Номер 204, страница 37 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Свободное падение тел. Законы движения и взаимодействия тел - номер 204, страница 37.

204. На какую высоту от поверхности Земли поднялся космический корабль, если приборы отметили уменьшение ускорения свободного падения до $2,45 \text{ м/с}^2$?

Дано:

$g_h = 2,45$ м/с²

Для решения задачи нам понадобятся справочные данные:

Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_0 \approx 9,8$ м/с²

Средний радиус Земли $R_З \approx 6400$ км

Перевод в систему СИ:

$R_З = 6400 \text{ км} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$h$ - ?

Решение:

Ускорение свободного падения на поверхности Земли определяется по формуле:

$g_0 = G \frac{M_З}{R_З^2}$

где $G$ – гравитационная постоянная, $M_З$ – масса Земли, $R_З$ – радиус Земли.

На высоте $h$ от поверхности Земли ускорение свободного падения равно:

$g_h = G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}$

Чтобы найти высоту $h$, составим отношение ускорений $g_0$ и $g_h$:

$\frac{g_0}{g_h} = \frac{G \frac{M_З}{R_З^2}}{G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}} = \frac{(R_З + h)^2}{R_З^2} = \left(\frac{R_З + h}{R_З}\right)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{\frac{g_0}{g_h}} = \frac{R_З + h}{R_З}$

Выразим из этого уравнения высоту $h$:

$R_З + h = R_З \sqrt{\frac{g_0}{g_h}}$

$h = R_З \sqrt{\frac{g_0}{g_h}} - R_З = R_З \left(\sqrt{\frac{g_0}{g_h}} - 1\right)$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$h = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot \left(\sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2}{2,45 \text{ м/с}^2}} - 1\right) = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot (\sqrt{4} - 1) = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot (2 - 1) = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$h = 6400$ км.

Ответ: космический корабль поднялся на высоту 6400 км от поверхности Земли.