Страница 10 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

33. За 20 с до финиша положение лыжников было таким, как показано на рисунке 8. С какой скоростью двигался второй лыжник, если они пересекли линию финиша одновременно? Считать движение лыжников равномерным. Задачу решите координатным методом.

Дано:

$t = 20 \text{ с}$

$v_1 = 8 \text{ м/с}$

$L = 80 \text{ м}$ (расстояние между лыжниками)

Движение равномерное.

Найти:

$v_2$

Решение:

Для решения задачи координатным методом введем систему отсчета. Пусть начало координат ($x=0$) совпадает с линией финиша, а ось $OX$ направлена в сторону, противоположную движению лыжников, как показано на рисунке.

В этом случае лыжники движутся в отрицательном направлении оси $OX$, поэтому проекции их скоростей на эту ось будут отрицательными: $v_{1x} = -v_1 = -8 \text{ м/с}$ и $v_{2x} = -v_2$.

Найдем начальные координаты лыжников в момент времени, который был за 20 с до финиша (примем этот момент за $t_0 = 0$).

Первый лыжник финиширует через время $t = 20 \text{ с}$, двигаясь со скоростью $v_1 = 8 \text{ м/с}$. Расстояние, которое он пройдет до финиша, равно:

$S_1 = v_1 \cdot t = 8 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 160 \text{ м}$.

Следовательно, начальная координата первого лыжника: $x_{10} = 160 \text{ м}$.

Второй лыжник в этот момент времени находился на расстоянии $L = 80 \text{ м}$ позади первого (дальше от финиша). Его начальная координата:

$x_{20} = x_{10} + L = 160 \text{ м} + 80 \text{ м} = 240 \text{ м}$.

Уравнение движения для равномерного движения в общем виде: $x(t) = x_0 + v_x t$.

Запишем уравнения движения для обоих лыжников:

Для первого лыжника: $x_1(t) = 160 - 8t$.

Для второго лыжника: $x_2(t) = 240 - v_2 t$.

По условию, оба лыжника пересекли линию финиша ($x=0$) одновременно, через $t = 20 \text{ с}$. Подставим эти значения в уравнение движения второго лыжника:

$0 = 240 - v_2 \cdot 20$.

Выразим отсюда скорость $v_2$:

$20 v_2 = 240$

$v_2 = \frac{240}{20}$

$v_2 = 12 \text{ м/с}$.

Ответ: скорость второго лыжника равна $12 \text{ м/с}$.

34. Постройте график зависимости координаты от времени, если движение тела описывается уравнением $x = 2 + 5t$ (м). Используя полученный график, определите, какой путь прошло тело за 2 с, чему равен модуль перемещения тела за 2 с.

Дано:

Уравнение движения тела: $x(t) = 2 + 5t$ (м)

Интервал времени: от $t_1=0$ с до $t_2=2$ с

Найти:

1. Построить график зависимости $x(t)$.

2. Путь $s$, пройденный телом за 2 с.

3. Модуль перемещения $|\Delta x|$ тела за 2 с.

Решение:

1. Построение графика зависимости координаты от времени

Заданное уравнение движения $x = 2 + 5t$ является линейной функцией времени. Общий вид уравнения для прямолинейного равномерного движения: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата, а $v_x$ — проекция скорости на ось $Ox$.

Сравнивая с заданным уравнением, находим:

Начальная координата: $x_0 = 2$ м.

Проекция скорости: $v_x = 5$ м/с.

Графиком такой зависимости является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек.

- При $t_1 = 0$ с:
$x_1 = 2 + 5 \cdot 0 = 2$ м. Получаем точку с координатами (0; 2).

- При $t_2 = 2$ с:
$x_2 = 2 + 5 \cdot 2 = 2 + 10 = 12$ м. Получаем точку с координатами (2; 12).

Построим график, отложив по оси абсцисс время $t$ (с), а по оси ординат — координату $x$ (м). Проведем через точки (0; 2) и (2; 12) прямую линию. Это и будет искомый график.

