Страница 24 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

* 109. Почему дождевые капли в безветренную погоду оставляют прямые наклонные полосы на окнах равномерно движущегося поезда? Какова должна быть скорость ветра, чтобы полосы на окнах имели вид вертикальных прямых?

Рис. 34

Почему дождевые капли в безветренную погоду оставляют прямые наклонные полосы на окнах равномерно движущегося поезда?

След от дождевой капли на стекле окна поезда направлен вдоль вектора скорости капли относительно поезда. В системе отсчета, связанной с Землей, в безветренную погоду капли дождя падают вертикально вниз. Обозначим их скорость как $ \vec{v}_{к} $. Поезд движется горизонтально с постоянной скоростью $ \vec{v}_{п} $.

Скорость капли относительно поезда $ \vec{v}_{отн} $ находится по закону сложения скоростей (в данном случае, по правилу векторного вычитания):

$ \vec{v}_{отн} = \vec{v}_{к} - \vec{v}_{п} = \vec{v}_{к} + (-\vec{v}_{п}) $

Вектор $ \vec{v}_{к} $ направлен вертикально вниз. Вектор $ -\vec{v}_{п} $ направлен горизонтально, в сторону, противоположную движению поезда. Сумма этих двух взаимно перпендикулярных векторов представляет собой диагональ прямоугольника, построенного на этих векторах. Таким образом, результирующий вектор скорости капли относительно поезда $ \vec{v}_{отн} $ направлен по диагонали, то есть под наклоном.

Поскольку скорости капли и поезда постоянны (поезд движется равномерно, а капля падает с установившейся скоростью), то и их векторная разность $ \vec{v}_{отн} $ является постоянным вектором. Движение с постоянной скоростью происходит по прямой. Следовательно, капли оставляют на стеклах прямые наклонные полосы.

Ответ: Полосы на окнах являются наклонными из-за сложения двух скоростей: вертикальной скорости падения капель и горизонтальной скорости поезда (взятой с обратным знаком). Так как обе эти скорости постоянны, результирующая скорость капли относительно поезда также постоянна по величине и направлению, поэтому след от капли представляет собой прямую наклонную линию.

Какова должна быть скорость ветра, чтобы полосы на окнах имели вид вертикальных прямых?

Чтобы полосы на окнах были вертикальными, вектор скорости капли относительно поезда $ \vec{v}_{отн} $ должен быть направлен строго вертикально. Это означает, что горизонтальная составляющая относительной скорости капли должна быть равна нулю.

В данном случае на каплю, помимо силы тяжести, действует и ветер. Скорость капли относительно Земли $ \vec{v}_{к} $ теперь является суммой ее вертикальной скорости падения $ \vec{v}_{верт} $ и горизонтальной скорости ветра $ \vec{v}_{в} $ (предполагаем, что ветер горизонтальный):

$ \vec{v}_{к} = \vec{v}_{верт} + \vec{v}_{в} $

Скорость капли относительно поезда $ \vec{v}_{отн} $ по-прежнему вычисляется как:

$ \vec{v}_{отн} = \vec{v}_{к} - \vec{v}_{п} $

Подставим выражение для $ \vec{v}_{к} $:

$ \vec{v}_{отн} = (\vec{v}_{верт} + \vec{v}_{в}) - \vec{v}_{п} = \vec{v}_{верт} + (\vec{v}_{в} - \vec{v}_{п}) $

Вектор $ \vec{v}_{верт} $ - это вертикальная составляющая. Векторная разность $ (\vec{v}_{в} - \vec{v}_{п}) $ - это горизонтальная составляющая относительной скорости. Для того чтобы вектор $ \vec{v}_{отн} $ был направлен вертикально, его горизонтальная составляющая должна быть равна нулю:

$ \vec{v}_{в} - \vec{v}_{п} = \vec{0} $

Отсюда следует, что:

$ \vec{v}_{в} = \vec{v}_{п} $

Это означает, что вектор скорости ветра должен быть равен вектору скорости поезда. То есть ветер должен дуть в ту же сторону, что и движется поезд, и его скорость должна быть равна скорости поезда.

Ответ: Чтобы полосы на окнах были вертикальными, скорость ветра должна быть равна скорости поезда и направлена в ту же сторону.

* 110. Тела I и II движутся вдоль оси $x$. На рисунке 34 представлены графики зависимости координат движущихся тел I и II от времени. Чему равен модуль скорости тела I относительно тела II?

