Номер 95, страница 22 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Прямолинейное равноускоренное движение. Ускорение. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении - номер 95, страница 22.

Условие.

95. Докажите, что скорость равнопеременного движения в середине произвольного интервала времени равна полусумме начальной и конечной скоростей на этом интервале.

Решение.

Дано:

Равнопеременное движение ($a = \text{const}$).

Временной интервал от $t_1$ до $t_2$.

$v_1$ – скорость в момент времени $t_1$.

$v_2$ – скорость в момент времени $t_2$.

Найти:

Доказать, что $v_{mid} = \frac{v_1 + v_2}{2}$, где $v_{mid}$ – скорость в середине временного интервала.

Решение:

Зависимость скорости от времени при равнопеременном движении описывается линейной функцией:

$v(t) = v_0 + at$,

где $v_0$ – скорость в начальный момент времени ($t=0$), а $a$ – постоянное ускорение.

Рассмотрим произвольный интервал времени от $t_1$ до $t_2$.

Скорость в начале этого интервала, в момент времени $t_1$, равна:

$v_1 = v(t_1) = v_0 + at_1$

Скорость в конце этого интервала, в момент времени $t_2$, равна:

$v_2 = v(t_2) = v_0 + at_2$

Найдем полусумму начальной и конечной скоростей на данном интервале:

$\frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{(v_0 + at_1) + (v_0 + at_2)}{2} = \frac{2v_0 + a(t_1 + t_2)}{2} = v_0 + a \frac{t_1 + t_2}{2}$

Теперь найдем скорость в середине данного временного интервала. Середина интервала времени от $t_1$ до $t_2$ – это момент времени $t_{mid} = \frac{t_1 + t_2}{2}$.

Скорость в этот момент времени $v_{mid}$ будет равна:

$v_{mid} = v(t_{mid}) = v_0 + a \cdot t_{mid} = v_0 + a \frac{t_1 + t_2}{2}$

Сравнивая полученные выражения для полусуммы скоростей и для скорости в середине интервала, видим, что они тождественно равны:

$v_{mid} = v_0 + a \frac{t_1 + t_2}{2}$

$\frac{v_1 + v_2}{2} = v_0 + a \frac{t_1 + t_2}{2}$

Следовательно, $v_{mid} = \frac{v_1 + v_2}{2}$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что скорость равнопеременного движения в середине произвольного интервала времени ($v_{mid}$) равна полусумме начальной ($v_1$) и конечной ($v_2$) скоростей на этом интервале, то есть $v_{mid} = \frac{v_1 + v_2}{2}$.