Номер 5, страница 109 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

5. Чему равна работа силы упругости при растяжении пружины на величину $\Delta x = x_2 - x_1$?

5. Чему равна работа силы упругости при растяжении пружины на величину Δx = x₂ - x₁?

Работа, совершаемая переменной силой, вычисляется как интеграл от этой силы по перемещению. Сила упругости, согласно закону Гука, является переменной силой, так как она зависит от величины деформации пружины $x$.

Закон Гука: $F_{упр} = -kx$, где $k$ — жесткость пружины, а $x$ — её удлинение (или сжатие) относительно положения равновесия. Знак «минус» указывает на то, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную деформации (т. е. к положению равновесия).

Работа силы упругости $A_{упр}$ при перемещении конца пружины из положения с координатой $x_1$ в положение с координатой $x_2$ вычисляется по формуле:

$A_{упр} = \int_{x_1}^{x_2} F_{упр}(x) dx$

Подставим выражение для силы упругости:

$A_{упр} = \int_{x_1}^{x_2} (-kx) dx = -k \int_{x_1}^{x_2} x dx$

Вычислим определенный интеграл:

$A_{упр} = -k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x_1}^{x_2} = -k \left( \frac{x_2^2}{2} - \frac{x_1^2}{2} \right) = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

Величина $E_p = \frac{kx^2}{2}$ является потенциальной энергией упруго деформированной пружины. Таким образом, работу силы упругости можно выразить через изменение потенциальной энергии пружины:

$A_{упр} = E_{p1} - E_{p2} = -(E_{p2} - E_{p1}) = -\Delta E_p$

Это означает, что работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии пружины, взятому с противоположным знаком. Это свойство характерно для консервативных сил, к которым относится и сила упругости.

Ответ: Работа силы упругости при растяжении пружины из состояния с деформацией $x_1$ в состояние с деформацией $x_2$ равна $A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$, где $k$ — жесткость пружины. Эта работа равна убыли потенциальной энергии пружины.

6*. Покажите на конкретных примерах.

Пример 1: Растяжение пружины из положения равновесия.

Пусть пружину жесткостью 200 Н/м растягивают из недеформированного состояния на 10 см.

Дано:

$k = 200$ Н/м

$x_1 = 0$ м

$x_2 = 10$ см

$x_2 = 0.1$ м

Найти:

$A_{упр}$ — ?

Решение:

Воспользуемся формулой работы силы упругости: $A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$.

Подставим числовые значения:

$A_{упр} = \frac{200 \cdot 0^2}{2} - \frac{200 \cdot (0.1)^2}{2} = 0 - \frac{200 \cdot 0.01}{2} = -1$ Дж.

Работа отрицательна, так как сила упругости направлена к положению равновесия, а перемещение происходит от положения равновесия.

Ответ: $A_{упр} = -1$ Дж.

Пример 2: Дополнительное растяжение уже растянутой пружины.

Пусть пружину жесткостью 100 Н/м, уже растянутую на 5 см, растягивают дополнительно до 15 см.

Дано:

$k = 100$ Н/м

$x_1 = 5$ см

$x_2 = 15$ см

$x_1 = 0.05$ м

$x_2 = 0.15$ м

Найти:

$A_{упр}$ — ?

Решение:

Используем ту же формулу: $A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$.

Подставим значения:

$A_{упр} = \frac{100 \cdot (0.05)^2}{2} - \frac{100 \cdot (0.15)^2}{2} = \frac{100 \cdot 0.0025}{2} - \frac{100 \cdot 0.0225}{2}$

$A_{упр} = \frac{0.25}{2} - \frac{2.25}{2} = 0.125 - 1.125 = -1$ Дж.

Работа снова отрицательна, так как пружину продолжают растягивать (удалять от положения равновесия), а сила упругости этому препятствует.

Ответ: $A_{упр} = -1$ Дж.

Пример 3: Возвращение сжатой пружины к положению равновесия.

Пусть сжатую на 20 см пружину жесткостью 50 Н/м отпускают, и она возвращается в положение равновесия.

Дано:

$k = 50$ Н/м

$x_1 = -20$ см (сжатие)

$x_2 = 0$ м

$x_1 = -0.2$ м

Найти:

$A_{упр}$ — ?

Решение:

Формула остается прежней: $A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$.

Подставим значения:

$A_{упр} = \frac{50 \cdot (-0.2)^2}{2} - \frac{50 \cdot 0^2}{2} = \frac{50 \cdot 0.04}{2} - 0 = \frac{2}{2} = 1$ Дж.

Работа положительна, так как направление силы упругости (от точки сжатия к положению равновесия) совпадает с направлением перемещения конца пружины.

Ответ: $A_{упр} = 1$ Дж.