2. Определение пути и модуля перемещения тела за 2 с

Используя построенный график, определим путь и модуль перемещения за первые 2 секунды движения (от $t=0$ с до $t=2$ с).

Перемещение тела $\Delta x$ равно разности его конечной и начальной координат:

$\Delta x = x(t_2) - x(t_1)$

По графику находим координаты тела в указанные моменты времени:

- Начальная координата при $t_1 = 0$ с: $x(0) = 2$ м.

- Конечная координата при $t_2 = 2$ с: $x(2) = 12$ м.

Вычисляем перемещение:

$\Delta x = 12 \text{ м} - 2 \text{ м} = 10 \text{ м}$.

Модуль перемещения — это абсолютная величина перемещения:

$|\Delta x| = |10 \text{ м}| = 10 \text{ м}$.

Поскольку скорость тела постоянна и положительна ($v_x = 5$ м/с > 0), тело движется прямолинейно в одном направлении (вдоль положительного направления оси $Ox$). В этом случае пройденный путь $s$ равен модулю перемещения:

$s = |\Delta x| = 10$ м.

Ответ: График зависимости координаты от времени представляет собой прямую линию, проходящую через точки (0; 2) и (2; 12). Путь, пройденный телом за 2 с, равен 10 м. Модуль перемещения тела за 2 с также равен 10 м.

35. Какой график зависимости пути от времени (рис. 9) соответствует равномерному движению тела? Проанализируйте каждый из приведённых графиков. Постройте графики зависимости координаты и скорости тела от времени, если тело движется равномерно и прямолинейно, а его движение описывается уравнением $x = 3t$ (м). Рис. 9

Какой график зависимости пути от времени соответствует равномерному движению тела?

Равномерное движение характеризуется постоянной скоростью ($v = const$). Путь $s$, пройденный телом за время $t$ при равномерном движении, определяется формулой $s = v \cdot t$. Эта формула описывает прямую пропорциональную зависимость между путём и временем. Графиком такой зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат (поскольку при $t=0$, путь $s=0$).

Среди представленных графиков (рис. 9) этому условию соответствует график г).

Ответ: Равномерному движению соответствует график г).

Анализ каждого из приведённых графиков

а) На графике изображена линейная зависимость пути от времени, но при $t=0$ путь $s>0$. Это может описывать равномерное движение, но при условии, что к началу отсчета времени тело уже прошло некоторый путь $s_0$. Уравнение такого движения: $s = s_0 + v \cdot t$. Если же под $s$ понимать путь, пройденный именно с момента времени $t=0$, то такой график невозможен.

б) На этом графике пройденный путь сначала уменьшается, а затем возрастает. Путь как длина траектории является скалярной величиной, которая со временем может только увеличиваться или оставаться постоянной (если тело остановилось). Уменьшаться путь не может. Следовательно, этот график не может описывать зависимость пути от времени.

в) График показывает, что величина пути $s$ остаётся постоянной и отличной от нуля ($s = const > 0$) с течением времени. Это означает, что тело не движется, а находится в состоянии покоя на некотором расстоянии от начала отсчета.

г) График представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат. Это означает, что путь прямо пропорционален времени. Такая зависимость, описываемая формулой $s = v \cdot t$, полностью соответствует равномерному движению с постоянной скоростью, при котором отсчет пути и времени начинается одновременно.

Построение графиков зависимости координаты и скорости тела от времени для движения, описываемого уравнением $x = 3t$ (м)

Дано:

Уравнение движения тела: $x = 3t$ (м).

Найти:

График зависимости координаты от времени $x(t)$.
График зависимости скорости от времени $v(t)$.

Решение:

Уравнение равномерного прямолинейного движения в общем виде: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ – начальная координата, $v_x$ – проекция скорости на ось X.

Сравнивая заданное уравнение $x = 3t$ с общим видом, определяем параметры движения:

Начальная координата $x_0 = 0$ м.

Проекция скорости $v_x = 3$ м/с.

Поскольку скорость постоянна ($v_x = const$) и положительна, тело движется равномерно и прямолинейно в положительном направлении оси X.

