Страница 18 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

77. Используя данные таблицы, постройте график зависимости скорости автомобиля от времени. Определите по графику, с какой скоростью двигался автомобиль в моменты времени 3,5 с; 5,4 с. Какой путь прошёл он за время от $t_1 = 2 \text{ с}$ до $t_2 = 5 \text{ с}$?

Время, с: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Скорость, м/с: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23

Дано:

Таблица зависимости скорости $v$ от времени $t$:
Время, с: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Скорость, м/с: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23

$t_1 = 2$ с
$t_2 = 5$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. График зависимости $v(t)$.
2. Скорость $v$ при $t = 3,5$ с и $t = 5,4$ с.
3. Путь $s$, пройденный за время от $t_1$ до $t_2$.

Решение:

Постройте график зависимости скорости автомобиля от времени.

Для построения графика нанесём на координатную плоскость точки, координаты которых соответствуют данным из таблицы. По оси абсцисс (горизонтальной) отложим время $t$ в секундах, а по оси ординат (вертикальной) — скорость $v$ в м/с. Точки для построения: (0; 5), (1; 8), (2; 11), (3; 14), (4; 17), (5; 20), (6; 23). Соединив эти точки, мы получим прямую линию. Это означает, что движение автомобиля является равноускоренным, то есть происходит с постоянным ускорением. Уравнение зависимости скорости от времени для равноускоренного движения имеет вид: $v(t) = v_0 + at$, где $v_0$ — начальная скорость, а $a$ — ускорение. Из таблицы видно, что начальная скорость (при $t=0$) составляет $v_0 = 5$ м/с. Ускорение можно найти как отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$. Возьмем, например, первые две точки из таблицы: $a = \frac{8 \text{ м/с} - 5 \text{ м/с}}{1 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 3 \text{ м/с}^2$. Таким образом, зависимость скорости от времени описывается уравнением: $v(t) = 5 + 3t$. Графиком этой зависимости является прямая линия.

Ответ: График зависимости скорости от времени является прямой линией, проходящей через точки, указанные в таблице. Уравнение движения: $v(t) = 5 + 3t$.

Определите по графику, с какой скоростью двигался автомобиль в моменты времени 3,5 с; 5,4 с.

Для определения скорости в заданные моменты времени можно либо найти соответствующие значения на построенном графике (интерполяция), либо использовать выведенное ранее уравнение $v(t) = 5 + 3t$, что является более точным.
При $t = 3,5$ с: $v(3,5) = 5 + 3 \cdot 3,5 = 5 + 10,5 = 15,5$ м/с.
При $t = 5,4$ с: $v(5,4) = 5 + 3 \cdot 5,4 = 5 + 16,2 = 21,2$ м/с.

Ответ: В момент времени 3,5 с скорость автомобиля составляла 15,5 м/с; в момент времени 5,4 с — 21,2 м/с.

Какой путь прошёл он за время от t₁ = 2 с до t₂ = 5 с?

Пройденный путь численно равен площади фигуры под графиком скорости $v(t)$ в заданном интервале времени. На интервале от $t_1 = 2$ с до $t_2 = 5$ с эта фигура является трапецией. Основаниями трапеции служат значения скорости в моменты времени $t_1$ и $t_2$, а высотой — промежуток времени $\Delta t = t_2 - t_1$.
Найдем скорости в начальный и конечный моменты времени из таблицы:
Скорость при $t_1 = 2$ с: $v_1 = v(2) = 11$ м/с.
Скорость при $t_2 = 5$ с: $v_2 = v(5) = 20$ м/с.
Промежуток времени: $\Delta t = t_2 - t_1 = 5 \text{ с} - 2 \text{ с} = 3$ с.
Площадь трапеции (пройденный путь $s$) вычисляется по формуле: $s = \frac{v_1 + v_2}{2} \cdot \Delta t$.
$s = \frac{11 \text{ м/с} + 20 \text{ м/с}}{2} \cdot 3 \text{ с} = \frac{31}{2} \cdot 3 = 15,5 \cdot 3 = 46,5$ м.

