Страница 20 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

86. В таблице приведены расстояния, которые тело прошло за первую, вторую и т. д. секунды с момента начала движения из состояния покоя. Направление скорости не меняется. В какие промежутки времени тело двигалось равноускоренно?

$t$, с 1-я 2-я 3-я 4-я 5-я

$s$, м 15 45 75 105 135

Дано:

Движение начинается из состояния покоя, начальная скорость $v_0 = 0$ м/с.

В таблице приведены расстояния, пройденные за последовательные секундные интервалы времени:

За 1-ю секунду ($n=1$): $\Delta s_1 = 15$ м.

За 2-ю секунду ($n=2$): $\Delta s_2 = 45$ м.

За 3-ю секунду ($n=3$): $\Delta s_3 = 75$ м.

За 4-ю секунду ($n=4$): $\Delta s_4 = 105$ м.

За 5-ю секунду ($n=5$): $\Delta s_5 = 135$ м.

Найти:

Промежутки времени, в которые тело двигалось равноускоренно.

Решение:

Равноускоренное движение — это движение с постоянным ускорением ($a = \text{const}$).

Для прямолинейного равноускоренного движения без начальной скорости ($v_0 = 0$) путь, пройденный телом за $n$-ую секунду, вычисляется по формуле:

$\Delta s_n = s(t_n) - s(t_{n-1}) = \frac{a t_n^2}{2} - \frac{a t_{n-1}^2}{2}$

Так как $t_n = n$ секунд, а $t_{n-1} = n-1$ секунд, то:

$\Delta s_n = \frac{a n^2}{2} - \frac{a (n-1)^2}{2} = \frac{a}{2}(n^2 - (n-1)^2) = \frac{a}{2}(n^2 - (n^2 - 2n + 1)) = \frac{a}{2}(2n - 1)$

Из этой формулы следует, что при равноускоренном движении из состояния покоя расстояния, пройденные за последовательные равные промежутки времени (в данном случае, за каждую секунду), относятся как ряд последовательных нечетных чисел:

$\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 : \dots = (2 \cdot 1 - 1) : (2 \cdot 2 - 1) : (2 \cdot 3 - 1) : \dots = 1 : 3 : 5 : \dots$

Проверим, выполняется ли это соотношение для данных из задачи.

$\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 : \Delta s_4 : \Delta s_5 = 15 : 45 : 75 : 105 : 135$

Разделим все значения на наименьшее, $\Delta s_1 = 15$:

$\frac{15}{15} : \frac{45}{15} : \frac{75}{15} : \frac{105}{15} : \frac{135}{15} = 1 : 3 : 5 : 7 : 9$

Полученное соотношение $1:3:5:7:9$ полностью соответствует ряду нечетных чисел. Это означает, что движение было равноускоренным в течение всего наблюдаемого времени.

Для дополнительной проверки можно вычислить ускорение на каждом интервале, используя формулу $a = \frac{2 \Delta s_n}{2n - 1}$:

Для $n=1$: $a = \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{30}{1} = 30 \text{ м/с}^2$

Для $n=2$: $a = \frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2 - 1} = \frac{90}{3} = 30 \text{ м/с}^2$

Для $n=3$: $a = \frac{2 \cdot 75}{2 \cdot 3 - 1} = \frac{150}{5} = 30 \text{ м/с}^2$

Для $n=4$: $a = \frac{2 \cdot 105}{2 \cdot 4 - 1} = \frac{210}{7} = 30 \text{ м/с}^2$

Для $n=5$: $a = \frac{2 \cdot 135}{2 \cdot 5 - 1} = \frac{270}{9} = 30 \text{ м/с}^2$

Ускорение постоянно ($a = 30 \text{ м/с}^2$) на протяжении всех пяти секунд, следовательно, движение является равноускоренным во всех указанных промежутках времени.

Ответ: Тело двигалось равноускоренно в течение всех пяти секунд наблюдения, то есть на всем промежутке времени от 0 с до 5 с.

