Страница 9 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

29. Инспектор ГИБДД на мотоцикле, двигаясь со скоростью 126 км/ч, догоняет грузовой автомобиль, движущийся со скоростью 54 км/ч. Укажите начальные координаты мотоцикла и автомобиля, приняв за начало координат пост ГИБДД (рис. 7). Напишите уравнения движения мотоцикла и автомобиля. Определите, за какое время мотоцикл догонит автомобиль. Постройте графики изменения координат мотоцикла и автомобиля с течением времени.

Рис. 7

Дано:

$v_1 = 126 \text{ км/ч}$ (скорость мотоцикла)

$v_2 = 54 \text{ км/ч}$ (скорость автомобиля)

$l_1 = 300 \text{ м}$ (начальное расстояние от поста ГИБДД до мотоцикла)

$l_2 = 1200 \text{ м}$ (начальное расстояние от мотоцикла до автомобиля)

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 126 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 126 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 35 \text{ м/с}$

$v_2 = 54 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$

Найти:

$x_{01}, x_{02}$ — начальные координаты;

$x_1(t), x_2(t)$ — уравнения движения;

$t$ — время, через которое мотоцикл догонит автомобиль;

Построить графики $x_1(t)$ и $x_2(t)$.

Решение:

Укажите начальные координаты мотоцикла и автомобиля, приняв за начало координат пост ГИБДД.

Примем пост ГИБДД за начало отсчета ($x=0$). Ось координат $X$ направим в сторону движения транспортных средств, как показано на рисунке 7. В начальный момент времени ($t=0$) координата мотоцикла, находящегося на расстоянии $l_1$ от поста, будет $x_{01} = 300 \text{ м}$. Автомобиль находится на расстоянии $l_2$ от мотоцикла, следовательно, его начальная координата $x_{02} = l_1 + l_2 = 300 \text{ м} + 1200 \text{ м} = 1500 \text{ м}$.

Ответ: Начальная координата мотоцикла $x_{01} = 300 \text{ м}$, начальная координата автомобиля $x_{02} = 1500 \text{ м}$.

Напишите уравнения движения мотоцикла и автомобиля.

Движение обоих тел является равномерным и прямолинейным, поэтому его можно описать уравнением $x(t) = x_0 + v_x t$. Так как оба тела движутся в положительном направлении оси $X$, проекции их скоростей на эту ось равны модулям скоростей: $v_{1x} = v_1 = 35 \text{ м/с}$ и $v_{2x} = v_2 = 15 \text{ м/с}$.

Подставив начальные координаты и скорости, получим уравнения движения:

Для мотоцикла: $x_1(t) = x_{01} + v_1 t = 300 + 35t$.

Для автомобиля: $x_2(t) = x_{02} + v_2 t = 1500 + 15t$.

Ответ: Уравнение движения мотоцикла: $x_1(t) = 300 + 35t$. Уравнение движения автомобиля: $x_2(t) = 1500 + 15t$.

Определите, за какое время мотоцикл догонит автомобиль.

В момент, когда мотоцикл догонит автомобиль, их координаты будут равны: $x_1(t) = x_2(t)$. Приравняем правые части уравнений движения:

$300 + 35t = 1500 + 15t$

Соберем слагаемые с $t$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$35t - 15t = 1500 - 300$

$20t = 1200$

$t = \frac{1200}{20} = 60 \text{ с}$

Таким образом, мотоцикл догонит автомобиль через 60 секунд (1 минуту).

Ответ: Мотоцикл догонит автомобиль через $60 \text{ с}$.

Постройте графики изменения координат мотоцикла и автомобиля с течением времени.

Графиками зависимостей $x_1(t)$ и $x_2(t)$ являются прямые линии. Для построения каждой прямой найдем две точки.

Для мотоцикла ($x_1(t) = 300 + 35t$):

При $t=0 \text{ с}$, $x_1 = 300 \text{ м}$. Точка (0; 300).

При $t=60 \text{ с}$, $x_1 = 300 + 35 \cdot 60 = 2400 \text{ м}$. Точка (60; 2400).

