Номер 287, страница 45 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах. Законы движения и взаимодействия тел - номер 287, страница 45.

287. Ускорение свободного падения на планете Меркурий $3,72 \text{ м/с}^2$, а средний радиус планеты 2420 км. Рассчитайте массу Меркурия.

Дано:

Ускорение свободного падения на Меркурии, $g = 3,72 \text{ м/с}^2$

Средний радиус Меркурия, $R = 2420 \text{ км}$

Гравитационная постоянная, $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

$R = 2420 \text{ км} = 2420 \cdot 10^3 \text{ м} = 2,42 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Массу Меркурия, $M$

Решение:

Ускорение свободного падения $g$ на поверхности планеты определяется ее массой $M$ и радиусом $R$ в соответствии с законом всемирного тяготения. Сила тяжести, действующая на тело массой $m$ на поверхности планеты, равна $F = mg$. Эта же сила является силой гравитационного притяжения $F = G \frac{M m}{R^2}$.

Приравняем эти два выражения:

$mg = G \frac{M m}{R^2}$

Сократив массу тела $m$ с обеих сторон, получим формулу для ускорения свободного падения:

$g = G \frac{M}{R^2}$

Из этой формулы выразим массу планеты $M$:

$M = \frac{g R^2}{G}$

Подставим в формулу числовые значения в системе СИ:

$M = \frac{3,72 \text{ м/с}^2 \cdot (2,42 \cdot 10^6 \text{ м})^2}{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}}$

Выполним вычисления:

$M = \frac{3,72 \cdot (2,42)^2 \cdot (10^6)^2}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг} = \frac{3,72 \cdot 5,8564 \cdot 10^{12}}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг}$

$M \approx \frac{21,78 \cdot 10^{12}}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг} \approx 3,266 \cdot 10^{23} \text{ кг}$

Округлив результат до трех значащих цифр (как в исходных данных), получаем:

$M \approx 3,27 \cdot 10^{23} \text{ кг}$

Ответ: масса Меркурия составляет приблизительно $3,27 \cdot 10^{23} \text{ кг}$.