Номер 215, страница 37 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Свободное падение тел. Законы движения и взаимодействия тел - номер 215, страница 37.

215. С вертолёта, находящегося на высоте $300 \text{ м}$, сбросили груз. Через какое время груз упадёт на землю, если: а) вертолёт неподвижен; б) вертолёт равномерно поднимается со скоростью $5 \text{ м/с}$; в) вертолёт равномерно опускается со скоростью $5 \text{ м/с}$? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

Высота, $h = 300$ м

Скорость вертолёта в случае а), $v_a = 0$ м/с

Скорость вертолёта в случае б), $v_b = 5$ м/с (направлена вверх)

Скорость вертолёта в случае в), $v_c = 5$ м/с (направлена вниз)

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Все данные уже приведены в системе СИ.

Найти:

Время падения груза в каждом случае: $t_a, t_b, t_c$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением движения тела при равноускоренном движении. Направим ось OY вертикально вверх, а начало отсчета (y=0) поместим на поверхности земли. В этом случае начальная координата груза во всех случаях будет $y_0 = h = 300$ м, а конечная координата (в момент падения на землю) $y = 0$.

Общее уравнение движения имеет вид: $y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$.

Так как на груз действует только сила тяжести, его ускорение равно ускорению свободного падения и направлено вниз: $a_y = -g$. Уравнение движения принимает вид:

$0 = h + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$.

Это квадратное уравнение относительно времени $t$: $\frac{g}{2}t^2 - v_{0y}t - h = 0$.

Начальная скорость груза $v_{0y}$ в момент сбрасывания равна скорости вертолёта.

а) вертолёт неподвижен

В этом случае начальная скорость груза равна нулю: $v_{0y} = 0$.

Уравнение движения упрощается до: $h = \frac{gt_a^2}{2}$.

Выразим из него время падения $t_a$:

$t_a = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим числовые значения:

$t_a = \sqrt{\frac{2 \cdot 300 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{600}{10}} \text{ с} = \sqrt{60} \text{ с} \approx 7.75 \text{ с}$.

Ответ: $t_a \approx 7.75$ с.

б) вертолёт равномерно поднимается со скоростью 5 м/с

Начальная скорость груза равна скорости вертолёта и направлена вверх, поэтому $v_{0y} = 5$ м/с.

Подставим значения в квадратное уравнение:

$\frac{10}{2}t_b^2 - 5t_b - 300 = 0$

$5t_b^2 - 5t_b - 300 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$t_b^2 - t_b - 60 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 1 + 240 = 241$.

$t_b = \frac{1 \pm \sqrt{241}}{2}$.

Так как время не может быть отрицательной величиной, выбираем корень со знаком плюс:

$t_b = \frac{1 + \sqrt{241}}{2} \approx \frac{1 + 15.52}{2} = \frac{16.52}{2} \approx 8.26 \text{ с}$.

Ответ: $t_b \approx 8.26$ с.

в) вертолёт равномерно опускается со скоростью 5 м/с

Начальная скорость груза равна скорости вертолёта и направлена вниз, поэтому $v_{0y} = -5$ м/с.

Подставим значения в квадратное уравнение:

$\frac{10}{2}t_c^2 - (-5)t_c - 300 = 0$

$5t_c^2 + 5t_c - 300 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$t_c^2 + t_c - 60 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 1 + 240 = 241$.

Корни уравнения:

$t_c = \frac{-1 \pm \sqrt{241}}{2}$.

Так как время не может быть отрицательной величиной, выбираем корень со знаком плюс:

$t_c = \frac{-1 + \sqrt{241}}{2} \approx \frac{-1 + 15.52}{2} = \frac{14.52}{2} \approx 7.26 \text{ с}$.

Ответ: $t_c \approx 7.26$ с.