Для автомобиля ($x_2(t) = 1500 + 15t$):

При $t=0 \text{ с}$, $x_2 = 1500 \text{ м}$. Точка (0; 1500).

При $t=60 \text{ с}$, $x_2 = 1500 + 15 \cdot 60 = 2400 \text{ м}$. Точка (60; 2400).

Построим графики в системе координат $x(t)$.

Ответ: Графики движения представляют собой две прямые линии. Прямая для мотоцикла начинается в точке (0; 300) и имеет больший угол наклона к оси времени. Прямая для автомобиля начинается в точке (0; 1500) и имеет меньший угол наклона. Прямые пересекаются в точке (60; 2400), которая соответствует моменту и месту их встречи.

30. Движение двух самолётов, летящих параллельными курсами, задано уравнениями $x_1 = 150t$ (м), $x_2 = 8400 - 250t$ (м). Как движутся самолёты — равномерно или неравномерно? Чему равны модули скоростей движения самолётов? Каково направление их скоростей? На каком расстоянии друг от друга в начальный момент времени находятся самолёты? Через какое время они встретятся?

Дано:

Уравнение движения первого самолёта: $x_1 = 150t$ (м)

Уравнение движения второго самолёта: $x_2 = 8400 - 250t$ (м)

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

1. Как движутся самолёты — равномерно или неравномерно?

2. Чему равны модули скоростей движения самолётов?

3. Каково направление их скоростей?

4. На каком расстоянии друг от друга в начальный момент времени находятся самолёты?

5. Через какое время они встретятся?

Решение:

Как движутся самолёты — равномерно или неравномерно?

Общий вид уравнения равномерного прямолинейного движения: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата, а $v_x$ — проекция скорости на ось Ox. Это линейная зависимость координаты от времени.

Уравнения движения обоих самолётов, $x_1 = 150t$ и $x_2 = 8400 - 250t$, являются линейными функциями времени $t$. Это означает, что их скорости постоянны, а ускорение равно нулю. Следовательно, оба самолёта движутся равномерно и прямолинейно.

Ответ: Оба самолёта движутся равномерно.

Чему равны модули скоростей движения самолётов?

Сравнивая уравнение движения первого самолёта $x_1 = 150t$ с общей формулой $x(t) = x_0 + v_x t$, находим проекцию его скорости: $v_{x1} = 150$ м/с. Модуль скорости равен $|v_1| = |150| = 150$ м/с.

Сравнивая уравнение движения второго самолёта $x_2 = 8400 - 250t$ с общей формулой, находим проекцию его скорости: $v_{x2} = -250$ м/с. Модуль скорости равен $|v_2| = |-250| = 250$ м/с.

Ответ: Модуль скорости первого самолёта равен 150 м/с, модуль скорости второго самолёта — 250 м/с.

Каково направление их скоростей?

Направление движения определяется знаком проекции скорости.

Для первого самолёта проекция скорости $v_{x1} = 150$ м/с положительна, следовательно, он движется в положительном направлении оси Ox.

Для второго самолёта проекция скорости $v_{x2} = -250$ м/с отрицательна, следовательно, он движется в отрицательном направлении оси Ox, то есть навстречу первому самолёту.

Ответ: Первый самолёт движется в положительном направлении оси Ox, а второй — в отрицательном (навстречу друг другу).

На каком расстоянии друг от друга в начальный момент времени находятся самолёты?

Начальный момент времени соответствует $t=0$. Подставим это значение в уравнения движения, чтобы найти начальные координаты самолётов.

Начальная координата первого самолёта: $x_1(0) = 150 \cdot 0 = 0$ м.

Начальная координата второго самолёта: $x_2(0) = 8400 - 250 \cdot 0 = 8400$ м.

Расстояние между ними в начальный момент времени равно модулю разности их начальных координат:

$S_0 = |x_2(0) - x_1(0)| = |8400 - 0| = 8400$ м.

Ответ: В начальный момент времени самолёты находятся на расстоянии 8400 м (или 8,4 км) друг от друга.

Через какое время они встретятся?

Самолёты встретятся, когда их координаты будут равны: $x_1(t) = x_2(t)$.

