Страница 28 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

139. Почему гружёный вагон массой 50 т, прицепленный к поезду, делает ход поезда более плавным?

Решение

Это явление объясняется инертностью тел. Инертность — это свойство тела сохранять состояние своего движения (покоя или равномерного прямолинейного движения). Мерой инертности тела является его масса: чем больше масса, тем тело более инертно.

Прицепляя к поезду гружёный вагон массой 50 тонн, мы значительно увеличиваем общую массу всего состава. Во время движения поезда на него действуют различные внешние силы, которые могут вызывать рывки и толчки: неравномерность силы тяги локомотива, неровности и стыки рельсов, сопротивление воздуха и т.д. Эти силы приводят к изменению скорости поезда, то есть сообщают ему ускорение.

Согласно второму закону Ньютона, ускорение $a$, получаемое телом, обратно пропорционально его массе $m$ при постоянной действующей силе $F$:

$a = \frac{F}{m}$

Поскольку общая масса поезда $m$ увеличилась, то при воздействии тех же самых кратковременных сил $F$ (толчков, рывков) поезд будет получать меньшее ускорение $a$. Меньшее изменение скорости за короткий промежуток времени и воспринимается как более плавный ход.

Таким образом, более массивный поезд становится более инертным и устойчивым к внешним воздействиям, что и делает его движение более плавным.

Ответ: Прицепленный гружёный вагон увеличивает общую массу поезда, а следовательно, и его инертность. Из-за большей инертности поезд становится менее восприимчивым к внешним силам (например, толчкам на стыках рельсов или неравномерности тяги), которые вызывают резкие изменения скорости. В результате ход поезда становится более плавным.

140. Заполните таблицы.

Для решения задачи используется второй закон Ньютона, который устанавливает связь между силой ($F$), действующей на тело, массой тела ($m$) и его ускорением ($a$) с помощью формулы $F = ma$. Из этой формулы можно выразить ускорение: $a = F/m$.

а) Дано:

Строка 1: $F_{1} = 6$ Н, масса $m_1$.
Строка 2: $F_{2} = 12$ Н, масса $m_1$.
Строка 3: $F_{3} = 9$ Н, масса $m_2 = 3m_1$.
Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Значения ускорений $a_1, a_2, a_3$ для каждой строки.

Решение:

Для каждой строки таблицы запишем второй закон Ньютона:
1) Для первой строки: $F_1 = m_1 \cdot a_1 \implies 6 = m_1 \cdot a_1$
2) Для второй строки: $F_2 = m_1 \cdot a_2 \implies 12 = m_1 \cdot a_2$
3) Для третьей строки: $F_3 = m_2 \cdot a_3 \implies 9 = (3m_1) \cdot a_3$, что можно упростить до $3 = m_1 \cdot a_3$
Данная система уравнений имеет бесконечное множество решений, поскольку в ней три уравнения и четыре неизвестных ($m_1, a_1, a_2, a_3$). Чтобы найти конкретные числовые значения, необходимо сделать предположение. В подобных учебных задачах часто подразумевается, что ответы являются простыми целыми числами. Основываясь на этом, подберем такое значение массы $m_1$, чтобы все ускорения были целыми. Из уравнений $a_1 = 6/m_1$ и $a_3 = 3/m_1$ следует, что $m_1$ должно быть общим делителем чисел 6 и 3. Возможные целочисленные значения для $m_1$: 1 или 3.
Выберем значение $m_1 = 3$ кг, так как оно приводит к простым целочисленным результатам для всех ускорений.
1. Вычислим ускорение для первой строки:
$a_1 = \frac{F_1}{m_1} = \frac{6 \text{ Н}}{3 \text{ кг}} = 2 \text{ м/с}^2$.
2. Вычислим ускорение для второй строки (масса та же):
$a_2 = \frac{F_2}{m_1} = \frac{12 \text{ Н}}{3 \text{ кг}} = 4 \text{ м/с}^2$.
3. Для третьей строки сначала найдем массу $m_2$:
$m_2 = 3m_1 = 3 \cdot 3 \text{ кг} = 9$ кг.
Теперь вычислим ускорение $a_3$:
$a_3 = \frac{F_3}{m_2} = \frac{9 \text{ Н}}{9 \text{ кг}} = 1 \text{ м/с}^2$.
Все полученные значения ускорений являются простыми целыми числами, что подтверждает правильность нашего предположения.