Рис. 34

Дано:

Из графика зависимости координаты от времени $x(t)$:

Для тела I:

в момент времени $t_{1I} = 0$ с, координата $x_{1I} = 140$ м;

в момент времени $t_{2I} = 10$ с, координата $x_{2I} = 20$ м.

Для тела II:

в момент времени $t_{1II} = 0$ с, координата $x_{1II} = 0$ м;

в момент времени $t_{2II} = 10$ с, координата $x_{2II} = 40$ м.

Данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Модуль скорости тела I относительно тела II — $|v_{12}|$?

Решение:

Поскольку графики зависимости координат от времени для обоих тел представляют собой прямые линии, движение тел является равномерным и прямолинейным. Скорость тела при таком движении постоянна и определяется как тангенс угла наклона графика $x(t)$ к оси времени или по формуле:

$v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$

Определим скорость (проекцию скорости на ось $x$) для первого тела:

$v_1 = \frac{x_{2I} - x_{1I}}{t_{2I} - t_{1I}} = \frac{20 \text{ м} - 140 \text{ м}}{10 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{-120 \text{ м}}{10 \text{ с}} = -12 \text{ м/с}$

Знак "минус" указывает, что тело I движется в направлении, противоположном положительному направлению оси $x$.

Определим скорость (проекцию скорости на ось $x$) для второго тела:

$v_2 = \frac{x_{2II} - x_{1II}}{t_{2II} - t_{1II}} = \frac{40 \text{ м} - 0 \text{ м}}{10 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{40 \text{ м}}{10 \text{ с}} = 4 \text{ м/с}$

Положительное значение скорости означает, что тело II движется в положительном направлении оси $x$.

Скорость тела I относительно тела II ($v_{12}$) находится по закону сложения скоростей (в проекциях на ось $x$):

$v_{12} = v_1 - v_2$

Подставим найденные значения скоростей:

$v_{12} = -12 \text{ м/с} - 4 \text{ м/с} = -16 \text{ м/с}$

Модуль скорости тела I относительно тела II равен абсолютной величине полученного значения:

$|v_{12}| = |-16 \text{ м/с}| = 16 \text{ м/с}$

Ответ: 16 м/с.

* 111. Пешеход идёт по прямолинейному участку дороги со скоростью 4 км/ч. Навстречу ему движутся автобус со скоростью 40 км/ч и велосипедист. С какой скоростью (в км/ч) должен двигаться велосипедист, чтобы модуль его скорости относительно пешехода и относительно автобуса был одинаков?

Дано:

Скорость пешехода $v_п = 4$ км/ч.

Скорость автобуса $v_а = 40$ км/ч.

Условие: $| \vec{v}_{в/п} | = | \vec{v}_{в/а} |$, где $v_{в/п}$ – скорость велосипедиста относительно пешехода, а $v_{в/а}$ – скорость велосипедиста относительно автобуса.

Все скорости даны в км/ч, и ответ требуется в км/ч, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Скорость велосипедиста $v_в$.

Решение:

Введем одномерную систему координат, направив ось OX в сторону движения пешехода. В этой системе отсчета скорости (проекции векторов скорости на ось) участников движения будут:

• Скорость пешехода: $v_{пx} = 4$ км/ч.
• Поскольку автобус и велосипедист движутся навстречу пешеходу, их скорости направлены в противоположную сторону оси OX, и их проекции будут отрицательными.
• Скорость автобуса: $v_{аx} = -40$ км/ч.
• Скорость велосипедиста: $v_{вx} = -v_в$, где $v_в$ — искомая скорость (модуль вектора скорости) велосипедиста.

Скорость одного тела относительно другого находится по формуле $v_{12} = v_1 - v_2$.

Найдем скорость велосипедиста относительно пешехода:

$v_{в/п_x} = v_{вx} - v_{пx} = -v_в - 4$

Найдем скорость велосипедиста относительно автобуса:

$v_{в/а_x} = v_{вx} - v_{аx} = -v_в - (-40) = 40 - v_в$

По условию задачи, модули этих относительных скоростей равны:

$|v_{в/п_x}| = |v_{в/а_x}|$

$|-v_в - 4| = |40 - v_в|$

Поскольку модуль отрицательного числа равен модулю положительного ($|-a| = |a|$), левую часть можно упростить:

$|v_в + 4| = |40 - v_в|$

Так как скорость $v_в$ является физической величиной (модулем вектора) и не может быть отрицательной ($v_в \ge 0$), то выражение $v_в + 4$ всегда будет положительным. Таким образом, $|v_в + 4| = v_в + 4$.