Ответ: За время от 2 с до 5 с автомобиль прошёл путь 46,5 м.

78. Постройте графики скорости самолёта при разгоне $(v_0 = 0, a = 1,5 \text{ м/с}^2)$, поезда при движении с места $(v_0 = 0, a = 0,3 \text{ м/с}^2)$.

Дано:

Самолёт:

Начальная скорость $v_{0с} = 0 \text{ м/с}$

Ускорение $a_{с} = 1,5 \text{ м/с}^2$

Поезд:

Начальная скорость $v_{0п} = 0 \text{ м/с}$

Ускорение $a_{п} = 0,3 \text{ м/с}^2$

Найти:

Построить графики зависимости скорости от времени $v(t)$ для самолёта и поезда.

Решение:

Движение самолёта и поезда является равноускоренным, так как их ускорения постоянны, а начальная скорость равна нулю. Зависимость скорости от времени при равноускоренном движении описывается уравнением: $v(t) = v_0 + at$.

Так как в обоих случаях движение начинается из состояния покоя ($v_0 = 0$), уравнение для скорости принимает вид $v(t) = at$. Это уравнение линейной функции, графиком которой является прямая линия, проходящая через начало координат. Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) этой прямой к оси времени равен ускорению $a$.

График скорости самолёта

Уравнение зависимости скорости от времени для самолёта имеет вид: $v_{с}(t) = 1,5t$.

Для построения графика найдём координаты двух точек, принадлежащих этой прямой:

При $t = 0 \text{ с}$, $v_{с} = 1,5 \cdot 0 = 0 \text{ м/с}$. Первая точка — начало координат (0; 0).

При $t = 10 \text{ с}$, $v_{с} = 1,5 \cdot 10 = 15 \text{ м/с}$. Вторая точка — (10; 15).

График скорости самолёта – это прямая, проходящая через точки (0; 0) и (10; 15).

График скорости поезда

Уравнение зависимости скорости от времени для поезда имеет вид: $v_{п}(t) = 0,3t$.

Найдём координаты двух точек для построения графика:

При $t = 0 \text{ с}$, $v_{п} = 0,3 \cdot 0 = 0 \text{ м/с}$. Первая точка — начало координат (0; 0).

При $t = 10 \text{ с}$, $v_{п} = 0,3 \cdot 10 = 3 \text{ м/с}$. Вторая точка — (10; 3).

График скорости поезда – это прямая, проходящая через точки (0; 0) и (10; 3).

Построим оба графика в одной системе координат $v(t)$, где по оси абсцисс отложено время $t$ в секундах, а по оси ординат — скорость $v$ в м/с.

Ответ:

Графики зависимости скорости от времени для самолёта ($v_{с}(t) = 1,5t$) и поезда ($v_{п}(t) = 0,3t$) представляют собой две прямые линии, выходящие из начала координат. График скорости самолёта имеет больший угол наклона к оси времени, чем график скорости поезда, так как ускорение самолёта больше.

79. По графикам, представленным на рисунке 25, определите: а) характер каждого движения; б) ускорение; в) скорость в момент времени $t = 2\text{ с}$; г) путь, пройденный телами за интервал времени от 0 до 2 с; д) что означают точки пересечения графиков.

Рис. 25

Дано:

Графики зависимости скорости $v$ от времени $t$ для пяти тел. Все величины представлены в системе СИ (скорость в м/с, время в с).

Найти:

а) характер каждого движения;

б) ускорение для каждого движения;

в) скорость в момент времени $t = 2$ с для каждого тела;

г) путь, пройденный телами за интервал времени от 0 до 2 с;

д) что означают точки пересечения графиков.

Решение:

а) характер каждого движения

Проанализируем каждый график зависимости скорости от времени $v(t)$:

1. График 1 представляет собой прямую линию с отрицательным наклоном. Скорость линейно уменьшается со временем. Следовательно, это прямолинейное равнозамедленное движение.