График зависимости координаты от времени $x(t)$:

Зависимость $x = 3t$ является линейной. Её график — прямая линия, проходящая через начало координат (точку (0; 0)). Для построения прямой достаточно двух точек:

• при $t=0$ с, $x = 3 \cdot 0 = 0$ м;
• при $t=1$ с, $x = 3 \cdot 1 = 3$ м.

Таким образом, график $x(t)$ — это луч, выходящий из начала координат и проходящий через точку (1 с; 3 м).

График зависимости скорости от времени $v(t)$:

Скорость тела постоянна и равна $v = 3$ м/с в любой момент времени $t \ge 0$. Графиком этой зависимости является прямая линия, параллельная оси времени $t$ и отстоящая от неё на 3 единицы по оси скорости $v$.

Ответ: График зависимости координаты от времени $x(t)$ — это луч, выходящий из начала координат, тангенс угла наклона которого к оси времени равен 3. График зависимости скорости от времени $v(t)$ — это луч, параллельный оси времени, проведённый на уровне $v=3$ м/с для $t \ge 0$.

36. На рисунке 10 приведены графики зависимости пути от времени для двух тел. Какие пути прошли эти тела за 2 с; 6 с? Напишите уравнения зависимости пути от времени.

Дано:

Графики зависимости пути $s$ от времени $t$ для двух тел (I и II).
$t_1 = 2$ c
$t_2 = 6$ c

Все данные в задаче представлены в системе СИ.

Найти:

1. Пути, пройденные телами за $t_1$ и $t_2$: $s_I(t_1)$, $s_{II}(t_1)$, $s_I(t_2)$, $s_{II}(t_2)$.
2. Уравнения зависимости пути от времени: $s_I(t)$, $s_{II}(t)$.

Решение:

Поскольку графики зависимости пути от времени являются прямыми линиями, проходящими через начало координат, движение обоих тел является равномерным и прямолинейным. Путь, пройденный телом при таком движении, описывается формулой:

$s = v \cdot t$

где $v$ — скорость тела.

Для решения задачи необходимо сначала найти скорости каждого тела, используя данные из графика.

1. Определение скорости тела I ($v_I$):

Из графика для тела I выберем точку с известными координатами, например, в момент времени $t = 10$ с тело прошло путь $s = 25$ м. Тогда скорость тела I равна:
$v_I = \frac{s}{t} = \frac{25 \, \text{м}}{10 \, \text{с}} = 2.5 \, \text{м/с}$

2. Определение скорости тела II ($v_{II}$):

Из графика для тела II выберем точку, например, в момент времени $t = 6$ с тело прошло путь $s = 25$ м. Тогда скорость тела II равна:
$v_{II} = \frac{s}{t} = \frac{25 \, \text{м}}{6 \, \text{с}}$

Теперь, зная скорости, можем ответить на вопросы задачи.

Какие пути прошли эти тела за 2 с; 6 с?

Вычислим путь, пройденный каждым телом за время $t_1 = 2$ с:
Путь тела I: $s_I(2) = v_I \cdot t_1 = 2.5 \, \text{м/с} \cdot 2 \, \text{с} = 5 \, \text{м}$.
Путь тела II: $s_{II}(2) = v_{II} \cdot t_1 = \frac{25}{6} \, \text{м/с} \cdot 2 \, \text{с} = \frac{50}{6} \, \text{м} = \frac{25}{3} \, \text{м} \approx 8.33 \, \text{м}$.

Вычислим путь, пройденный каждым телом за время $t_2 = 6$ с:
Путь тела I: $s_I(6) = v_I \cdot t_2 = 2.5 \, \text{м/с} \cdot 6 \, \text{с} = 15 \, \text{м}$.
Путь тела II: $s_{II}(6) = v_{II} \cdot t_2 = \frac{25}{6} \, \text{м/с} \cdot 6 \, \text{с} = 25 \, \text{м}$.

Ответ: За 2 с тело I прошло 5 м, а тело II — примерно 8.33 м. За 6 с тело I прошло 15 м, а тело II — 25 м.

Напишите уравнения зависимости пути от времени.

