Номер 86, страница 20 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Прямолинейное равноускоренное движение. Ускорение. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении - номер 86, страница 20.

Условие.

86. В таблице приведены расстояния, которые тело прошло за первую, вторую и т. д. секунды с момента начала движения из состояния покоя. Направление скорости не меняется. В какие промежутки времени тело двигалось равноускоренно?

$t$, с 1-я 2-я 3-я 4-я 5-я

$s$, м 15 45 75 105 135

Решение.

Дано:

Движение начинается из состояния покоя, начальная скорость $v_0 = 0$ м/с.

В таблице приведены расстояния, пройденные за последовательные секундные интервалы времени:

За 1-ю секунду ($n=1$): $\Delta s_1 = 15$ м.

За 2-ю секунду ($n=2$): $\Delta s_2 = 45$ м.

За 3-ю секунду ($n=3$): $\Delta s_3 = 75$ м.

За 4-ю секунду ($n=4$): $\Delta s_4 = 105$ м.

За 5-ю секунду ($n=5$): $\Delta s_5 = 135$ м.

Найти:

Промежутки времени, в которые тело двигалось равноускоренно.

Решение:

Равноускоренное движение — это движение с постоянным ускорением ($a = \text{const}$).

Для прямолинейного равноускоренного движения без начальной скорости ($v_0 = 0$) путь, пройденный телом за $n$-ую секунду, вычисляется по формуле:

$\Delta s_n = s(t_n) - s(t_{n-1}) = \frac{a t_n^2}{2} - \frac{a t_{n-1}^2}{2}$

Так как $t_n = n$ секунд, а $t_{n-1} = n-1$ секунд, то:

$\Delta s_n = \frac{a n^2}{2} - \frac{a (n-1)^2}{2} = \frac{a}{2}(n^2 - (n-1)^2) = \frac{a}{2}(n^2 - (n^2 - 2n + 1)) = \frac{a}{2}(2n - 1)$

Из этой формулы следует, что при равноускоренном движении из состояния покоя расстояния, пройденные за последовательные равные промежутки времени (в данном случае, за каждую секунду), относятся как ряд последовательных нечетных чисел:

$\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 : \dots = (2 \cdot 1 - 1) : (2 \cdot 2 - 1) : (2 \cdot 3 - 1) : \dots = 1 : 3 : 5 : \dots$

Проверим, выполняется ли это соотношение для данных из задачи.

$\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 : \Delta s_4 : \Delta s_5 = 15 : 45 : 75 : 105 : 135$

Разделим все значения на наименьшее, $\Delta s_1 = 15$:

$\frac{15}{15} : \frac{45}{15} : \frac{75}{15} : \frac{105}{15} : \frac{135}{15} = 1 : 3 : 5 : 7 : 9$

Полученное соотношение $1:3:5:7:9$ полностью соответствует ряду нечетных чисел. Это означает, что движение было равноускоренным в течение всего наблюдаемого времени.

Для дополнительной проверки можно вычислить ускорение на каждом интервале, используя формулу $a = \frac{2 \Delta s_n}{2n - 1}$:

Для $n=1$: $a = \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{30}{1} = 30 \text{ м/с}^2$

Для $n=2$: $a = \frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2 - 1} = \frac{90}{3} = 30 \text{ м/с}^2$

Для $n=3$: $a = \frac{2 \cdot 75}{2 \cdot 3 - 1} = \frac{150}{5} = 30 \text{ м/с}^2$

Для $n=4$: $a = \frac{2 \cdot 105}{2 \cdot 4 - 1} = \frac{210}{7} = 30 \text{ м/с}^2$

Для $n=5$: $a = \frac{2 \cdot 135}{2 \cdot 5 - 1} = \frac{270}{9} = 30 \text{ м/с}^2$

Ускорение постоянно ($a = 30 \text{ м/с}^2$) на протяжении всех пяти секунд, следовательно, движение является равноускоренным во всех указанных промежутках времени.

Ответ: Тело двигалось равноускоренно в течение всех пяти секунд наблюдения, то есть на всем промежутке времени от 0 с до 5 с.