Страница 36 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

197. Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела тем больше, чем больше действующая на него сила. Почему же ускорение свободного падения тел не зависит от силы тяжести?

Решение

Это кажущееся противоречие возникает из-за взаимосвязи между силой, массой и ускорением. Давайте рассмотрим это с точки зрения физических законов.

1. Второй закон Ньютона. Он гласит, что ускорение $a$, которое получает тело, прямо пропорционально действующей на него силе $F$ и обратно пропорционально массе тела $m$. Математически это выражается формулой:

$a = \frac{F}{m}$

Из этой формулы видно, что при одной и той же массе, чем больше сила, тем больше ускорение. Но также видно, что при одной и той же силе, чем больше масса, тем меньше ускорение. Масса является мерой инертности тела, то есть его способности сопротивляться изменению скорости.

2. Сила тяжести. Сила тяжести $F_{тяж}$ — это сила, с которой Земля притягивает тело. Она рассчитывается по формуле:

$F_{тяж} = m \cdot g$

где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения, постоянная величина для данной точки в гравитационном поле (у поверхности Земли примерно $9,8 \, м/с^2$).

3. Свободное падение. Когда тело свободно падает (пренебрегая сопротивлением воздуха), единственная сила, действующая на него, — это сила тяжести. То есть, $F = F_{тяж}$.

Теперь подставим выражение для силы тяжести во второй закон Ньютона, чтобы найти ускорение тела при свободном падении:

$a = \frac{F}{m} = \frac{F_{тяж}}{m} = \frac{m \cdot g}{m}$

В этой формуле масса $m$ в числителе и знаменателе сокращается:

$a = g$

Таким образом, мы видим, что ускорение тела при свободном падении равно константе $g$ и не зависит от массы тела.

Парадокс разрешается тем, что хотя на более массивное тело действительно действует бóльшая сила тяжести, его инертность (масса) также пропорционально больше. Эти два эффекта — увеличение силы притяжения и увеличение инертности — в точности компенсируют друг друга. В результате все тела, независимо от их массы, падают с одинаковым ускорением.

Ответ: Ускорение свободного падения не зависит от силы тяжести конкретного тела, потому что сила тяжести ($F_{тяж} = mg$) сама прямо пропорциональна массе. Согласно второму закону Ньютона, ускорение $a = F/m$. При свободном падении $a = F_{тяж}/m = (mg)/m$. Масса тела сокращается, и ускорение оказывается равным $g$ для любого тела, независимо от его массы и, соответственно, от величины действующей на него силы тяжести.

198. Ускорение свободного падения на Северном полюсе $9,83 \text{ м/с}^2$, на экваторе — $9,78 \text{ м/с}^2$. Чем вызвано это различие?

Решение

Различие в ускорении свободного падения на полюсах и на экваторе объясняется двумя основными причинами: формой Земли и её суточным вращением.

1. Форма Земли

Земля не является идеальным шаром, а имеет форму эллипсоида вращения (геоида), приплюснутого у полюсов и вытянутого у экватора. Это означает, что полярный радиус Земли ($R_p$) меньше экваториального ($R_e$). Расстояние от центра Земли до поверхности на полюсе примерно на 21 км меньше, чем на экваторе.

Гравитационное ускорение, создаваемое массой Земли, обратно пропорционально квадрату расстояния до её центра. Согласно закону всемирного тяготения, ускорение свободного падения определяется формулой:

$g = G \frac{M}{R^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, а $R$ — расстояние от центра Земли. Поскольку полярный радиус меньше экваториального ($R_p < R_e$), гравитационное притяжение и, соответственно, ускорение свободного падения на полюсах больше, чем на экваторе.

2. Вращение Земли вокруг своей оси

Земля вращается вокруг своей оси, и все тела на её поверхности (кроме тех, что находятся на полюсах) движутся по окружностям. Это вращение создаёт центробежную силу, направленную от оси вращения. Эта сила частично компенсирует силу гравитационного притяжения. В результате вес тела (и измеряемое ускорение свободного падения) уменьшается.