Ответ: Пропущенные значения в таблице а): для первой строки $a = 2 \text{ м/с}^2$, для второй строки $a = 4 \text{ м/с}^2$, для третьей строки $a = 1 \text{ м/с}^2$.

б) Дано:

Строка 1: $m_1 = 1$ кг, $a_1 = 15 \text{ м/с}^2$. Сила $F_1$.
Строка 2: $m_2 = 3$ кг. Сила та же, что и в первой строке, $F_1$.
Строка 3: $m_3 = 1.5$ кг. Сила $F_2 = 0.5F_1$.
Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Значение силы $F_1$ и значения ускорений $a_2, a_3$.

Решение:

1. Используя данные из первой строки, определим силу $F_1$, которая также будет значением силы для второй строки:
$F_1 = m_1 \cdot a_1 = 1 \text{ кг} \cdot 15 \text{ м/с}^2 = 15 \text{ Н}$.

2. Теперь найдем ускорение для второй строки, используя найденную силу $F_1 = 15$ Н и массу $m_2 = 3$ кг:
$a_2 = \frac{F_1}{m_2} = \frac{15 \text{ Н}}{3 \text{ кг}} = 5 \text{ м/с}^2$.

3. Для третьей строки сначала необходимо вычислить действующую на тело силу $F_2$:
$F_2 = 0.5 \cdot F_1 = 0.5 \cdot 15 \text{ Н} = 7.5 \text{ Н}$.
Далее, зная массу $m_3 = 1.5$ кг, найдем ускорение $a_3$:
$a_3 = \frac{F_2}{m_3} = \frac{7.5 \text{ Н}}{1.5 \text{ кг}} = 5 \text{ м/с}^2$.

Ответ: Пропущенные значения в таблице б): в первой строке сила $F_1 = 15 \text{ Н}$; во второй строке ускорение $a = 5 \text{ м/с}^2$; в третьей строке ускорение $a = 5 \text{ м/с}^2$.

141. В каком случае тележка быстрее окажется на краю стола (рис. 38)? В начальный момент времени тележки неподвижны.

Рис. 38

Решение

Для того чтобы определить, в каком случае тележка быстрее окажется на краю стола, необходимо сравнить ускорения тележки в обоих случаях. Так как тележки начинают движение из состояния покоя ($v_0 = 0$) и проходят одинаковое расстояние $s$, время движения $t$ определяется из формулы $s = \frac{at^2}{2}$. Отсюда следует, что $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$. Чем больше ускорение $a$, тем меньше время $t$, и тем быстрее тележка достигнет края стола. Пренебрежем трением, а также массой нити и блока.

Случай 1: Рука тянет нить с постоянной силой 20 Н.

В этом случае на тележку массой $M$ действует постоянная горизонтальная сила натяжения нити $T_1$, равная силе, прикладываемой рукой, то есть $T_1 = 20$ Н. Согласно второму закону Ньютона, ускорение тележки $a_1$ будет равно:

$a_1 = \frac{T_1}{M} = \frac{20}{M}$

Случай 2: К нити подвешен груз весом 20 Н.

В этом случае мы имеем систему из двух тел: тележки массой $M$ и груза массой $m$. Вес груза $P = mg = 20$ Н. Движущей силой для всей системы является сила тяжести, действующая на груз, $P = 20$ Н. Однако эта сила ускоряет оба тела, то есть общую массу системы $M+m$. Согласно второму закону Ньютона для всей системы, ускорение $a_2$ равно:

$a_2 = \frac{P}{M+m} = \frac{20}{M+m}$

Важно отметить, что в этом случае сила натяжения нити $T_2$ не равна 20 Н. Поскольку груз ускоряется вниз, сила тяжести $P$ должна быть больше силы натяжения $T_2$. Из второго закона Ньютона для груза: $P - T_2 = ma_2$, следовательно, $T_2 = P - ma_2 < P$. Таким образом, сила, тянущая тележку, $T_2 < 20$ Н.