2. График 2 представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, с положительным наклоном. Скорость линейно увеличивается со временем, начиная с нуля. Это прямолинейное равноускоренное движение из состояния покоя.

3. График 3 — горизонтальная прямая. Скорость тела постоянна и не равна нулю. Это прямолинейное равномерное движение.

4. График 4, как и график 2, является прямой, проходящей через начало координат с положительным наклоном. Это прямолинейное равноускоренное движение из состояния покоя.

5. График 5 — прямая линия с положительным наклоном, не проходящая через начало координат. Скорость линейно увеличивается со временем, при этом начальная скорость не равна нулю. Это прямолинейное равноускоренное движение.

Ответ: 1 – прямолинейное равнозамедленное; 2 – прямолинейное равноускоренное из состояния покоя; 3 – прямолинейное равномерное; 4 – прямолинейное равноускоренное из состояния покоя; 5 – прямолинейное равноускоренное.

б) ускорение

Ускорение $a$ равно тангенсу угла наклона графика $v(t)$ к оси времени, то есть вычисляется по формуле $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$.

1. Для тела 1, используя точки $(0 \text{ с}; 60 \text{ м/с})$ и $(3 \text{ с}; 0 \text{ м/с})$: $a_1 = \frac{0 - 60 \text{ м/с}}{3 - 0 \text{ с}} = -20 \text{ м/с}^2$.

2. Для тела 2, используя точки $(0 \text{ с}; 0 \text{ м/с})$ и $(4 \text{ с}; 20 \text{ м/с})$: $a_2 = \frac{20 - 0 \text{ м/с}}{4 - 0 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}^2$.

3. Для тела 3, скорость постоянна ($v = 40 \text{ м/с}$), поэтому изменение скорости равно нулю, $\Delta v = 0$. Следовательно, $a_3 = 0 \text{ м/с}^2$.

4. Для тела 4, используя точки $(0 \text{ с}; 0 \text{ м/с})$ и $(5 \text{ с}; 60 \text{ м/с})$: $a_4 = \frac{60 - 0 \text{ м/с}}{5 - 0 \text{ с}} = 12 \text{ м/с}^2$.

5. Для тела 5, используя точки $(0 \text{ с}; 40 \text{ м/с})$ и $(3 \text{ с}; 70 \text{ м/с})$: $a_5 = \frac{70 - 40 \text{ м/с}}{3 - 0 \text{ с}} = \frac{30 \text{ м/с}}{3 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}^2$.

Ответ: $a_1 = -20 \text{ м/с}^2$; $a_2 = 5 \text{ м/с}^2$; $a_3 = 0 \text{ м/с}^2$; $a_4 = 12 \text{ м/с}^2$; $a_5 = 10 \text{ м/с}^2$.

в) скорость в момент времени $t = 2$ с

Скорость в заданный момент времени можно определить непосредственно по графику или используя уравнение скорости для равнопеременного движения $v(t) = v_0 + at$.

1. Для тела 1: $v_1(2) = v_0 + a_1 t = 60 + (-20) \cdot 2 = 20 \text{ м/с}$.

2. Для тела 2: $v_2(2) = v_0 + a_2 t = 0 + 5 \cdot 2 = 10 \text{ м/с}$.

3. Для тела 3: скорость постоянна, $v_3(2) = 40 \text{ м/с}$.

4. Для тела 4: $v_4(2) = v_0 + a_4 t = 0 + 12 \cdot 2 = 24 \text{ м/с}$.

5. Для тела 5: $v_5(2) = v_0 + a_5 t = 40 + 10 \cdot 2 = 60 \text{ м/с}$.

