Номер 93, страница 22 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Прямолинейное равноускоренное движение. Ускорение. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении. Законы движения и взаимодействия тел - номер 93, страница 22.

► 93. В опыте с наклонной плоскостью Галилей установил, что пути, проходимые шаром за одну, две, три и т. д. секунды, относятся как $1 : 4 : 9 : 16 : 25...$ Определите, какую зависимость между пройденным шаром путём и временем получил в опыте учёный. Что можно сказать о характере движения?

Дано:

В опыте Галилея с шаром, скатывающимся по наклонной плоскости, были получены следующие данные:

Время движения: $t_1 = 1$ с, $t_2 = 2$ с, $t_3 = 3$ с, $t_4 = 4$ с, $t_5 = 5$ с...

Отношение путей, пройденных за эти промежутки времени: $s_1 : s_2 : s_3 : s_4 : s_5 : ... = 1 : 4 : 9 : 16 : 25 : ...$

Найти:

1. Зависимость между пройденным путём $s$ и временем $t$.

2. Характер движения шара.

Решение:

1. Зависимость между пройденным шаром путём и временем

Проанализируем соотношение между временем и пройденным путём. Обозначим путь, пройденный за 1 секунду, как $s_0$. Тогда, согласно данным из условия:

За время $t_1 = 1$ с, путь $s_1 = 1 \cdot s_0$

За время $t_2 = 2$ с, путь $s_2 = 4 \cdot s_0$

За время $t_3 = 3$ с, путь $s_3 = 9 \cdot s_0$

За время $t_4 = 4$ с, путь $s_4 = 16 \cdot s_0$

и так далее.

Заметим, что числа в правой части отношения $(1, 4, 9, 16, 25, ...)$ являются квадратами натуральных чисел $(1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, ...)$, которые соответствуют времени движения в секундах.

Таким образом, мы можем записать:

$s_1 = s_0 \cdot 1^2 = s_0 \cdot t_1^2$

$s_2 = s_0 \cdot 2^2 = s_0 \cdot t_2^2$

$s_3 = s_0 \cdot 3^2 = s_0 \cdot t_3^2$

Обобщая, для любого момента времени $t$ пройденный путь $s$ выражается формулой:

$s(t) = s_0 \cdot t^2$

Здесь $s_0$ — это некоторый постоянный коэффициент, зависящий от условий опыта (например, от угла наклона плоскости). Таким образом, пройденный шаром путь прямо пропорционален квадрату времени движения.

Ответ: Галилей получил квадратичную зависимость: пройденный шаром путь прямо пропорционален квадрату времени его движения, что можно выразить формулой $s = kt^2$, где $k$ — постоянный коэффициент.

2. Характер движения

Рассмотрим уравнение для пути при равноускоренном движении из состояния покоя:

$s = v_0t + \frac{at^2}{2}$

Поскольку шар начинает движение из состояния покоя, его начальная скорость $v_0 = 0$. Тогда уравнение принимает вид:

$s = \frac{at^2}{2}$

Сравнивая это уравнение с зависимостью, полученной из опыта Галилея ($s = kt^2$), мы видим, что они имеют одинаковый вид. Коэффициент пропорциональности $k$ в опыте Галилея соответствует половине ускорения шара: $k = \frac{a}{2}$.

Тот факт, что пройденный путь пропорционален квадрату времени, означает, что ускорение $a$ является постоянной величиной ($a = 2k = \text{const}$). Движение с постоянным ускорением называется равноускоренным.

Ответ: Движение шара является равноускоренным, то есть происходит с постоянным ускорением.