Сравнение и вывод

Сравним ускорения, полученные в двух случаях:

$a_1 = \frac{20}{M}$

$a_2 = \frac{20}{M+m}$

Поскольку масса груза $m$ — положительная величина, знаменатель во втором выражении больше, чем в первом ($M+m > M$). При одинаковом числителе (20 Н) большим будет то ускорение, у которого знаменатель меньше. Следовательно:

$a_1 > a_2$

Так как ускорение тележки в первом случае больше, она пройдет то же расстояние за меньшее время.

Ответ: Тележка быстрее окажется на краю стола в первом случае, когда за нить тянет рука с постоянной силой 20 Н.

142. Железный шарик, лежащий на столе, притягивается магнитом. Каким будет движение шарика — равномерным, ускоренным или равноускоренным?

Движение железного шарика, притягиваемого магнитом, будет ускоренным. Рассмoтрим, почему это так, проанализировав действующие на шарик силы и сравнив возможные типы движения.

На шарик в горизонтальном направлении действуют две силы: сила притяжения со стороны магнита $F_{магн}$ и сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная в противоположную сторону движению. Согласно второму закону Ньютона, ускорение шарика $a$ определяется равнодействующей силой $F_{равн}$:

$m \cdot a = F_{равн} = F_{магн} - F_{тр}$

где $m$ – масса шарика. Из этой формулы следует, что ускорение равно $a = \frac{F_{магн} - F_{тр}}{m}$.

Равномерное движение. Этот тип движения характеризуется постоянной скоростью ($v = \text{const}$) и нулевым ускорением ($a = 0$). Для этого необходимо, чтобы равнодействующая всех сил была равна нулю. Поскольку шарик притягивается и начинает двигаться, это означает, что сила притяжения магнита больше силы трения, следовательно, равнодействующая сила не равна нулю. Значит, движение не может быть равномерным.

Равноускоренное движение. Этот тип движения характеризуется постоянным ускорением ($a = \text{const}$). Для этого необходимо, чтобы равнодействующая сила, действующая на тело, была постоянной. Силу трения скольжения $F_{тр}$ можно считать приблизительно постоянной. Однако сила магнитного притяжения $F_{магн}$ не является постоянной. Она сильно зависит от расстояния между шариком и магнитом: чем меньше расстояние, тем больше сила притяжения. По мере движения шарика к магниту расстояние уменьшается, $F_{магн}$ возрастает, а значит, и равнодействующая сила $F_{равн}$ тоже возрастает. Следовательно, ускорение шарика $a$ не постоянно, а увеличивается. Таким образом, движение не является равноускоренным.

Ускоренное движение. Это общее название для любого движения, при котором скорость тела изменяется (увеличивается или уменьшается). Поскольку на шарик действует ненулевая, возрастающая равнодействующая сила, его скорость будет постоянно увеличиваться. Это и есть ускоренное движение. Так как ускорение не постоянно, то такое движение называют движением с переменным ускорением, что является частным случаем ускоренного движения.

Ответ: Движение шарика будет ускоренным. Оно не будет равномерным, так как на него действует сила, изменяющая его скорость. Оно также не будет равноускоренным, поскольку сила притяжения магнита (а значит и ускорение шарика) увеличивается по мере его приближения к магниту.

143. В таблице приведены результаты, полученные при изучении зависимости ускорения тела при постоянной его массе от действующей на тело силы. Постройте график зависимости $a(F)$ и сделайте вывод об исследуемой зависимости.

$F$, Н: 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3

$a, \text{м/с}^2$: 0; 0,15; 0,3; 0,45; 0,6; 0,75; 0,9

Дано:

Результаты измерения зависимости ускорения тела $a$ от действующей на него силы $F$ при постоянной массе:

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Построить график зависимости $a(F)$ и сделать вывод о характере этой зависимости.

Решение:

Для построения графика выберем прямоугольную систему координат. По оси абсцисс (горизонтальной оси) отложим значения силы $F$ в ньютонах (Н), а по оси ординат (вертикальной оси) — значения ускорения $a$ в м/с².

Нанесем на координатную плоскость точки с координатами, соответствующими данным из таблицы:

(0; 0), (0,5; 0,15), (1; 0,3), (1,5; 0,45), (2; 0,6), (2,5; 0,75), (3; 0,9).

Соединив эти точки, мы получим прямую линию, которая проходит через начало координат. Это означает, что зависимость ускорения от силы является линейной.