Приравняем уравнения движения:

$150t = 8400 - 250t$

Перенесём слагаемое с $t$ в левую часть:

$150t + 250t = 8400$

$400t = 8400$

Найдём время $t$:

$t = \frac{8400}{400} = \frac{84}{4} = 21$ с.

Ответ: Самолёты встретятся через 21 с.

31. Движение двух тел задано уравнениями $x_1 = 20t$ (м), $x_2 = 250 - 5t$ (м). Найдите: a) место и время встречи этих тел; б) координату второго тела в момент времени, когда координата первого тела была равна 100 м; в) в какой момент времени расстояние между телами составляло 125 м. Учесть, что тела начали двигаться одновременно.

Дано:

Уравнение движения первого тела: $x_1(t) = 20t$

Уравнение движения второго тела: $x_2(t) = 250 - 5t$

Координаты $x_1$ и $x_2$ измеряются в метрах (м), время $t$ - в секундах (с). Все величины заданы в системе СИ.

Найти:

а) Время встречи $t_{встр}$ и координату встречи $x_{встр}$.

б) Координату второго тела $x_2$ в тот момент времени, когда координата первого тела $x_1 = 100$ м.

в) Момент(ы) времени $t$, когда расстояние между телами составляло 125 м.

Решение:

а) место и время встречи этих тел

Тела встречаются в тот момент времени, когда их координаты равны, то есть $x_1(t) = x_2(t)$. Приравняем правые части уравнений движения:

$20t = 250 - 5t$

Перенесем слагаемое с $t$ в левую часть уравнения:

$20t + 5t = 250$

$25t = 250$

Найдем время встречи $t_{встр}$:

$t_{встр} = \frac{250}{25} = 10$ с.

Чтобы найти место встречи, подставим полученное время в любое из двух уравнений. Подставим в уравнение для первого тела:

$x_{встр} = x_1(10) = 20 \cdot 10 = 200$ м.

Для проверки подставим во второе уравнение:

$x_{встр} = x_2(10) = 250 - 5 \cdot 10 = 250 - 50 = 200$ м.

Результаты совпадают, следовательно, вычисления верны.

Ответ: тела встретятся через 10 с в точке с координатой 200 м.

б) координату второго тела в момент времени, когда координата первого тела была равна 100 м

Сначала определим момент времени, когда координата первого тела была равна 100 м:

$x_1(t) = 100$

$20t = 100$

$t = \frac{100}{20} = 5$ с.

Теперь найдем координату второго тела в этот момент времени, подставив $t = 5$ с в уравнение для $x_2$:

$x_2(5) = 250 - 5 \cdot 5 = 250 - 25 = 225$ м.

Ответ: когда координата первого тела была равна 100 м, координата второго тела была 225 м.

в) в какой момент времени расстояние между телами составляло 125 м

Расстояние между телами - это модуль разности их координат: $d = |x_2 - x_1|$. По условию $d = 125$ м.

$|x_2(t) - x_1(t)| = 125$

$|(250 - 5t) - 20t| = 125$

$|250 - 25t| = 125$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $250 - 25t = 125$

$25t = 250 - 125$

$25t = 125$

$t_1 = \frac{125}{25} = 5$ с.

2) $250 - 25t = -125$

$25t = 250 + 125$

$25t = 375$

$t_2 = \frac{375}{25} = 15$ с.

Оба момента времени положительны и являются решением. Первый раз расстояние между телами составит 125 м до их встречи, второй раз — после встречи.

Ответ: расстояние между телами составляло 125 м в моменты времени 5 с и 15 с.

32. Расстояние между двумя городами равно 280 км. Из этих городов начали одновременно двигаться навстречу друг другу два автомобиля: один — со скоростью 90 км/ч, другой — со скоростью 72 км/ч. Постройте графики движения автомобилей и по графикам определите время их встречи и расстояние от места встречи до каждого города.

Дано:

Расстояние между городами, $S = 280$ км

Скорость первого автомобиля, $v_1 = 90$ км/ч

Скорость второго автомобиля, $v_2 = 72$ км/ч

Движение одновременное, навстречу друг другу.