Ответ: $v_1(2 \text{ с}) = 20 \text{ м/с}$; $v_2(2 \text{ с}) = 10 \text{ м/с}$; $v_3(2 \text{ с}) = 40 \text{ м/с}$; $v_4(2 \text{ с}) = 24 \text{ м/с}$; $v_5(2 \text{ с}) = 60 \text{ м/с}$.

г) путь, пройденный телами за интервал времени от 0 до 2 с

Пройденный путь $s$ численно равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости, осью времени и перпендикулярами к оси времени в моменты $t=0$ с и $t=2$ с.

1. Для тела 1 (площадь трапеции): $s_1 = \frac{v(0) + v(2)}{2} \cdot t = \frac{60 + 20}{2} \cdot 2 = 80 \text{ м}$.

2. Для тела 2 (площадь треугольника): $s_2 = \frac{1}{2} v(2) \cdot t = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2 = 10 \text{ м}$.

3. Для тела 3 (площадь прямоугольника): $s_3 = v \cdot t = 40 \cdot 2 = 80 \text{ м}$.

4. Для тела 4 (площадь треугольника): $s_4 = \frac{1}{2} v(2) \cdot t = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 2 = 24 \text{ м}$.

5. Для тела 5 (площадь трапеции): $s_5 = \frac{v(0) + v(2)}{2} \cdot t = \frac{40 + 60}{2} \cdot 2 = 100 \text{ м}$.

Ответ: $s_1 = 80 \text{ м}$; $s_2 = 10 \text{ м}$; $s_3 = 80 \text{ м}$; $s_4 = 24 \text{ м}$; $s_5 = 100 \text{ м}$.

д) что означают точки пересечения графиков

Графики показывают зависимость скорости от времени. Точка пересечения двух или более графиков означает, что в соответствующий этой точке момент времени мгновенные скорости тел становятся равными. Важно отметить, что это не означает встречу тел в пространстве, так как их начальные положения и пройденные к этому моменту пути могут быть разными.

Ответ: Точки пересечения графиков соответствуют моментам времени, в которые скорости движущихся тел одинаковы.

80. По графикам зависимости скорости от времени (рис. 26) определите, какое из четырёх тел прошло наибольший путь за интервал времени от $t_1 = 0$ до $t_2 = 3$ с.

Рис. 26

Дано

Графики зависимости скорости от времени $v(t)$ для четырех тел (1, 2, 3, 4).

Интервал времени: $t_1 = 0$ с, $t_2 = 3$ с.

Найти:

Какое из тел прошло наибольший путь $S$ за заданный интервал времени.

Решение

Пройденный телом путь численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени $v(t)$ на данном интервале времени. Рассчитаем путь для каждого из четырех тел, найдя площадь под соответствующим графиком в интервале от $t_1 = 0$ с до $t_2 = 3$ с.

1. Тело 1: Движение неравномерно ускоренное. Путь $S_1$ равен площади под кривой 1. Визуально видно, что эта площадь меньше, чем площади под остальными графиками. Например, кривая 1 на всем интервале $[0, 3]$ лежит ниже прямой 2, поэтому $S_1 < S_2$.

2. Тело 2: Движение равноускоренное, начальная скорость равна нулю. Путь $S_2$ равен площади прямоугольного треугольника с катетами $3$ с и $2$ м/с.

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \, \text{с} \cdot 2 \, \text{м/с} = 3 \, \text{м}$.

3. Тело 3: Движение равномерное, скорость постоянна и равна $2$ м/с. Путь $S_3$ равен площади прямоугольника со сторонами $3$ с и $2$ м/с.

$S_3 = 2 \, \text{м/с} \cdot 3 \, \text{с} = 6 \, \text{м}$.

4. Тело 4: Движение равнозамедленное. Путь $S_4$ равен площади трапеции с основаниями, равными скоростям в моменты времени $t_1 = 0$ с ($v_1 = 3$ м/с) и $t_2 = 3$ с ($v_2 = 2$ м/с), и высотой, равной промежутку времени $\Delta t = 3$ с.