87. Межпланетная станция «Марс-1», имея начальную скорость 12 км/с, в конце первого миллиона километров уменьшила её до 3,9 км/с. Определите время этого перелёта и ускорение. Считать движение станции прямолинейным и равнозамедленным.

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 12$ км/с

Конечная скорость, $v = 3.9$ км/с

Пройденный путь, $s = 1 \cdot 10^6$ км

Перевод в систему СИ:
$v_0 = 12 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 12 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 12000 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$v = 3.9 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 3.9 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 3900 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$s = 1 \cdot 10^6 \text{ км} = 1 \cdot 10^6 \cdot 10^3 \text{ м} = 10^9 \text{ м}$

Найти:

Время перелёта, $t$ — ?

Ускорение, $a$ — ?

Решение:

Согласно условию, движение станции является прямолинейным и равнозамедленным. Для решения задачи будем использовать основные кинематические формулы для такого типа движения.

Время этого перелёта

Для нахождения времени перелёта воспользуемся формулой, связывающей путь, начальную, конечную скорости и время:

$s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$

Из данной формулы выразим искомую величину $t$:

$t = \frac{2s}{v_0 + v}$

Подставим числовые значения из системы СИ и произведем вычисления:

$t = \frac{2 \cdot 10^9 \text{ м}}{12000 \frac{\text{м}}{\text{с}} + 3900 \frac{\text{м}}{\text{с}}} = \frac{2 \cdot 10^9}{15900} \text{ с} \approx 125786 \text{ с}$

Учитывая, что исходные данные имеют две значащие цифры, округлим результат до двух значащих цифр: $t \approx 1.3 \cdot 10^5$ с. (Это примерно 1.5 суток).

Ответ: время перелёта составляет примерно $1.3 \cdot 10^5$ с.

Ускорение

Для нахождения ускорения воспользуемся формулой, связывающей путь, начальную, конечную скорости и ускорение:

$s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

Из данной формулы выразим искомую величину $a$:

$a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s}$

Подставим числовые значения из системы СИ и произведем вычисления:

$a = \frac{(3900 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2 - (12000 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2 \cdot 10^9 \text{ м}} = \frac{15210000 - 144000000}{2 \cdot 10^9} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$a = \frac{-128790000}{2 \cdot 10^9} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx -0.064395 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Знак "минус" в результате означает, что вектор ускорения направлен противоположно вектору начальной скорости, что соответствует равнозамедленному движению. Округлим результат до двух значащих цифр: $a \approx -0.064$ м/с².

Ответ: ускорение станции равно примерно $-0.064$ м/с².

88. По данным, приведённым в таблице, составьте задачи и решите их.

Время разгона, c | Скорость после разгона, км/ч | Ускорение, $м/с^2$ | Пройденный путь, м

Автомобиль «Лада Гранта» | 12 | 100 | ? | ?

Гоночный автомобиль | 3,4 | 100 | ? | ?

Автомобиль «Нива» | 19 | 100 | ? | ?

Гепард | 2 | 72 | ? | ?

Конькобежец-спринтер | 8,5 | ? | ? | 50

Окончание табл.

Время разгона, c | Скорость после разгона, км/ч | Ускорение, $м/с^2$ | Пройденный путь, м

Легкоатлет-спринтер | ? | 39,6 | ? | 40

Велосипедист | 15 | ? | ? | 200

Во всех случаях движение во время разгона считать равноускоренным из состояния покоя. Проанализируйте полученные результаты.

Автомобиль «Лада Гранта»

Дано:

Время разгона $t = 12 \text{ с}$
Скорость после разгона $v = 100 \text{ км/ч}$
Начальная скорость $v_0 = 0$

Переведем скорость в систему СИ:
$v = 100 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 100 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{250}{9} \text{ м/с} \approx 27.78 \text{ м/с}$

Найти:

Ускорение $a - ?$
Пройденный путь $s - ?$

Решение:

Движение является равноускоренным из состояния покоя ($v_0 = 0$).
Ускорение найдем по формуле: $a = \frac{v}{t}$.
$a = \frac{250/9 \text{ м/с}}{12 \text{ с}} = \frac{250}{108} \text{ м/с}^2 = \frac{125}{54} \text{ м/с}^2 \approx 2.31 \text{ м/с}^2$.
Пройденный путь вычислим по формуле: $s = \frac{vt}{2}$.
$s = \frac{(250/9 \text{ м/с}) \cdot 12 \text{ с}}{2} = \frac{1500}{9} \text{ м} = \frac{500}{3} \text{ м} \approx 166.7 \text{ м}$.

