Страница 109 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Что называют работой силы?

1. В физике работой силы называют скалярную физическую величину, которая является количественной мерой действия силы на тело, в результате которого тело перемещается. Работа характеризует процесс передачи энергии от одного тела к другому посредством силы.

Если сила $\vec{F}$ постоянна по модулю и направлению, а тело совершает прямолинейное перемещение $\vec{s}$, то работа $A$ этой силы определяется по формуле:

$A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$

где:

• $A$ — работа, измеряемая в джоулях (Дж),

• $F$ — модуль приложенной силы (в ньютонах, Н),

• $s$ — модуль перемещения тела (в метрах, м),

• $\alpha$ — угол между направлением вектора силы $\vec{F}$ и вектора перемещения $\vec{s}$.

Из формулы видно, что работа может принимать различные значения в зависимости от угла $\alpha$:

1. Если сила сонаправлена с перемещением ($\alpha = 0^\circ$), то $\cos(0^\circ) = 1$, и работа максимальна и положительна: $A = F \cdot s$. Сила совершает положительную работу, "помогая" движению.

2. Если сила направлена перпендикулярно перемещению ($\alpha = 90^\circ$), то $\cos(90^\circ) = 0$, и работа равна нулю: $A = 0$. Сила не совершает работы. Например, сила тяжести не совершает работы, когда тело движется по горизонтальной поверхности.

3. Если сила направлена противоположно перемещению ($\alpha = 180^\circ$), то $\cos(180^\circ) = -1$, и работа отрицательна: $A = -F \cdot s$. Сила совершает отрицательную работу, "мешая" движению (например, сила трения скольжения).

Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (Дж). 1 джоуль — это работа, совершаемая силой в 1 ньютон при перемещении точки приложения силы на 1 метр в направлении действия силы.

$1 \text{ Дж} = 1 \text{ Н} \cdot 1 \text{ м}$

В общем случае, когда сила переменна, а траектория криволинейна, работа вычисляется путем интегрирования: $A = \int_L (\vec{F} \cdot d\vec{s})$, где интегрирование ведется вдоль траектории движения $L$.

Ответ: Работой силы называют скалярную физическую величину, равную произведению модуля силы на модуль перемещения точки приложения силы и на косинус угла между векторами силы и перемещения.

2. В каких случаях работа силы положительна; отрицательна; равна нулю? Приведите примеры.

1. Что называют работой силы?

В физике работой силы называют скалярную физическую величину, являющуюся количественной характеристикой действия силы на тело, которое приводит к изменению положения этого тела в пространстве. Работа силы зависит от модуля и направления этой силы, а также от перемещения точки ее приложения.

Если на тело действует постоянная сила $\vec{F}$, и тело совершает прямолинейное перемещение $\vec{s}$, то работа $A$ этой силы определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения, или, что то же самое, как произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними:

$A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$

где $F$ — модуль силы, $s$ — модуль перемещения, а $\alpha$ — угол между векторами силы $\vec{F}$ и перемещения $\vec{s}$.

Единицей измерения работы в Международной системе единиц (СИ) является Джоуль (Дж). 1 Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 Ньютон при перемещении тела на 1 метр в направлении действия силы.

Ответ: Работой силы называют скалярную физическую величину, равную произведению модуля силы на модуль перемещения точки приложения силы и на косинус угла между векторами силы и перемещения ($A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$). Она характеризует процесс действия силы, приводящий к перемещению тела.

2. В каких случаях работа силы положительна; отрицательна; равна нулю? Приведите примеры.

Знак работы силы, вычисляемой по формуле $A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$, зависит от знака косинуса угла $\alpha$ между вектором силы $\vec{F}$ и вектором перемещения $\vec{s}$.

Работа силы положительна

Работа является положительной ($A > 0$), если угол $\alpha$ между направлением силы и направлением перемещения является острым ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$). В этом случае $\cos(\alpha) > 0$. Это означает, что сила (или ее проекция на направление движения) сонаправлена с перемещением и способствует движению тела.