Подставим найденные значения скоростей в общую формулу $s(t) = v \cdot t$.

Уравнение зависимости пути от времени для тела I:
$s_I(t) = 2.5t$

Уравнение зависимости пути от времени для тела II:
$s_{II}(t) = \frac{25}{6}t$

Ответ: Уравнение для тела I: $s_I(t) = 2.5t$; уравнение для тела II: $s_{II}(t) = \frac{25}{6}t$.

37. На рисунке 11 приведены графики зависимости пути автомобиля I и трактора II, движущихся в одном направлении, от времени. Автомобиль или трактор раньше начал своё движение? Определите скорости автомобиля и трактора. Через какое время от начала своего движения автомобиль обгонит трактор?

Рис. 11

Автомобиль или трактор раньше начал своё движение?

Из графика видно, что движение и автомобиля (линия I), и трактора (линия II) начинается в момент времени $t = 0$. Следовательно, они начали движение одновременно.

Ответ: Автомобиль и трактор начали движение одновременно.

Определите скорости автомобиля и трактора.

Дано:

Для автомобиля (I):

Начальное положение $s_{0,I} = 0 \text{ км}$ при $t_0 = 0 \text{ ч}$.

Положение в момент времени $t_1 = 1 \text{ ч}$: $s_1 = 60 \text{ км}$.

Для трактора (II):

Начальное положение $s_{0,II} = 30 \text{ км}$ при $t_0 = 0 \text{ ч}$.

Положение в момент времени $t_2 = 3 \text{ ч}$: $s_2 = 120 \text{ км}$.

Перевод в СИ:

$s_1 = 60 \text{ км} = 60000 \text{ м}$

$t_1 = 1 \text{ ч} = 3600 \text{ с}$

$s_{0,II} = 30 \text{ км} = 30000 \text{ м}$

$s_2 = 120 \text{ км} = 120000 \text{ м}$

$t_2 = 3 \text{ ч} = 10800 \text{ с}$

Найти:

$v_I - ?$

$v_{II} - ?$

Решение:

Поскольку графики зависимости пути от времени являются прямыми линиями, движение тел равномерное. Скорость определяется как отношение изменения пути ко времени, за которое это изменение произошло:

$v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

1. Скорость автомобиля (I):

$v_I = \frac{s_1 - s_{0,I}}{t_1 - t_0} = \frac{60 \text{ км} - 0 \text{ км}}{1 \text{ ч} - 0 \text{ ч}} = 60 \text{ км/ч}$

2. Скорость трактора (II):

$v_{II} = \frac{s_2 - s_{0,II}}{t_2 - t_0} = \frac{120 \text{ км} - 30 \text{ км}}{3 \text{ ч} - 0 \text{ ч}} = \frac{90 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 30 \text{ км/ч}$

Ответ: Скорость автомобиля $v_I = 60$ км/ч. Скорость трактора $v_{II} = 30$ км/ч.

Через какое время от начала своего движения автомобиль обгонит трактор?

Момент обгона соответствует точке пересечения графиков движения. В этой точке время и координата у обоих тел совпадают. Определить это время можно графически или аналитически.

1. Графический метод

На графике видно, что линии I и II пересекаются в точке, абсцисса (координата по оси времени) которой равна 1 ч. Это означает, что встреча произойдет через 1 час после начала движения.

2. Аналитический метод

Составим уравнения движения для автомобиля ($s_I(t)$) и трактора ($s_{II}(t)$), используя найденные ранее скорости:

$s_I(t) = s_{0,I} + v_I \cdot t = 0 + 60t = 60t$

$s_{II}(t) = s_{0,II} + v_{II} \cdot t = 30 + 30t$

В момент встречи $t_{встр}$ их координаты будут равны: $s_I(t_{встр}) = s_{II}(t_{встр})$.

$60t_{встр} = 30 + 30t_{встр}$

$60t_{встр} - 30t_{встр} = 30$

$30t_{встр} = 30$

$t_{встр} = \frac{30}{30} = 1$ ч.

Ответ: Автомобиль обгонит трактор через 1 час после начала движения.