Номер 299, страница 47 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Сила упругости. Законы движения и взаимодействия тел - номер 299, страница 47.

* 299. На рисунке 59 изображены грузы А и В, имеющие равные массы $m_1 = m_2 = 1 \text{ кг}$. Углы наклона плоскостей к горизонту $\alpha = 30^\circ$, $\beta = 45^\circ$. В какую сторону и с каким ускорением будут двигаться грузы? Чему равна сила натяжения нити? Блок считать невесомым, нить — невесомой и нерастяжимой, силой трения пренебречь.

Рис. 59

Дано:

$m_1 = m_2 = m = 1$ кг
$\alpha = 30°$
$\beta = 45°$
$g \approx 9,8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Направление движения - ?
$a$ - ?
$T$ - ?

Решение:

На каждый из грузов (A и B) действуют: сила тяжести ($mg$), сила нормальной реакции опоры ($N$), перпендикулярная наклонной плоскости, и сила натяжения нити ($T$), направленная вдоль нити. Силой трения пренебрегаем.

Движение системы определяется проекциями сил тяжести на направления движения вдоль наклонных плоскостей. Обозначим массу каждого груза как $m$.

Для груза A (на плоскости с углом $\alpha$): проекция силы тяжести, направленная вниз вдоль плоскости, равна $F_{A\parallel} = m g \sin(\alpha)$.

Для груза B (на плоскости с углом $\beta$): проекция силы тяжести, направленная вниз вдоль плоскости, равна $F_{B\parallel} = m g \sin(\beta)$.

Сравним эти силы, чтобы определить направление движения:

$F_{A\parallel} = 1 \cdot 9,8 \cdot \sin(30°) = 9,8 \cdot 0,5 = 4,9$ Н

$F_{B\parallel} = 1 \cdot 9,8 \cdot \sin(45°) = 9,8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 9,8 \cdot 0,707 \approx 6,93$ Н

Поскольку $F_{B\parallel} > F_{A\parallel}$, груз B будет перетягивать груз A. Следовательно, груз B будет двигаться вниз по своей наклонной плоскости, а груз A — вверх по своей.

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на ось, направленную вдоль движения. Так как нить нерастяжима, ускорения обоих грузов по модулю одинаковы и равны $a$. Сила натяжения нити $T$ также одинакова для обоих грузов.

Для груза A (движение вверх): $T - F_{A\parallel} = m a \implies T - m g \sin(\alpha) = m a$

Для груза B (движение вниз): $F_{B\parallel} - T = m a \implies m g \sin(\beta) - T = m a$

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} T - m g \sin(\alpha) = m a \\ m g \sin(\beta) - T = m a \end{cases}$

В какую сторону и с каким ускорением будет двигаться грузы?

Как было определено выше, груз A будет двигаться вверх по наклонной плоскости с углом $\alpha$, а груз B — вниз по наклонной плоскости с углом $\beta$.

Для нахождения ускорения сложим два уравнения системы:

$(T - m g \sin(\alpha)) + (m g \sin(\beta) - T) = m a + m a$

$m g \sin(\beta) - m g \sin(\alpha) = 2 m a$

Сократив массу $m$, получим:

$g (\sin(\beta) - \sin(\alpha)) = 2 a$

$a = \frac{g(\sin(\beta) - \sin(\alpha))}{2}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{9,8 \cdot (\sin(45°) - \sin(30°))}{2} = \frac{9,8 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} \approx \frac{9,8 \cdot (0,707 - 0,5)}{2} = \frac{9,8 \cdot 0,207}{2} \approx 1,01$ м/с².

Ответ: Грузы будут двигаться в сторону груза B (груз B вниз, груз A вверх) с ускорением примерно $1,01$ м/с².

Чему равна сила натяжения нити?

Для нахождения силы натяжения $T$ выразим ее из первого уравнения системы: $T = m a + m g \sin(\alpha)$.

Подставим найденное значение ускорения $a$ в это уравнение или выведем общую формулу. Проще вывести общую формулу, подставив в выражение для $T$ выражение для $a$:

$T = m \left( \frac{g(\sin(\beta) - \sin(\alpha))}{2} + g \sin(\alpha) \right)$

$T = m g \left( \frac{\sin(\beta) - \sin(\alpha) + 2\sin(\alpha)}{2} \right)$

$T = \frac{m g (\sin(\alpha) + \sin(\beta))}{2}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{1 \cdot 9,8 \cdot (\sin(30°) + \sin(45°))}{2} = \frac{9,8 \cdot (0,5 + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2} \approx \frac{9,8 \cdot (0,5 + 0,707)}{2} = \frac{9,8 \cdot 1,207}{2} \approx 5,91$ Н.

Ответ: Сила натяжения нити равна примерно $5,91$ Н.