Пример: Когда лошадь тянет сани, сила тяги направлена вперед, в сторону движения саней, поэтому ее работа положительна. Работа силы тяжести, действующей на падающий с высоты камень, также положительна, так как сила тяжести и перемещение направлены в одну сторону (вниз).

Работа силы отрицательна

Работа является отрицательной ($A < 0$), если угол $\alpha$ между направлением силы и направлением перемещения является тупым ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$). В этом случае $\cos(\alpha) < 0$. Это означает, что сила (или ее проекция) направлена в сторону, противоположную перемещению, и препятствует движению тела.

Пример: Работа силы трения скольжения всегда отрицательна, так как сила трения направлена против движения. Например, когда автомобиль тормозит, работа силы трения колес о дорогу отрицательна. Также отрицательна работа силы тяжести при подбрасывании мяча вверх, так как сила тяжести направлена вниз, а мяч движется вверх (угол $180^\circ$).

Работа силы равна нулю

Работа равна нулю ($A = 0$) в трех основных случаях:

1. Сила, действующая на тело, равна нулю ($F=0$).

2. Тело не перемещается, то есть его перемещение равно нулю ($s=0$).

3. Сила перпендикулярна перемещению, то есть угол $\alpha$ между ними равен $90^\circ$. В этом случае $\cos(90^\circ) = 0$.

Примеры: Если человек держит в руках тяжелый груз, но не двигается с места, работа силы, с которой он действует на груз, равна нулю, так как перемещение отсутствует ($s=0$). Работа силы тяжести, действующей на искусственный спутник, который движется по круговой орбите вокруг планеты, равна нулю. Это связано с тем, что сила тяжести (выполняющая роль центростремительной силы) в любой точке траектории перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, мгновенного перемещения ($\alpha = 90^\circ$).

Ответ: Работа положительна, когда угол между силой и перемещением острый ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$). Работа отрицательна, когда этот угол тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$). Работа равна нулю, если сила равна нулю, перемещение равно нулю, или если сила перпендикулярна перемещению ($\alpha = 90^\circ$).

3. Как определить работу изменяющейся силы?

Работа силы: положительная, отрицательная, равная нулю

Работа $A$ постоянной силы $\vec{F}$ при перемещении тела на вектор $\vec{s}$ вычисляется по формуле $A = F \cdot s \cdot \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами силы и перемещения. Знак работы зависит от этого угла.

• Работа положительна ($A > 0$), когда угол $\alpha$ острый ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$). В этом случае $\cos \alpha > 0$. Сила направлена в ту же сторону, что и перемещение, и способствует движению.

  Пример: Лошадь тянет сани. Сила тяги лошади направлена вперёд, и сани перемещаются вперёд. Работа силы тяги положительна. Другой пример — работа силы тяжести при падении тела.

• Работа отрицательна ($A < 0$), когда угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$). В этом случае $\cos \alpha < 0$. Сила направлена против перемещения и препятствует движению.

  Пример: Сила трения при движении саней. Она направлена в сторону, противоположную движению, поэтому её работа отрицательна. Другой пример — работа силы тяжести при подъёме тела вверх.

• Работа равна нулю ($A = 0$) в двух случаях:

  1. Сила перпендикулярна перемещению ($\alpha = 90^\circ$, так как $\cos 90^\circ = 0$).

     Пример: Сила тяжести не совершает работы при движении тела по горизонтальной поверхности, так как она направлена перпендикулярно перемещению. Также равна нулю работа силы Лоренца, действующей на движущийся заряд в магнитном поле.

  2. Перемещение равно нулю ($s = 0$).

     Пример: Человек давит на стену, но стена не сдвигается с места. Несмотря на приложенную силу, работа равна нулю.

Ответ: Работа положительна, если угол между вектором силы и вектором перемещения острый; отрицательна, если этот угол тупой; равна нулю, если сила перпендикулярна перемещению или если перемещение отсутствует. Примеры приведены выше.

3. Как определить работу изменяющейся силы?