Центробежное ускорение $a_ц$ зависит от угловой скорости вращения Земли $\omega$ и расстояния до оси вращения $r$ (которое равно радиусу Земли на экваторе и уменьшается до нуля на полюсах):

$a_ц = \omega^2 r$

На экваторе это ускорение максимально, так как расстояние до оси вращения наибольшее, и оно направлено прямо противоположно силе тяжести. На полюсах тело находится на оси вращения, поэтому центробежное ускорение равно нулю. Таким образом, из-за вращения Земли ускорение свободного падения на экваторе дополнительно уменьшается по сравнению с полюсами.

Итоговое ускорение свободного падения $g$ является векторной суммой гравитационного ускорения $g_{грав}$ и центробежного ускорения $a_ц$. На экваторе: $g_e \approx g_{грав} - a_ц$. На полюсах: $g_p \approx g_{грав}$.

Таким образом, оба фактора — и сплюснутая форма Земли, и её вращение — приводят к тому, что ускорение свободного падения на полюсах больше, чем на экваторе.

Ответ: Различие в ускорении свободного падения вызвано двумя основными причинами: 1) несферической формой Земли (она приплюснута у полюсов, поэтому расстояние от центра до поверхности на полюсах меньше, чем на экваторе, что увеличивает силу тяжести); 2) суточным вращением Земли, которое создает центробежную силу, направленную против силы тяжести и максимальную на экваторе и равную нулю на полюсах.

199. Какой из графиков (рис. 49) характеризует зависимость скорости от времени: при свободном падении тела; при движении тела, брошенного вертикально вверх? Опишите каждое движение. Рис. 49

при свободном падении тела

Свободное падение — это движение тела под действием только силы тяжести. Если тело начинает падать из состояния покоя, его начальная скорость $v_0$ равна нулю. Ускорение свободного падения $g$ можно считать постоянным и направленным вниз. Скорость тела $v$ в любой момент времени $t$ определяется формулой для равноускоренного движения:

$v = v_0 + at$

Поскольку начальная скорость $v_0 = 0$ и ускорение $a = g$, формула принимает вид:

$v = gt$

Эта зависимость является прямой пропорциональностью. График скорости от времени — это прямая линия, которая выходит из начала координат (в точке $t=0$ скорость $v=0$) и имеет постоянный положительный наклон. Этому описанию соответствует график б).

Ответ: График б).

при движении тела, брошенного вертикально вверх

Когда тело брошено вертикально вверх, ему сообщают начальную скорость $v_0$, направленную вверх. Ускорение свободного падения $g$ направлено в противоположную сторону, то есть вниз. Движение тела можно разделить на два этапа:

1. Движение вверх: Тело движется равнозамедленно. Его скорость линейно уменьшается со временем от начального значения $v_0$ до нуля. Этот этап заканчивается, когда тело достигает максимальной высоты, где его скорость на мгновение становится равной нулю. На графике это отражено в виде прямой линии, идущей вниз от значения $v_0$ на оси скоростей до нуля на оси времени.

2. Движение вниз: После достижения максимальной высоты тело начинает свободно падать, то есть двигаться равноускоренно из состояния покоя. Его скорость начинает линейно возрастать от нуля. На графике это отражено в виде прямой линии, идущей вверх из точки, где скорость была равна нулю.

Таким образом, график зависимости модуля скорости от времени для тела, брошенного вертикально вверх, представляет собой линию, которая сначала линейно уменьшается до нуля, а затем линейно возрастает. Этому описанию в точности соответствует график д).

Ответ: График д).

Описание каждого движения:

а) График описывает равнозамедленное движение. Тело начинает движение с некоторой начальной скоростью $v_0$ и движется с постоянным отрицательным ускорением (замедлением) до полной остановки ($v=0$).

б) График описывает равноускоренное движение из состояния покоя. Начальная скорость тела равна нулю ($v_0 = 0$), а затем линейно возрастает с течением времени. Ускорение тела постоянно и положительно. Этот график соответствует свободному падению тела без начальной скорости.

в) График описывает равномерное движение. Скорость тела остается постоянной ($v = \text{const}$) на протяжении всего времени наблюдения. Ускорение тела равно нулю ($a=0$).

г) График описывает равноускоренное движение с начальной скоростью. Тело в начальный момент времени уже имеет некоторую скорость $v_0 > 0$, которая далее линейно возрастает. Ускорение тела постоянно и положительно.

