Номер 77, страница 18 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Прямолинейное равноускоренное движение. Ускорение. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении - номер 77, страница 18.

Условие.

77. Используя данные таблицы, постройте график зависимости скорости автомобиля от времени. Определите по графику, с какой скоростью двигался автомобиль в моменты времени 3,5 с; 5,4 с. Какой путь прошёл он за время от $t_1 = 2 \text{ с}$ до $t_2 = 5 \text{ с}$?

Время, с: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Скорость, м/с: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23

Решение.

Дано:

Таблица зависимости скорости $v$ от времени $t$:
Время, с: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Скорость, м/с: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23

$t_1 = 2$ с
$t_2 = 5$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. График зависимости $v(t)$.
2. Скорость $v$ при $t = 3,5$ с и $t = 5,4$ с.
3. Путь $s$, пройденный за время от $t_1$ до $t_2$.

Решение:

Постройте график зависимости скорости автомобиля от времени.

Для построения графика нанесём на координатную плоскость точки, координаты которых соответствуют данным из таблицы. По оси абсцисс (горизонтальной) отложим время $t$ в секундах, а по оси ординат (вертикальной) — скорость $v$ в м/с. Точки для построения: (0; 5), (1; 8), (2; 11), (3; 14), (4; 17), (5; 20), (6; 23). Соединив эти точки, мы получим прямую линию. Это означает, что движение автомобиля является равноускоренным, то есть происходит с постоянным ускорением. Уравнение зависимости скорости от времени для равноускоренного движения имеет вид: $v(t) = v_0 + at$, где $v_0$ — начальная скорость, а $a$ — ускорение. Из таблицы видно, что начальная скорость (при $t=0$) составляет $v_0 = 5$ м/с. Ускорение можно найти как отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$. Возьмем, например, первые две точки из таблицы: $a = \frac{8 \text{ м/с} - 5 \text{ м/с}}{1 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 3 \text{ м/с}^2$. Таким образом, зависимость скорости от времени описывается уравнением: $v(t) = 5 + 3t$. Графиком этой зависимости является прямая линия.

Ответ: График зависимости скорости от времени является прямой линией, проходящей через точки, указанные в таблице. Уравнение движения: $v(t) = 5 + 3t$.

Определите по графику, с какой скоростью двигался автомобиль в моменты времени 3,5 с; 5,4 с.

Для определения скорости в заданные моменты времени можно либо найти соответствующие значения на построенном графике (интерполяция), либо использовать выведенное ранее уравнение $v(t) = 5 + 3t$, что является более точным.
При $t = 3,5$ с: $v(3,5) = 5 + 3 \cdot 3,5 = 5 + 10,5 = 15,5$ м/с.
При $t = 5,4$ с: $v(5,4) = 5 + 3 \cdot 5,4 = 5 + 16,2 = 21,2$ м/с.

Ответ: В момент времени 3,5 с скорость автомобиля составляла 15,5 м/с; в момент времени 5,4 с — 21,2 м/с.

Какой путь прошёл он за время от t₁ = 2 с до t₂ = 5 с?

Пройденный путь численно равен площади фигуры под графиком скорости $v(t)$ в заданном интервале времени. На интервале от $t_1 = 2$ с до $t_2 = 5$ с эта фигура является трапецией. Основаниями трапеции служат значения скорости в моменты времени $t_1$ и $t_2$, а высотой — промежуток времени $\Delta t = t_2 - t_1$.
Найдем скорости в начальный и конечный моменты времени из таблицы:
Скорость при $t_1 = 2$ с: $v_1 = v(2) = 11$ м/с.
Скорость при $t_2 = 5$ с: $v_2 = v(5) = 20$ м/с.
Промежуток времени: $\Delta t = t_2 - t_1 = 5 \text{ с} - 2 \text{ с} = 3$ с.
Площадь трапеции (пройденный путь $s$) вычисляется по формуле: $s = \frac{v_1 + v_2}{2} \cdot \Delta t$.
$s = \frac{11 \text{ м/с} + 20 \text{ м/с}}{2} \cdot 3 \text{ с} = \frac{31}{2} \cdot 3 = 15,5 \cdot 3 = 46,5$ м.

Ответ: За время от 2 с до 5 с автомобиль прошёл путь 46,5 м.