$S_4 = \frac{v_1 + v_2}{2} \cdot \Delta t = \frac{3 \, \text{м/с} + 2 \, \text{м/с}}{2} \cdot 3 \, \text{с} = \frac{5}{2} \cdot 3 \, \text{м} = 7.5 \, \text{м}$.

Сравним полученные значения путей:

$S_4 = 7.5 \, \text{м}$

$S_3 = 6 \, \text{м}$

$S_2 = 3 \, \text{м}$

$S_1 < S_2$, следовательно $S_1 < 3 \, \text{м}$.

Таким образом, $S_4 > S_3 > S_2 > S_1$. Наибольший путь прошло тело 4.

Также можно решить задачу без вычислений, сравнив графики. На всем интервале времени от 0 до 3 с скорость тела 4 (линия 4) в любой момент времени больше или равна скорости любого другого тела. Следовательно, и путь, пройденный телом 4, будет наибольшим.

Ответ: Наибольший путь за интервал времени от 0 до 3 с прошло тело 4.

81. По графикам, приведённым на рисунке 27, определите ускорение. Чем различаются эти движения?

Рис. 27

а)

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 10 \text{ м/с}$ (при $t_0 = 0 \text{ с}$)
Конечная скорость $v = 40 \text{ м/с}$ (при $t = 15 \text{ с}$)

Найти:

Ускорение $a$

Решение:

На графике показана зависимость скорости от времени. Так как график представляет собой прямую линию, движение является равноускоренным. Ускорение можно определить как тангенс угла наклона графика к оси времени, то есть как отношение изменения скорости $\Delta v$ к промежутку времени $\Delta t$, за которое это изменение произошло.
Формула для расчета ускорения:
$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t - t_0}$
Подставим в формулу значения из графика, выбрав две удобные точки, например, начальную $(t_0=0 \text{ с}, v_0=10 \text{ м/с})$ и конечную $(t=15 \text{ с}, v=40 \text{ м/с})$:
$a = \frac{40 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}}{15 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{30 \text{ м/с}}{15 \text{ с}} = 2 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение равно $2 \text{ м/с}^2$.

б)

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 40 \text{ м/с}$ (при $t_0 = 0 \text{ с}$)
Конечная скорость $v = 0 \text{ м/с}$ (при $t = 80 \text{ с}$)

Найти:

Ускорение $a$

Решение:

Аналогично предыдущему случаю, движение является равноускоренным (в данном случае равнозамедленным), так как график скорости — прямая линия. Используем ту же формулу для расчета ускорения.
Выберем начальную точку $(t_0=0 \text{ с}, v_0=40 \text{ м/с})$ и конечную точку, где тело остановилось $(t=80 \text{ с}, v=0 \text{ м/с})$:
$a = \frac{v - v_0}{t - t_0} = \frac{0 \text{ м/с} - 40 \text{ м/с}}{80 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{-40 \text{ м/с}}{80 \text{ с}} = -0.5 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение равно $-0.5 \text{ м/с}^2$.

Различия между движениями:

Движения, представленные на графиках, различаются по нескольким ключевым параметрам:
1. Характер движения: На графике а) показано равноускоренное движение, так как скорость тела линейно возрастает. На графике б) — равнозамедленное движение, поскольку скорость линейно убывает, и тело в итоге останавливается.
2. Знак и направление ускорения: В первом случае ускорение положительное ($a = 2 \text{ м/с}^2$), что означает, что вектор ускорения направлен в ту же сторону, что и вектор скорости. Во втором случае ускорение отрицательное ($a = -0.5 \text{ м/с}^2$), то есть вектор ускорения направлен в сторону, противоположную начальной скорости, вызывая торможение.
3. Начальная и конечная скорость: Движение а) начинается со скорости $10 \text{ м/с}$ и продолжается с ее увеличением. Движение б) начинается со значительно большей скорости $40 \text{ м/с}$ и заканчивается остановкой (скорость становится равной нулю).