Страница 31 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

166. Тело массой 4 кг движется вдоль оси X. На рисунке 42 представлен график зависимости проекции скорости $v_x$ этого тела от времени $t$. Чему равен модуль проекции силы $F_x$, действующей на это тело в течение второй секунды?

Рис. 42

Дано:

$m = 4$ кг

График зависимости проекции скорости $v_x$ от времени $t$ (Рис. 42)

Интервал времени: вторая секунда, то есть от $t_1 = 1$ с до $t_2 = 2$ с

Найти:

$|F_x|$ - модуль проекции силы в течение второй секунды.

Решение:

Согласно второму закону Ньютона, проекция силы, действующей на тело, равна произведению массы тела на проекцию его ускорения:

$F_x = m \cdot a_x$

Проекцию ускорения $a_x$ можно найти по графику зависимости проекции скорости от времени. Ускорение равно тангенсу угла наклона графика $v_x(t)$ к оси времени или, что то же самое, изменению скорости за единицу времени:

$a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_{x2} - v_{x1}}{t_2 - t_1}$

Нас интересует вторая секунда движения, то есть временной интервал от $t_1 = 1$ с до $t_2 = 2$ с.

Из графика находим значения проекции скорости в эти моменты времени:

При $t_1 = 1$ с, проекция скорости $v_{x1} = 2$ м/с.

При $t_2 = 2$ с, проекция скорости $v_{x2} = 2$ м/с.

На этом участке графика скорость тела постоянна, следовательно, его движение равномерное.

Рассчитаем проекцию ускорения:

$a_x = \frac{2 \text{ м/с} - 2 \text{ м/с}}{2 \text{ с} - 1 \text{ с}} = \frac{0 \text{ м/с}}{1 \text{ с}} = 0 \text{ м/с}^2$

Теперь можем найти проекцию силы:

$F_x = 4 \text{ кг} \cdot 0 \text{ м/с}^2 = 0 \text{ Н}$

Модуль проекции силы равен $|F_x| = |0 \text{ Н}| = 0 \text{ Н}$.

Ответ: 0 Н.

167. Точечное тело массой $0,5 \text{ кг}$ свободно движется по гладкой горизонтальной плоскости параллельно оси $X$ со скоростью $v = 4 \text{ м/с}$ (рис. 43). В момент времени $t = 0$, когда тело находится в точке $A$, на него начинает действовать сила $F = 1 \text{ Н}$. Чему равна координата $x$ этого тела в момент времени $t = 4 \text{ с}$?

Рис. 43

Дано:

$m = 0,5$ кг

$v = 4$ м/с

$F = 1$ Н

$t = 4$ с

Из графика (Рис. 43):

$x_0 = 1$ м

$y_0 = 2$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$x(t) - ?$

Решение:

Движение тела можно рассмотреть как совокупность двух независимых движений вдоль координатных осей X и Y.

Рассмотрим движение вдоль оси X. В начальный момент времени ($t=0$) тело находится в точке А с координатой $x_0 = 1$ м и имеет скорость $v$, направленную параллельно оси X. Следовательно, проекция начальной скорости на ось X равна $v_{0x} = v = 4$ м/с.

На тело начинает действовать сила $F$, которая, судя по рисунку, направлена перпендикулярно оси X (вдоль оси Y в отрицательном направлении). Таким образом, проекция силы на ось X равна нулю: $F_x = 0$.

Согласно второму закону Ньютона, проекция ускорения на ось X определяется как $a_x = \frac{F_x}{m}$.

Поскольку $F_x = 0$, то и ускорение $a_x = 0$. Это означает, что вдоль оси X тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью $v_x = v_{0x} = 4$ м/с.

Закон движения тела вдоль оси X при равномерном движении имеет вид:

$x(t) = x_0 + v_{0x}t$

Подставим известные значения, чтобы найти координату $x$ в момент времени $t = 4$ с:

$x(4) = 1 \, м + 4 \, м/с \cdot 4 \, с = 1 \, м + 16 \, м = 17 \, м$

Движение вдоль оси Y будет равноускоренным, но для нахождения координаты $x$ его рассматривать не требуется.

Ответ: Координата $x$ этого тела в момент времени $t=4$ с равна 17 м.

168. Погрешность измерения силы при помощи динамометра, изображённого на рисунке 44, равна цене деления его шкалы.

Запишите показания динамометра в Н с учётом погрешности измерений.

Рис. 44

Дано:

Погрешность измерения силы, $\Delta F$, равна цене деления шкалы, $C$.
$\Delta F = C$

Найти:

Показания динамометра с учётом погрешности, $F$.

