Номер 111, страница 24 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Относительность движения - номер 111, страница 24.

Условие.

* 111. Пешеход идёт по прямолинейному участку дороги со скоростью 4 км/ч. Навстречу ему движутся автобус со скоростью 40 км/ч и велосипедист. С какой скоростью (в км/ч) должен двигаться велосипедист, чтобы модуль его скорости относительно пешехода и относительно автобуса был одинаков?

Решение.

Дано:

Скорость пешехода $v_п = 4$ км/ч.

Скорость автобуса $v_а = 40$ км/ч.

Условие: $| \vec{v}_{в/п} | = | \vec{v}_{в/а} |$, где $v_{в/п}$ – скорость велосипедиста относительно пешехода, а $v_{в/а}$ – скорость велосипедиста относительно автобуса.

Все скорости даны в км/ч, и ответ требуется в км/ч, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Скорость велосипедиста $v_в$.

Решение:

Введем одномерную систему координат, направив ось OX в сторону движения пешехода. В этой системе отсчета скорости (проекции векторов скорости на ось) участников движения будут:

• Скорость пешехода: $v_{пx} = 4$ км/ч.
• Поскольку автобус и велосипедист движутся навстречу пешеходу, их скорости направлены в противоположную сторону оси OX, и их проекции будут отрицательными.
• Скорость автобуса: $v_{аx} = -40$ км/ч.
• Скорость велосипедиста: $v_{вx} = -v_в$, где $v_в$ — искомая скорость (модуль вектора скорости) велосипедиста.

Скорость одного тела относительно другого находится по формуле $v_{12} = v_1 - v_2$.

Найдем скорость велосипедиста относительно пешехода:

$v_{в/п_x} = v_{вx} - v_{пx} = -v_в - 4$

Найдем скорость велосипедиста относительно автобуса:

$v_{в/а_x} = v_{вx} - v_{аx} = -v_в - (-40) = 40 - v_в$

По условию задачи, модули этих относительных скоростей равны:

$|v_{в/п_x}| = |v_{в/а_x}|$

$|-v_в - 4| = |40 - v_в|$

Поскольку модуль отрицательного числа равен модулю положительного ($|-a| = |a|$), левую часть можно упростить:

$|v_в + 4| = |40 - v_в|$

Так как скорость $v_в$ является физической величиной (модулем вектора) и не может быть отрицательной ($v_в \ge 0$), то выражение $v_в + 4$ всегда будет положительным. Таким образом, $|v_в + 4| = v_в + 4$.

Получаем уравнение:

$v_в + 4 = |40 - v_в|$

Это уравнение эквивалентно двум случаям:

1. $v_в + 4 = 40 - v_в$ (если $40 - v_в \ge 0$, то есть $v_в \le 40$)

$2v_в = 40 - 4$

$2v_в = 36$

$v_в = 18$ км/ч

Это решение удовлетворяет условию $v_в \le 40$, следовательно, оно является верным.

2. $v_в + 4 = -(40 - v_в)$ (если $40 - v_в < 0$, то есть $v_в > 40$)

$v_в + 4 = v_в - 40$

$4 = -40$

Данное равенство неверно, следовательно, в этом случае решений нет.

Таким образом, существует только одно решение, удовлетворяющее условиям задачи.

Ответ: 18 км/ч.