Номер 6, страница 109 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

6*. Покажите на конкретных примерах, что работа силы зависит от выбора системы отсчёта.

Работа силы $\vec{F}$ определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения $\Delta\vec{r}$ точки ее приложения: $A = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r}$. Согласно принципу относительности Галилея, при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой, движущейся относительно первой с постоянной скоростью $\vec{v}$, сила, действующая на тело, не изменяется ($\vec{F'} = \vec{F}$). Однако перемещение тела является относительной величиной и зависит от выбора системы отсчета.

Пусть $\Delta\vec{r}$ — перемещение тела за время $\Delta t$ в условно "неподвижной" ИСО S, а $\Delta\vec{r'}$ — перемещение того же тела за то же время в ИСО S', которая движется со скоростью $\vec{v}$ относительно S. Связь между перемещениями дается преобразованиями Галилея: $\Delta\vec{r} = \Delta\vec{r'} + \vec{v}\Delta t$.

Тогда работа силы в системе отсчета S выражается через работу в системе S' следующим образом: $A = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r} = \vec{F} \cdot (\Delta\vec{r'} + \vec{v}\Delta t) = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r'} + \vec{F} \cdot \vec{v}\Delta t$.

Поскольку работа в движущейся системе S' равна $A' = \vec{F'} \cdot \Delta\vec{r'} = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r'}$, получаем соотношение: $A = A' + (\vec{F} \cdot \vec{v})\Delta t$.

Из этой формулы видно, что работа $A$ в общем случае не равна работе $A'$ (если только скалярное произведение $\vec{F} \cdot \vec{v}$ не равно нулю). Следовательно, работа силы зависит от выбора системы отсчета. Проиллюстрируем это на конкретных примерах.

Пример 1. Толкание ящика в движущемся поезде

Рассмотрим ситуацию: поезд движется равномерно и прямолинейно со скоростью $v$ относительно земли. В вагоне поезда человек толкает ящик с постоянной силой $F$ в направлении движения поезда, в результате чего ящик перемещается на расстояние $s$ относительно пола вагона.

• В системе отсчета, связанной с вагоном (ИСО'):

  Перемещение ящика составляет $\Delta x' = s$. Сила, приложенная к ящику, равна $F$. Работа, совершаемая человеком в этой системе отсчета, равна: $A' = F \cdot \Delta x' = Fs$

• В системе отсчета, связанной с землей (ИСО):

  Пусть перемещение ящика в вагоне заняло время $\Delta t$. За это время сам поезд переместился относительно земли на расстояние $\Delta x_{поезда} = v \Delta t$. Полное перемещение ящика относительно земли является суммой перемещения поезда и перемещения ящика внутри вагона: $\Delta x = \Delta x_{поезда} + s = v \Delta t + s$. Сила, действующая на ящик, остается той же, $F$. Работа, совершаемая человеком в этой системе отсчета, будет: $A = F \cdot \Delta x = F(v \Delta t + s) = Fs + Fv\Delta t$

Сравнивая результаты, $A' = Fs$ и $A = Fs + Fv\Delta t$, мы видим, что $A \ne A'$ (в данном случае $A > A'$). Таким образом, работа одной и той же силы различна в разных инерциальных системах отсчета.

Пример 2. Подъем груза в лифте

Рассмотрим другую ситуацию: человек находится в лифте, который движется вверх с постоянной скоростью $v$. Человек поднимает груз массой $m$ на высоту $h$ относительно пола лифта. Будем считать, что подъем происходит медленно, поэтому сила, которую прикладывает человек, по модулю равна силе тяжести, $F = mg$.

• В системе отсчета, связанной с лифтом (ИСО'):

  Эта система отсчета является инерциальной, так как лифт движется с постоянной скоростью. Перемещение груза относительно лифта равно $\Delta y' = h$. Работа, совершаемая человеком: $A'_ч = F \cdot \Delta y' = mgh$. Работа, совершаемая силой тяжести ($F_т = -mg$): $A'_т = -mg \cdot \Delta y' = -mgh$.

• В системе отсчета, связанной с землей (ИСО):

  Пусть подъем груза на высоту $h$ в лифте занял время $\Delta t$. За это время лифт переместился вверх относительно земли на расстояние $\Delta y_{лифта} = v\Delta t$. Полное перемещение груза относительно земли составит: $\Delta y = h + \Delta y_{лифта} = h + v\Delta t$. Работа, совершаемая человеком в этой системе отсчета: $A_ч = F \cdot \Delta y = mg(h + v\Delta t) = mgh + mgv\Delta t$. Работа, совершаемая силой тяжести в этой системе отсчета: $A_т = -mg \cdot \Delta y = -mg(h + v\Delta t) = -mgh - mgv\Delta t$.

Сравнивая работы в двух системах отсчета, мы видим, что работа как силы, приложенной человеком ($A_ч \ne A'_ч$), так и силы тяжести ($A_т \ne A'_т$), зависит от выбора системы отсчета.

Ответ: Работа силы является относительной величиной, то есть ее значение зависит от выбора инерциальной системы отсчета. Это является прямым следствием того, что перемещение тела, входящее в определение работы ($A = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r}$), зависит от системы отсчета, в то время как сила в рамках классической механики считается инвариантной при переходе между инерциальными системами отсчета. Как показано на примерах с движущимся поездом и лифтом, численное значение работы, совершаемой одной и той же силой над одним и тем же телом в ходе одного и того же процесса, будет различным для наблюдателей в разных инерциальных системах отсчета.