д) График описывает движение тела, брошенного вертикально вверх (показана зависимость модуля скорости от времени). Сначала скорость тела линейно уменьшается до нуля (движение вверх), а затем линейно возрастает с нуля (движение вниз).

200. Как сравнивать массы тел при свободном падении космического корабля, пользуясь рычажными весами; пружинными весами?

Во время свободного падения космический корабль и все находящиеся в нем тела движутся с одинаковым ускорением, равным ускорению свободного падения. Это состояние называется невесомостью. В состоянии невесомости вес любого тела, то есть сила, с которой оно действует на опору или подвес, равен нулю. Рассмотрим, как это влияет на работу весов.

Пользуясь рычажными весами

Принцип действия рычажных весов основан на сравнении моментов сил, создаваемых весами тел, помещенных на чаши. Для равноплечих весов ($l_1 = l_2$) условием равновесия является равенство сил тяжести (весов), действующих на чаши: $P_1 = P_2$. Так как вес $P = mg$, то из равенства весов следует и равенство масс: $m_1g = m_2g$, что означает $m_1 = m_2$.

В условиях невесомости вес любого тела равен нулю ($P=0$). Следовательно, на обе чаши весов не будет действовать никакая сила. Моменты сил, создаваемые телами, будут равны нулю независимо от их массы. В результате весы окажутся в состоянии безразличного равновесия — их коромысло останется в любом положении, в которое его поместить. Таким образом, определить, равны ли массы, или какая из них больше, невозможно.

Ответ: Сравнить массы тел с помощью рычажных весов в состоянии свободного падения невозможно, так как из-за невесомости весы будут находиться в состоянии безразличного равновесия при любых массах на их чашах.

Пользуясь пружинными весами

Пружинные весы измеряют вес тела, определяя степень деформации (растяжения) пружины. Согласно закону Гука, сила упругости, возникающая в пружине, пропорциональна ее удлинению: $F_{упр} = k \Delta x$. В состоянии покоя вес тела $P = mg$ уравновешивается силой упругости: $mg = k \Delta x$. Шкала весов проградуирована для измерения массы в условиях земной гравитации.

В состоянии свободного падения вес тела равен нулю ($P=0$). Следовательно, тело, помещенное на пружинные весы, не будет вызывать деформации пружины ($\Delta x = 0$). Стрелка весов будет указывать на ноль, какой бы ни была масса тела. Это делает невозможным не только измерение, но и сравнение масс.

Ответ: Сравнить массы тел с помощью пружинных весов в состоянии свободного падения невозможно, так как из-за невесомости весы всегда будут показывать нулевое значение для любого тела.

201. Почему груз, сброшенный из летящего с постоянной скоростью самолёта, оказывается далеко от того места, над которым был сброшен?

Решение

Это явление объясняется законом инерции (первым законом Ньютона). В тот момент, когда груз находится в самолёте, он движется вместе с ним и обладает такой же постоянной горизонтальной скоростью, что и самолёт. Обозначим эту скорость как $v_x$.

Когда груз сбрасывают, по инерции он продолжает двигаться вперёд с этой же горизонтальной скоростью $v_x$ (если пренебречь сопротивлением воздуха). Одновременно с этим на него начинает действовать сила тяжести, которая сообщает ему вертикальное ускорение $g$ (ускорение свободного падения). В результате груз движется по параболической траектории, так как его движение является результатом сложения двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного по вертикали.

Пока груз падает в течение времени $t$, он пролетает по горизонтали расстояние $L = v_x \cdot t$. Именно это значительное горизонтальное смещение и является причиной того, что груз приземляется далеко от того места на земле, над которым он был сброшен. Для иллюстрации: если самолёт летит на высоте $h = 2000$ м со скоростью $v_x = 540$ км/ч (что равно $150$ м/с), то время падения (без учёта сопротивления воздуха) можно рассчитать по формуле $h = \frac{gt^2}{2}$. Отсюда время $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx \sqrt{\frac{2 \cdot 2000}{9.8}} \approx 20.2$ с. За это время груз пролетит по горизонтали расстояние $L = 150 \text{ м/с} \cdot 20.2 \text{ с} \approx 3030$ м, то есть более 3 км.