Все данные представлены в согласованных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Время встречи, $t_{встр}$

Расстояние от места встречи до первого города, $S_1$

Расстояние от места встречи до второго города, $S_2$

Решение:

Постройте графики движения автомобилей

Для построения графиков введем систему координат. Пусть ось $Ox$ направлена от первого города ко второму, а начало координат ($x=0$) совпадает с положением первого города. Тогда начальная координата первого автомобиля $x_{01} = 0$, а второго $x_{02} = 280$ км. Поскольку движение равномерное, зависимость координаты от времени является линейной.

Уравнение движения для первого автомобиля, движущегося в положительном направлении оси $Ox$:

$x_1(t) = x_{01} + v_1 t = 0 + 90t = 90t$

Уравнение движения для второго автомобиля, движущегося в отрицательном направлении оси $Ox$ (навстречу первому):

$x_2(t) = x_{02} - v_2 t = 280 - 72t$

Графиком зависимости координаты от времени $x(t)$ является прямая линия. Для построения каждой прямой достаточно двух точек.

Для первого автомобиля ($x_1 = 90t$):
- при $t=0$, $x_1=0$. Точка (0; 0).
- при $t=2$ ч, $x_1=90 \cdot 2 = 180$ км. Точка (2; 180).

Для второго автомобиля ($x_2 = 280 - 72t$):
- при $t=0$, $x_2=280$. Точка (0; 280).
- при $t=2$ ч, $x_2=280 - 72 \cdot 2 = 280 - 144 = 136$ км. Точка (2; 136).

Построив систему координат $x(t)$ (где по оси ординат откладывается координата $x$ в км, а по оси абсцисс — время $t$ в часах) и нанеся на нее эти две прямые, мы получим графики движения автомобилей. График первого автомобиля — восходящая прямая из начала координат. График второго автомобиля — нисходящая прямая, начинающаяся из точки (0; 280).

по графикам определите время их встречи и расстояние от места встречи до каждого города

Точка пересечения графиков соответствует моменту и месту встречи автомобилей. Координаты этой точки $(t_{встр}, x_{встр})$ и являются искомыми временем и координатой встречи. Для точного определения этих значений решим систему уравнений аналитически, что эквивалентно нахождению координат точки пересечения на графике.

В момент встречи координаты автомобилей равны: $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$.

$90t_{встр} = 280 - 72t_{встр}$

Перенесем слагаемое с $t_{встр}$ в левую часть:

$90t_{встр} + 72t_{встр} = 280$

$162t_{встр} = 280$

$t_{встр} = \frac{280}{162} = \frac{140}{81} \approx 1.73$ ч.

Это время их встречи. Для удобства можно перевести в часы и минуты: $1.73$ ч $= 1$ час и $0.73 \cdot 60$ мин $\approx$ 1 час 44 минуты.

Теперь найдем координату места встречи, подставив $t_{встр}$ в уравнение для первого автомобиля:

$x_{встр} = 90 \cdot t_{встр} = 90 \cdot \frac{140}{81} = \frac{10 \cdot 140}{9} = \frac{1400}{9} \approx 155.6$ км.

Эта координата соответствует расстоянию от места встречи до первого города ($S_1$).

$S_1 = x_{встр} \approx 155.6$ км.

Расстояние от места встречи до второго города ($S_2$) можно найти двумя способами:

1. Как разницу общего расстояния и пройденного первым автомобилем:
$S_2 = S - S_1 = 280 - 155.6 = 124.4$ км.

2. Как путь, пройденный вторым автомобилем за время $t_{встр}$:
$S_2 = v_2 \cdot t_{встр} = 72 \cdot \frac{140}{81} = \frac{8 \cdot 140}{9} = \frac{1120}{9} \approx 124.4$ км.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: Время встречи автомобилей составляет примерно $1.73$ ч (1 час 44 минуты). Расстояние от места встречи до города, из которого выехал первый автомобиль, равно примерно $155.6$ км, а до города, из которого выехал второй автомобиль, — примерно $124.4$ км.