей на тело, его массой и ускорением, которое тело приобретает под действием этой силы.

Формула второго закона Ньютона выглядит следующим образом:

$F = m \cdot a$

где:

• $F$ — искомая сила, измеряемая в Ньютонах (Н),
• $m$ — масса тела, измеряемая в килограммах (кг),
• $a$ — ускорение тела, измеряемое в метрах на секунду в квадрате (м/с²).

Подставим известные значения в формулу:

$F = 200 \, \text{кг} \cdot 0,2 \, \text{м/с}^2$

Произведем вычисление:

$F = 40 \, \text{Н}$

Ответ: сила, сообщающая вагонетке данное ускорение, равна 40 Н.

155. Под действием некоторой силы тело массой 10 кг приобрело ускорение $2 \text{ м/с}^2$. Какое ускорение приобретёт тело массой 5 кг под действием такой же силы?

Дано:

Масса первого тела, $m_1 = 10$ кг
Ускорение первого тела, $a_1 = 2$ м/с²
Масса второго тела, $m_2 = 5$ кг
Сила, действующая на оба тела, одинакова.

Найти:

Ускорение второго тела, $a_2$.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся вторым законом Ньютона, который устанавливает связь между силой, массой тела и его ускорением. Формула второго закона Ньютона выглядит так:

$F = m \cdot a$

где $F$ – сила, $m$ – масса, $a$ – ускорение.

1. Сначала найдем величину силы $F$, которая действует на первое тело.

$F = m_1 \cdot a_1$

Подставим известные значения из условия:

$F = 10 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}^2 = 20 \text{ Н}$

Таким образом, действующая сила равна 20 Ньютонов.

2. По условию, на второе тело действует точно такая же сила. Используя второй закон Ньютона для второго тела, найдем его ускорение $a_2$.

$F = m_2 \cdot a_2$

Выразим из этой формулы искомое ускорение $a_2$:

$a_2 = \frac{F}{m_2}$

Подставим значения силы $F$ и массы второго тела $m_2$:

$a_2 = \frac{20 \text{ Н}}{5 \text{ кг}} = 4 \text{ м/с}^2$

Можно также решить задачу, исходя из того, что при постоянной силе ускорение обратно пропорционально массе. Поскольку масса второго тела в 2 раза меньше массы первого ($10 \text{ кг} / 5 \text{ кг} = 2$), его ускорение будет в 2 раза больше ускорения первого: $a_2 = a_1 \cdot 2 = 2 \text{ м/с}^2 \cdot 2 = 4 \text{ м/с}^2$.

Ответ: 4 м/с².