Ответ: Ускорение $a \approx 2.31 \text{ м/с}^2$; пройденный путь $s \approx 166.7 \text{ м}$.

Гоночный автомобиль

Дано:

Время разгона $t = 3.4 \text{ с}$
Скорость после разгона $v = 100 \text{ км/ч}$
Начальная скорость $v_0 = 0$

Переведем скорость в систему СИ:
$v = 100 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \approx 27.78 \text{ м/с}$

Найти:

Ускорение $a - ?$
Пройденный путь $s - ?$

Решение:

Используем те же формулы, что и в предыдущей задаче.
Ускорение: $a = \frac{v}{t}$.
$a = \frac{27.78 \text{ м/с}}{3.4 \text{ с}} \approx 8.17 \text{ м/с}^2$.
Пройденный путь: $s = \frac{vt}{2}$.
$s = \frac{27.78 \text{ м/с} \cdot 3.4 \text{ с}}{2} \approx 47.2 \text{ м}$.

Ответ: Ускорение $a \approx 8.17 \text{ м/с}^2$; пройденный путь $s \approx 47.2 \text{ м}$.

Автомобиль «Нива»

Дано:

Время разгона $t = 19 \text{ с}$
Скорость после разгона $v = 100 \text{ км/ч}$
Начальная скорость $v_0 = 0$

Переведем скорость в систему СИ:
$v = 100 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \approx 27.78 \text{ м/с}$

Найти:

Ускорение $a - ?$
Пройденный путь $s - ?$

Решение:

Ускорение: $a = \frac{v}{t}$.
$a = \frac{27.78 \text{ м/с}}{19 \text{ с}} \approx 1.46 \text{ м/с}^2$.
Пройденный путь: $s = \frac{vt}{2}$.
$s = \frac{27.78 \text{ м/с} \cdot 19 \text{ с}}{2} \approx 263.9 \text{ м}$.

Ответ: Ускорение $a \approx 1.46 \text{ м/с}^2$; пройденный путь $s \approx 263.9 \text{ м}$.

Гепард

Дано:

Время разгона $t = 2 \text{ с}$
Скорость после разгона $v = 72 \text{ км/ч}$
Начальная скорость $v_0 = 0$

Переведем скорость в систему СИ:
$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

Найти:

Ускорение $a - ?$
Пройденный путь $s - ?$

Решение:

Ускорение: $a = \frac{v}{t}$.
$a = \frac{20 \text{ м/с}}{2 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}^2$.
Пройденный путь: $s = \frac{vt}{2}$.
$s = \frac{20 \text{ м/с} \cdot 2 \text{ с}}{2} = 20 \text{ м}$.

Ответ: Ускорение $a = 10 \text{ м/с}^2$; пройденный путь $s = 20 \text{ м}$.

Конькобежец-спринтер

Дано:

Время разгона $t = 8.5 \text{ с}$
Пройденный путь $s = 50 \text{ м}$
Начальная скорость $v_0 = 0$

Найти:

Скорость после разгона $v - ?$
Ускорение $a - ?$

Решение:

Из формулы для пути $s = \frac{vt}{2}$ выразим конечную скорость $v = \frac{2s}{t}$.
$v = \frac{2 \cdot 50 \text{ м}}{8.5 \text{ с}} = \frac{100}{8.5} \text{ м/с} \approx 11.76 \text{ м/с}$.
Переведем скорость в км/ч: $v \approx 11.76 \cdot 3.6 \text{ км/ч} \approx 42.4 \text{ км/ч}$.
Ускорение найдем по формуле $a = \frac{v}{t}$.
$a = \frac{11.76 \text{ м/с}}{8.5 \text{ с}} \approx 1.38 \text{ м/с}^2$.