Получаем уравнение:

$v_в + 4 = |40 - v_в|$

Это уравнение эквивалентно двум случаям:

1. $v_в + 4 = 40 - v_в$ (если $40 - v_в \ge 0$, то есть $v_в \le 40$)

$2v_в = 40 - 4$

$2v_в = 36$

$v_в = 18$ км/ч

Это решение удовлетворяет условию $v_в \le 40$, следовательно, оно является верным.

2. $v_в + 4 = -(40 - v_в)$ (если $40 - v_в < 0$, то есть $v_в > 40$)

$v_в + 4 = v_в - 40$

$4 = -40$

Данное равенство неверно, следовательно, в этом случае решений нет.

Таким образом, существует только одно решение, удовлетворяющее условиям задачи.

Ответ: 18 км/ч.

* 112. С двух катеров, идущих в одном направлении, в момент, когда они поравнялись, одновременно были брошены в воду поплавки. Через полчаса катера развернулись и стали двигаться в обратном направлении. Одновременно ли они достигнут поплавков в случае, если катера находятся на озере; на реке?

$t_0 = 0.5$ часа

Перевод в систему СИ:

$t_0 = 0.5 \cdot 3600 \text{ с} = 1800 \text{ с}$

Одновременно ли катера достигнут поплавков в случае, если они находятся на озере; на реке?

Для решения этой задачи наиболее удобно использовать систему отсчета, связанную с водой. В этой системе отсчета поплавки, брошенные в воду, неподвижны, так как они движутся вместе с водой. Примем положение поплавков за начало координат ($x'=0$) в этой системе отсчета.

Введем обозначения:

$v_1$ – скорость первого катера относительно воды.

$v_2$ – скорость второго катера относительно воды.

Движение катеров относительно воды происходит со скоростями $v_1$ и $v_2$. Они удаляются от поплавков (от начала координат $x'=0$) в течение времени $t_0$. За это время они проходят в этой системе отсчета расстояния:

$S'_1 = v_1 \cdot t_0$

$S'_2 = v_2 \cdot t_0$

Затем катера разворачиваются и движутся обратно к поплавкам. Время, которое потребуется каждому катеру, чтобы вернуться к началу координат ($x'=0$), будет равно:

Для первого катера: $t'_{возвр1} = \frac{S'_1}{v_1} = \frac{v_1 \cdot t_0}{v_1} = t_0$.

Для второго катера: $t'_{возвр2} = \frac{S'_2}{v_2} = \frac{v_2 \cdot t_0}{v_2} = t_0$.

Таким образом, время возвращения к поплавкам для обоих катеров одинаково и равно времени их удаления от поплавков ($t_0$).

Этот вывод не зависит от того, движется вода или нет, так как мы рассматривали движение относительно самой воды. Принцип относительности Галилея гласит, что законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, а время течет одинаково. Поэтому результат будет справедлив как для озера, так и для реки.

На озере вода неподвижна. Система отсчета, связанная с водой, совпадает с системой отсчета, связанной с берегом. Как было показано выше, время возвращения каждого катера к поплавку равно $t_0$. Поскольку они развернулись одновременно, они и достигнут поплавков одновременно.

Ответ: Да, на озере катера достигнут поплавков одновременно.

На реке вода движется с некоторой скоростью течения. Однако, как было показано в общем решении в системе отсчета, связанной с водой, время возвращения каждого катера к своему поплавку также равно $t_0$. Так как катера развернулись одновременно, они достигнут поплавков, плывущих по реке, в один и тот же момент времени.

Ответ: Да, на реке катера также достигнут поплавков одновременно.

► 113. В поэме «О природе вещей» Лукреций Кар писал:

Кажется нам, что корабль, на котором плывём мы, неподвижен, Тот же, который стоит причаленный, мимо проходит; Кажется, будто к корме убегают холмы и долины, Мимо которых идёт наш корабль, паруса распустивши.

О чём нам поведал Лукреций? Какой фундаментальный принцип механики содержится в этих строках Лукреция? Кем он был сформулирован и в чём его суть?