Решение:

1. Сначала определим цену деления ($C$) шкалы динамометра. Для этого выберем два ближайших штриха с цифровыми обозначениями, например, 2 Н и 4 Н. Разность значений силы, соответствующих этим штрихам, равна $4 \text{ Н} - 2 \text{ Н} = 2 \text{ Н}$. Между этими штрихами находится два деления. Следовательно, цена одного деления равна:

$C = \frac{4 \text{ Н} - 2 \text{ Н}}{2} = 1 \text{ Н}$

2. По условию задачи, погрешность измерения ($\Delta F$) равна цене деления шкалы. Таким образом:

$\Delta F = C = 1 \text{ Н}$

3. Теперь определим показание стрелки прибора ($F_{изм}$). Стрелка динамометра указывает на деление, находящееся ровно посередине между отметками 4 Н и 6 Н. Это деление соответствует значению 5 Н.

$F_{изм} = 5 \text{ Н}$

4. Запишем окончательный результат измерения силы с учётом погрешности. Результат измерения представляют в виде $F = F_{изм} \pm \Delta F$.

$F = (5 \pm 1) \text{ Н}$

Ответ: Показания динамометра с учётом погрешности измерений равны $(5 \pm 1) \text{ Н}$.

► 169. Леонардо да Винчи утверждал, что если сила $F$ за время $t$ продвинет тело, имеющее массу $m$, на расстояние $s$, то: а) та же сила за то же время продвинет тело массой $m/2$ на расстояние $2s$; б) та же сила за время $t/2$ продвинет тело массой $m/2$ на расстояние $s$. Верны ли эти утверждения?

Для проверки утверждений Леонардо да Винчи воспользуемся вторым законом Ньютона и формулами кинематики для равноускоренного движения. Будем считать, что тело начинает движение из состояния покоя (начальная скорость равна нулю).

Дано:

Исходные параметры:

Сила, действующая на тело: $F$

Масса тела: $m$

Время действия силы: $t$

Пройденное расстояние: $s$

Найти:

Проверить верность утверждений а) и б).

Решение:

Согласно второму закону Ньютона, ускорение, которое постоянная сила $F$ сообщает телу массой $m$, равно:

$a = \frac{F}{m}$

Расстояние, которое проходит тело из состояния покоя за время $t$ при движении с постоянным ускорением $a$, определяется формулой:

$s = \frac{at^2}{2}$

Подставим выражение для ускорения в формулу для расстояния, чтобы связать все исходные величины:

$s = \frac{1}{2} \cdot \frac{F}{m} \cdot t^2 = \frac{Ft^2}{2m}$

Это соотношение является базовым для анализа утверждений.

а) та же сила за то же время продвинет тело массой m/2 на расстояние 2s

Проверим это утверждение. В этом случае параметры движения следующие:

Сила: $F_1 = F$

Масса: $m_1 = m/2$

Время: $t_1 = t$

Найдем расстояние $s_1$, которое пройдет тело при этих условиях. Сначала определим ускорение тела:

$a_1 = \frac{F_1}{m_1} = \frac{F}{m/2} = \frac{2F}{m}$

Теперь вычислим пройденное расстояние $s_1$:

$s_1 = \frac{a_1 t_1^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2F}{m} \cdot t^2 = \frac{Ft^2}{m}$

Сравним полученное расстояние $s_1$ с удвоенным исходным расстоянием $2s$. Используя базовое соотношение, имеем:

$2s = 2 \cdot \left(\frac{Ft^2}{2m}\right) = \frac{Ft^2}{m}$

Мы видим, что $s_1 = 2s$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Утверждение а) верно.

б) та же сила за время t/2 продвинет тело массой m/2 на расстояние s

Проверим второе утверждение. Параметры движения в этом случае:

Сила: $F_2 = F$

Масса: $m_2 = m/2$

Время: $t_2 = t/2$

Найдем расстояние $s_2$, которое пройдет тело. Ускорение тела будет таким же, как в пункте а):

$a_2 = \frac{F_2}{m_2} = \frac{F}{m/2} = \frac{2F}{m}$

Вычислим пройденное расстояние $s_2$:

$s_2 = \frac{a_2 t_2^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2F}{m} \cdot \left(\frac{t}{2}\right)^2 = \frac{F}{m} \cdot \frac{t^2}{4} = \frac{Ft^2}{4m}$

Теперь сравним полученное расстояние $s_2$ с исходным расстоянием $s = \frac{Ft^2}{2m}$.

Очевидно, что $s_2 = \frac{Ft^2}{4m} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{Ft^2}{2m}\right) = \frac{s}{2}$.

Поскольку $s_2 \neq s$, утверждение неверно.

Ответ: Утверждение б) неверно.