Номер 32, страница 9 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Определение координаты тела. Перемещение при прямолинейном равномерном движении - номер 32, страница 9.

Условие.

32. Расстояние между двумя городами равно 280 км. Из этих городов начали одновременно двигаться навстречу друг другу два автомобиля: один — со скоростью 90 км/ч, другой — со скоростью 72 км/ч. Постройте графики движения автомобилей и по графикам определите время их встречи и расстояние от места встречи до каждого города.

Решение.

Дано:

Расстояние между городами, $S = 280$ км

Скорость первого автомобиля, $v_1 = 90$ км/ч

Скорость второго автомобиля, $v_2 = 72$ км/ч

Движение одновременное, навстречу друг другу.

Все данные представлены в согласованных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Время встречи, $t_{встр}$

Расстояние от места встречи до первого города, $S_1$

Расстояние от места встречи до второго города, $S_2$

Решение:

Постройте графики движения автомобилей

Для построения графиков введем систему координат. Пусть ось $Ox$ направлена от первого города ко второму, а начало координат ($x=0$) совпадает с положением первого города. Тогда начальная координата первого автомобиля $x_{01} = 0$, а второго $x_{02} = 280$ км. Поскольку движение равномерное, зависимость координаты от времени является линейной.

Уравнение движения для первого автомобиля, движущегося в положительном направлении оси $Ox$:

$x_1(t) = x_{01} + v_1 t = 0 + 90t = 90t$

Уравнение движения для второго автомобиля, движущегося в отрицательном направлении оси $Ox$ (навстречу первому):

$x_2(t) = x_{02} - v_2 t = 280 - 72t$

Графиком зависимости координаты от времени $x(t)$ является прямая линия. Для построения каждой прямой достаточно двух точек.

Для первого автомобиля ($x_1 = 90t$):
- при $t=0$, $x_1=0$. Точка (0; 0).
- при $t=2$ ч, $x_1=90 \cdot 2 = 180$ км. Точка (2; 180).

Для второго автомобиля ($x_2 = 280 - 72t$):
- при $t=0$, $x_2=280$. Точка (0; 280).
- при $t=2$ ч, $x_2=280 - 72 \cdot 2 = 280 - 144 = 136$ км. Точка (2; 136).

Построив систему координат $x(t)$ (где по оси ординат откладывается координата $x$ в км, а по оси абсцисс — время $t$ в часах) и нанеся на нее эти две прямые, мы получим графики движения автомобилей. График первого автомобиля — восходящая прямая из начала координат. График второго автомобиля — нисходящая прямая, начинающаяся из точки (0; 280).

по графикам определите время их встречи и расстояние от места встречи до каждого города

Точка пересечения графиков соответствует моменту и месту встречи автомобилей. Координаты этой точки $(t_{встр}, x_{встр})$ и являются искомыми временем и координатой встречи. Для точного определения этих значений решим систему уравнений аналитически, что эквивалентно нахождению координат точки пересечения на графике.

В момент встречи координаты автомобилей равны: $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$.

$90t_{встр} = 280 - 72t_{встр}$

Перенесем слагаемое с $t_{встр}$ в левую часть:

$90t_{встр} + 72t_{встр} = 280$

$162t_{встр} = 280$

$t_{встр} = \frac{280}{162} = \frac{140}{81} \approx 1.73$ ч.

Это время их встречи. Для удобства можно перевести в часы и минуты: $1.73$ ч $= 1$ час и $0.73 \cdot 60$ мин $\approx$ 1 час 44 минуты.

Теперь найдем координату места встречи, подставив $t_{встр}$ в уравнение для первого автомобиля:

$x_{встр} = 90 \cdot t_{встр} = 90 \cdot \frac{140}{81} = \frac{10 \cdot 140}{9} = \frac{1400}{9} \approx 155.6$ км.

Эта координата соответствует расстоянию от места встречи до первого города ($S_1$).

$S_1 = x_{встр} \approx 155.6$ км.

Расстояние от места встречи до второго города ($S_2$) можно найти двумя способами:

1. Как разницу общего расстояния и пройденного первым автомобилем:
$S_2 = S - S_1 = 280 - 155.6 = 124.4$ км.

2. Как путь, пройденный вторым автомобилем за время $t_{встр}$:
$S_2 = v_2 \cdot t_{встр} = 72 \cdot \frac{140}{81} = \frac{8 \cdot 140}{9} = \frac{1120}{9} \approx 124.4$ км.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: Время встречи автомобилей составляет примерно $1.73$ ч (1 час 44 минуты). Расстояние от места встречи до города, из которого выехал первый автомобиль, равно примерно $155.6$ км, а до города, из которого выехал второй автомобиль, — примерно $124.4$ км.