Поскольку график зависимости ускорения от силы $a(F)$ представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, можно сделать вывод о том, что ускорение тела прямо пропорционально действующей на него силе. Математически это можно записать в виде формулы:

$a = k \cdot F$

где $k$ — коэффициент пропорциональности.

Проверим, является ли отношение $a/F$ постоянной величиной для данных из таблицы:

$\frac{0,15 \text{ м/с²}}{0,5 \text{ Н}} = 0,3 \text{ м/(с²·Н)}$

$\frac{0,3 \text{ м/с²}}{1 \text{ Н}} = 0,3 \text{ м/(с²·Н)}$

$\frac{0,45 \text{ м/с²}}{1,5 \text{ Н}} = 0,3 \text{ м/(с²·Н)}$

$\frac{0,9 \text{ м/с²}}{3 \text{ Н}} = 0,3 \text{ м/(с²·Н)}$

Отношение остается постоянным для всех пар значений, что подтверждает вывод о прямой пропорциональности.

Полученный результат соответствует второму закону Ньютона, который устанавливает, что ускорение тела прямо пропорционально приложенной силе и обратно пропорционально массе тела: $a = \frac{F}{m}$. Из этого следует, что коэффициент пропорциональности $k$ равен обратной массе тела: $k = \frac{1}{m}$.

Ответ: График зависимости ускорения тела от действующей на него силы $a(F)$ является прямой линией, проходящей через начало координат. Это означает, что при постоянной массе ускорение тела прямо пропорционально приложенной к нему силе.

144. В таблице приведены результаты, полученные при изучении зависимости ускорения тела от его массы при неизменной силе, действующей на тело. Постройте график зависимости $a(m)$ и сделайте вывод об исследуемой зависимости.

$m$, кг: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1; 1,2

$a$, м/с$^2$: 1,8; 0,9; 0,6; 0,45; 0,36; 0,3

Дано:

В таблице приведены экспериментальные данные зависимости ускорения тела $a$ от его массы $m$ при действии постоянной силы $F$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Построить график зависимости $a(m)$.
2. Сделать вывод об исследуемой зависимости.

Решение:

1. Для построения графика зависимости ускорения от массы $a(m)$ выберем систему координат. По оси абсцисс (горизонтальной) будем откладывать массу тела $m$ в килограммах (кг), а по оси ординат (вертикальной) — ускорение $a$ в метрах на секунду в квадрате (м/с²). Нанесем на график точки, соответствующие данным из таблицы, и соединим их плавной линией.

m, кгa, м/с²00,20,40,60,81,01,20,30,60,91,21,51,8

2. Проанализируем данные и график. Из графика видно, что с увеличением массы тела $m$ его ускорение $a$ уменьшается. Это указывает на обратную зависимость между этими величинами. Проверим, является ли эта зависимость обратно пропорциональной.Согласно второму закону Ньютона, $F = m \cdot a$. Если сила $F$ постоянна, то ускорение $a$ обратно пропорционально массе $m$: $a = \frac{F}{m}$.

В этом случае произведение массы на ускорение для каждой пары значений должно быть постоянной величиной, равной силе $F$. Вычислим это произведение для каждой точки:

$0,2 \text{ кг} \cdot 1,8 \text{ м/с²} = 0,36 \text{ Н}$

$0,4 \text{ кг} \cdot 0,9 \text{ м/с²} = 0,36 \text{ Н}$

$0,6 \text{ кг} \cdot 0,6 \text{ м/с²} = 0,36 \text{ Н}$

$0,8 \text{ кг} \cdot 0,45 \text{ м/с²} = 0,36 \text{ Н}$

$1 \text{ кг} \cdot 0,36 \text{ м/с²} = 0,36 \text{ Н}$

$1,2 \text{ кг} \cdot 0,3 \text{ м/с²} = 0,36 \text{ Н}$

Произведение $m \cdot a$ действительно является постоянной величиной (с учетом погрешностей измерений) и равно $0,36$ Н. Это подтверждает, что зависимость между ускорением и массой при постоянной силе является обратно пропорциональной. График такой зависимости представляет собой гиперболу.

Ответ: При неизменной силе, действующей на тело, его ускорение обратно пропорционально массе. Графиком зависимости $a(m)$ является ветвь гиперболы.