Номер 2, страница 103 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

2. Какую скорость получит модель ракеты, если масса её оболочки равна 300 г, масса пороха в ней 100 г, а газы вырываются из сопла со скоростью 100 м/с? (Считайте истечение газа из сопла мгновенным.)

Дано:

Масса оболочки ракеты, $m_р = 300$ г

Масса пороха (превращается в газы), $m_г = 100$ г

Скорость истечения газов из сопла (относительно ракеты), $u = 100$ м/с

$m_р = 300 \text{ г} = 0.3 \text{ кг}$

$m_г = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

Скорость ракеты после истечения газов, $v_р$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса. Рассмотрим систему, состоящую из оболочки ракеты и пороха (который станет газами). Изначально модель ракеты находится в состоянии покоя, следовательно, её начальный импульс равен нулю.

$\vec{P}_{начальный} = 0$

Поскольку истечение газа по условию происходит мгновенно, мы можем считать систему "ракета+газ" замкнутой, так как за этот бесконечно малый промежуток времени действие внешних сил (силы тяжести, сопротивления воздуха) не успевает изменить суммарный импульс системы.

После сгорания пороха газы массой $m_г$ выбрасываются из сопла, а оболочка ракеты массой $m_р$ приобретает скорость $\vec{v}_р$. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы после взаимодействия также должен оставаться равным нулю.

$\vec{P}_{конечный} = m_р \vec{v}_р + m_г \vec{v}_г = 0$

Здесь $\vec{v}_г$ — скорость газов относительно Земли (в той же инерциальной системе отсчета, что и $\vec{v}_р$). Эта скорость связана со скоростью ракеты $\vec{v}_р$ и скоростью истечения газов относительно ракеты $\vec{u}$ через закон сложения скоростей:

$\vec{v}_г = \vec{v}_р + \vec{u}$

Спроецируем уравнение на ось, направленную вдоль движения ракеты. Скорость ракеты $v_р$ будет положительной. Газы вырываются в противоположном направлении, поэтому их скорость относительно ракеты в проекции на эту ось будет равна $-u$.

Таким образом, проекция скорости газов на выбранную ось равна:

$v_г = v_р - u$

Подставим это выражение в закон сохранения импульса в проекциях:

$m_р v_р + m_г (v_р - u) = 0$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$m_р v_р + m_г v_р - m_г u = 0$

$(m_р + m_г) v_р = m_г u$

Выразим искомую скорость ракеты $v_р$:

$v_р = \frac{m_г u}{m_р + m_г}$

Подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:

$v_р = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot 100 \text{ м/с}}{0.3 \text{ кг} + 0.1 \text{ кг}} = \frac{10 \text{ кг}\cdot\text{м/с}}{0.4 \text{ кг}} = 25 \text{ м/с}$

Ответ: 25 м/с.