Номер 213, страница 37 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Свободное падение тел. Законы движения и взаимодействия тел - номер 213, страница 37.

213. На высоте 30 км двигатели метеорологической ракеты прекратили работу, сообщив ей вертикальную скорость 1 км/с. Какой наибольшей высоты достигнет ракета? На какой высоте окажется ракета через 10 с после прекращения работы двигателей?

Дано:

Начальная высота, $h_0 = 30 \text{ км} = 30000 \text{ м}$

Начальная скорость, $v_0 = 1 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 1000 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Время, $t = 10 \text{ с}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (примем это значение для упрощения расчетов)

Найти:

1. Наибольшую высоту подъема, $H_{max}$

2. Высоту через 10 с, $H(10)$

Решение:

После прекращения работы двигателей ракета продолжает движение вверх по инерции. Это движение является равнозамедленным с ускорением, равным ускорению свободного падения $g$ и направленным вниз, против начальной скорости. Выберем ось OY, направленную вертикально вверх. Начало отсчета ($y=0$) будем считать на уровне земли. Таким образом, движение ракеты после отключения двигателей описывается кинематическими уравнениями для тела, брошенного вертикально вверх.

Какой наибольшей высоты достигнет ракета?

На наибольшей высоте подъема скорость ракеты становится равной нулю ($v=0$). Для нахождения высоты подъема $\Delta h$ после отключения двигателей воспользуемся формулой, связывающей перемещение, начальную и конечную скорости и ускорение:

$v^2 - v_0^2 = 2as$

В нашем случае конечная скорость $v=0$, ускорение $a=-g$ (знак "минус", так как ускорение направлено против оси OY), а перемещение $s = \Delta h$.

$0^2 - v_0^2 = -2g\Delta h$

Отсюда высота подъема $\Delta h$ равна:

$\Delta h = \frac{v_0^2}{2g}$

Подставим числовые значения:

$\Delta h = \frac{(1000 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{1000000 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{20 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 50000 \text{ м} = 50 \text{ км}$

Это высота, на которую ракета поднимется после отключения двигателей. Наибольшая высота $H_{max}$ будет суммой начальной высоты $h_0$, на которой отключились двигатели, и высоты подъема $\Delta h$.

$H_{max} = h_0 + \Delta h = 30 \text{ км} + 50 \text{ км} = 80 \text{ км}$

Ответ: наибольшая высота, которой достигнет ракета, составляет 80 км.

На какой высоте окажется ракета через 10 с после прекращения работы двигателей?

Для нахождения высоты ракеты в любой момент времени $t$ после отключения двигателей воспользуемся уравнением движения, которое описывает высоту $H(t)$ над землей:

$H(t) = h_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$

Подставляя $a=-g$, получаем:

$H(t) = h_0 + v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Подставим в это уравнение известные значения для $t = 10$ с:

$H(10) = 30000 \text{ м} + (1000 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 10 \text{ с}) - \frac{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (10 \text{ с})^2}{2}$

$H(10) = 30000 \text{ м} + 10000 \text{ м} - \frac{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 100 \text{ с}^2}{2} = 40000 \text{ м} - \frac{1000 \text{ м}}{2} = 40000 \text{ м} - 500 \text{ м} = 39500 \text{ м}$

Переведем результат в километры:

$H(10) = 39.5 \text{ км}$

Ответ: через 10 с после прекращения работы двигателей ракета окажется на высоте 39.5 км.