Ответ: Скорость после разгона $v \approx 42.4 \text{ км/ч}$; ускорение $a \approx 1.38 \text{ м/с}^2$.

Легкоатлет-спринтер

Дано:

Скорость после разгона $v = 39.6 \text{ км/ч}$
Пройденный путь $s = 40 \text{ м}$
Начальная скорость $v_0 = 0$

Переведем скорость в систему СИ:
$v = 39.6 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 39.6 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 11 \text{ м/с}$

Найти:

Время разгона $t - ?$
Ускорение $a - ?$

Решение:

Из формулы $s = \frac{vt}{2}$ выразим время разгона $t = \frac{2s}{v}$.
$t = \frac{2 \cdot 40 \text{ м}}{11 \text{ м/с}} = \frac{80}{11} \text{ с} \approx 7.27 \text{ с}$.
Ускорение найдем по формуле $a = \frac{v^2}{2s}$.
$a = \frac{(11 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 40 \text{ м}} = \frac{121}{80} \text{ м/с}^2 = 1.5125 \text{ м/с}^2 \approx 1.51 \text{ м/с}^2$.

Ответ: Время разгона $t \approx 7.27 \text{ с}$; ускорение $a \approx 1.51 \text{ м/с}^2$.

Велосипедист

Дано:

Время разгона $t = 15 \text{ с}$
Пройденный путь $s = 200 \text{ м}$
Начальная скорость $v_0 = 0$

Найти:

Скорость после разгона $v - ?$
Ускорение $a - ?$

Решение:

Из формулы $s = \frac{vt}{2}$ выразим конечную скорость $v = \frac{2s}{t}$.
$v = \frac{2 \cdot 200 \text{ м}}{15 \text{ с}} = \frac{400}{15} \text{ м/с} = \frac{80}{3} \text{ м/с} \approx 26.67 \text{ м/с}$.
Переведем скорость в км/ч: $v = \frac{80}{3} \cdot 3.6 \text{ км/ч} = 96 \text{ км/ч}$.
Ускорение найдем из формулы $s = \frac{at^2}{2}$, откуда $a = \frac{2s}{t^2}$.
$a = \frac{2 \cdot 200 \text{ м}}{(15 \text{ с})^2} = \frac{400}{225} \text{ м/с}^2 = \frac{16}{9} \text{ м/с}^2 \approx 1.78 \text{ м/с}^2$.

Ответ: Скорость после разгона $v = 96 \text{ км/ч}$; ускорение $a \approx 1.78 \text{ м/с}^2$.

Анализ полученных результатов

Проанализировав вычисленные значения, можно сделать следующие выводы:
1. Ускорение. Наибольшее ускорение ($10 \text{ м/с}^2$) развивает гепард, что соответствует его репутации самого быстрого наземного животного на коротких дистанциях. Сразу за ним следует гоночный автомобиль ($\approx 8.17 \text{ м/с}^2$). Ускорения легковых автомобилей и спортсменов значительно ниже и находятся в диапазоне от $1.38 \text{ м/с}^2$ до $2.31 \text{ м/с}^2$.
2. Время разгона до 100 км/ч. Сравнение автомобилей показывает, что гоночный автомобиль достигает этой скорости всего за 3.4 с, в то время как «Ладе Гранте» требуется 12 с, а «Ниве» — 19 с. Это отражает различия в мощности и назначении транспортных средств.
3. Скорости. Велосипедист достигает впечатляющей скорости в $96 \text{ км/ч}$ за 15 секунд, что возможно для профессиональных спортсменов на треке. Скорости конькобежца ($\approx 42.4 \text{ км/ч}$) и легкоатлета ($39.6 \text{ км/ч}$) также соответствуют мировым рекордам в своих видах спорта.
Все полученные результаты являются физически правдоподобными.