О чём нам поведал Лукреций?

В приведённом отрывке из поэмы «О природе вещей» древнеримский поэт и философ Лукреций Кар описывает явление относительности механического движения. Он отмечает, что восприятие движения тела зависит от того, относительно каких других тел (в какой системе отсчёта) это движение рассматривается. Для наблюдателя, плывущего на корабле, сам корабль и всё, что на нём находится, кажется неподвижным, в то время как объекты на берегу (другой корабль, холмы и долины) воспринимаются как движущиеся в обратном направлении.

Ответ: Лукреций поведал об относительности механического движения: покой или движение тела являются относительными понятиями и зависят от выбора системы отсчёта.

Какой фундаментальный принцип механики содержится в этих строках Лукреция?

В этих строках поэтически описан фундаментальный принцип механики, известный как принцип относительности. Этот принцип утверждает, что законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Наблюдатель, находясь в равномерно движущейся системе отсчёта (корабль), воспринимает происходящее так же, как если бы он находился в покоящейся системе, а окружающий мир двигался относительно него.

Ответ: В этих строках содержится принцип относительности.

Кем он был сформулирован и в чём его суть?

Впервые этот принцип для механических явлений был чётко сформулирован великим итальянским учёным Галилео Галилеем в XVII веке, и поэтому он носит название принципа относительности Галилея.

Суть принципа относительности Галилея заключается в том, что все инерциальные системы отсчёта (то есть системы, которые находятся в состоянии покоя или движутся прямолинейно и равномерно) равноправны. Это означает, что никакими механическими опытами, проведёнными внутри замкнутой системы, невозможно определить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно. Все механические явления в таких системах протекают совершенно одинаково.

Ответ: Принцип был сформулирован Галилео Галилеем. Его суть состоит в том, что все механические процессы протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта, и невозможно отличить состояние покоя от состояния равномерного прямолинейного движения с помощью каких-либо механических экспериментов.

► 114. В классическом мысленном эксперименте Галилей анализировал падение пушечного ядра с мачты движущегося корабля с точки зрения наблюдателя, находящегося на берегу, и матроса, стоящего на палубе корабля. К каким выводам должен был прийти учёный?

Этот мысленный эксперимент позволил Галилею сформулировать фундаментальные принципы механики. Для понимания его выводов необходимо проанализировать падение ядра с точки зрения двух наблюдателей.

С точки зрения наблюдателя, находящегося на берегу

Наблюдатель на берегу находится в неподвижной системе отсчета. Для него корабль вместе с мачтой и ядром движется с постоянной горизонтальной скоростью $v$. Когда ядро отпускают, оно начинает участвовать в двух независимых движениях: оно продолжает по инерции двигаться вперед с той же горизонтальной скоростью $v$ и одновременно начинает падать вертикально вниз под действием силы тяжести с ускорением $g$. Сложение равномерного горизонтального движения и равноускоренного вертикального движения приводит к тому, что траектория ядра для наблюдателя на берегу является параболой. Поскольку и ядро, и корабль за время падения проходят одинаковое расстояние по горизонтали, ядро упадет точно к основанию мачты.

С точки зрения матроса, стоящего на палубе корабля

Матрос находится в системе отсчета, которая движется вместе с кораблем. В этой системе отсчета корабль, мачта и ядро до падения неподвижны. Когда ядро отпускают, оно не имеет начальной горизонтальной скорости относительно корабля. Его единственное движение — это свободное падение вертикально вниз. Таким образом, матрос увидит, что ядро падает по прямой вертикальной линии и приземляется у основания мачты.

Ответ: Сравнивая эти два описания одного и того же события, Галилей должен был прийти к двум важнейшим выводам, которые легли в основу классической механики:

1. Принцип инерции: тело сохраняет состояние своего движения. В данном случае пушечное ядро сохраняет свою горизонтальную скорость, равную скорости корабля, и движется вперед вместе с ним. Это опровергало представление Аристотеля о том, что для поддержания движения необходима постоянная сила.

2. Принцип относительности: все механические процессы протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета (то есть в тех, которые покоятся или движутся прямолинейно и равномерно). Находясь на корабле, невозможно с помощью механических опытов (как падение ядра) определить, движется ли корабль с постоянной скоростью или стоит на месте. Это означает, что не существует абсолютного покоя или абсолютного движения — любое движение относительно.