В реальных условиях сопротивление воздуха тормозит движение груза, особенно в горизонтальном направлении. Из-за этого его горизонтальная скорость уменьшается, и он приземлится немного позади точки, находящейся прямо под самолётом в момент приземления груза, но всё равно на очень большом расстоянии от точки, над которой его сбросили.

Ответ: Груз, сброшенный с летящего самолёта, по инерции сохраняет его горизонтальную скорость. Одновременно под действием силы тяжести он падает вниз. Сочетание этих двух движений — равномерного горизонтального и ускоренного вертикального — приводит к тому, что груз движется по параболической траектории и пролетает значительное расстояние в горизонтальном направлении, прежде чем достигнуть земли. Поэтому он и приземляется далеко от того места, над которым был сброшен.

202. В каком случае выброшенная из вагона вещь долетит до земли раньше — когда вагон покоится или когда он движется?

Время падения тела в поле тяжести Земли зависит только от высоты падения и начальной скорости в вертикальном направлении. Горизонтальная скорость тела не влияет на время его падения. Это следствие принципа независимости движений, согласно которому вертикальное и горизонтальное движения тела можно рассматривать независимо друг от друга (при условии, что сопротивлением воздуха можно пренебречь).

Рассмотрим оба случая:

1. Вагон покоится.

Когда вещь выбрасывают из покоящегося вагона, её начальная горизонтальная скорость равна нулю. Если предположить, что её просто отпускают, то и начальная вертикальная скорость равна нулю. Тело совершает свободное падение с высоты $h$. Время падения $t_1$ определяется из формулы:
$h = \frac{gt_1^2}{2}$
Отсюда $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.

2. Вагон движется.

Когда вещь выбрасывают из вагона, движущегося с горизонтальной скоростью $v$, она по инерции продолжает двигаться вперёд с той же скоростью $v$. Таким образом, её начальная горизонтальная скорость относительно земли равна $v$. Однако её начальная вертикальная скорость по-прежнему равна нулю (если её отпустили, а не бросили вниз или вверх).
Вертикальное движение тела не зависит от горизонтального. Оно так же, как и в первом случае, представляет собой свободное падение с высоты $h$ без начальной вертикальной скорости. Поэтому время падения $t_2$ будет таким же:
$h = \frac{gt_2^2}{2}$
Отсюда $t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.

Таким образом, время падения в обоих случаях одинаково: $t_1 = t_2$. Разница будет лишь в траектории движения: в первом случае тело упадёт вертикально вниз, а во втором — будет двигаться по параболе и упадёт на землю, пролетев некоторое расстояние по горизонтали.

Ответ: Если пренебречь сопротивлением воздуха, то вещь долетит до земли за одно и то же время, независимо от того, покоится вагон или движется.

203. Что раньше упадёт на землю при выстреле из автоматической винтовки — пуля или стреляная гильза, если считать, что они вылетают одновременно в горизонтальном направлении? Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение:

Рассмотрим движение пули и гильзы. Согласно принципу независимости движений, движение тела можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие, которые не влияют друг на друга.

Вертикальное движение обоих тел (пули и гильзы) определяется только начальной вертикальной скоростью и ускорением свободного падения. По условию, оба тела вылетают в горизонтальном направлении, следовательно, их начальная вертикальная скорость равна нулю ($v_{0y} = 0$). Единственная сила, действующая на них в вертикальном направлении после вылета, — это сила тяжести, которая сообщает им одинаковое ускорение свободного падения $g$.

Время падения $t$ с высоты $h$ при нулевой начальной вертикальной скорости можно найти из формулы:
$h = \frac{gt^2}{2}$
Отсюда время падения:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Так как начальная высота $h$ и ускорение свободного падения $g$ для пули и гильзы одинаковы, время их падения до земли будет абсолютно одинаковым.

Горизонтальное движение у пули и гильзы будет разным из-за большой разницы в их начальных горизонтальных скоростях. Пуля за время падения $t$ пролетит гораздо большее расстояние по горизонтали, чем гильза, но на земле они окажутся одновременно.

Ответ: Пуля и стреляная гильза упадут на землю одновременно.