Если сила, действующая на тело, изменяется по модулю или направлению в процессе его движения, то для нахождения её работы нельзя напрямую использовать формулу для постоянной силы. В этом случае применяют два основных метода:

1. Графический метод. Работа переменной силы численно равна площади фигуры под графиком зависимости проекции силы на направление перемещения ($F_s$) от модуля перемещения ($s$). Например, для движения вдоль оси $Ox$ работа на участке от $x_1$ до $x_2$ равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком $F_x(x)$, осью $Ox$ и вертикальными прямыми $x=x_1$ и $x=x_2$. Классическим примером является работа силы упругости при растяжении пружины на величину $x$, которая равна $A = \frac{kx^2}{2}$ и находится как площадь треугольника под графиком зависимости силы упругости от деформации.

2. Метод интегрирования. В общем случае работа переменной силы $\vec{F}$ при перемещении из точки 1 в точку 2 по некоторой траектории вычисляется как интеграл:

   $A = \int_{1}^{2} \vec{F} \cdot d\vec{s}$

   где $d\vec{s}$ — вектор элементарного (бесконечно малого) перемещения. Для прямолинейного движения вдоль оси $Ox$ формула упрощается до определённого интеграла от проекции силы на эту ось по координате:

   $A = \int_{x_1}^{x_2} F_x(x) dx$

Ответ: Работу изменяющейся силы можно определить либо графически, как площадь под графиком зависимости силы от перемещения, либо с помощью вычисления интеграла от силы по траектории движения.

4. Чему равна работа силы

Вопрос в представленном виде является неполным и обрывается. Чтобы на него ответить, необходимо уточнить, о какой именно силе идёт речь (например, сила тяжести, сила упругости, сила трения и т.д.) и в каких условиях она совершает работу (например, при подъеме на высоту $h$ или при движении по замкнутой траектории).

Ответ: Вопрос сформулирован не полностью, что не позволяет дать на него однозначный и корректный ответ.

4. Чему равна работа силы тяжести?

3. Как определить работу изменяющейся силы?

Если сила, действующая на тело, изменяется в процессе движения, то для нахождения её работы используют один из двух основных методов:

1. Графический метод. Работа переменной силы численно равна площади криволинейной трапеции под графиком зависимости проекции силы $F_x$ от перемещения $x$. Если проекция силы отрицательна (сила направлена против оси), то и работа считается отрицательной.

2. Метод интегрирования. В общем случае работа вычисляется как интеграл от скалярного произведения вектора силы $\vec{F}$ на элементарное перемещение $d\vec{r}$ по всей траектории движения от начальной точки 1 до конечной точки 2:

$A = \int_{1}^{2} \vec{F} \cdot d\vec{r}$

Если тело движется вдоль оси $Ox$ под действием силы, проекция которой на эту ось зависит от координаты $x$ ($F_x(x)$), то работа вычисляется как определённый интеграл:

$A = \int_{x_1}^{x_2} F_x(x) dx$

где $x_1$ и $x_2$ — начальная и конечная координаты тела.

Ответ: Работу изменяющейся силы можно определить либо графически, как площадь под графиком зависимости силы от перемещения, либо аналитически, с помощью интегрирования силы по перемещению.

4. Чему равна работа силы тяжести?

Сила тяжести $\vec{F}_т = m\vec{g}$ является консервативной силой. Это означает, что её работа не зависит от траектории движения тела, а определяется только его начальным и конечным положением в пространстве, а именно, изменением высоты.

Работа силы тяжести $A_т$ при перемещении тела массой $m$ из точки с начальной высотой $h_1$ в точку с конечной высотой $h_2$ над некоторым нулевым уровнем (например, поверхностью Земли) вычисляется по формуле:

$A_т = mg(h_1 - h_2) = - (mgh_2 - mgh_1) = -\Delta E_п$

где $g$ — ускорение свободного падения, а $\Delta E_п$ — изменение потенциальной энергии тела в поле тяжести.

- Если тело движется вниз ($h_1 > h_2$), то работа силы тяжести положительна ($A_т > 0$), так как сила сонаправлена с вертикальной составляющей перемещения.

- Если тело движется вверх ($h_1 < h_2$), то работа силы тяжести отрицательна ($A_т < 0$), так как сила направлена против вертикальной составляющей перемещения.

- Если тело движется по горизонтали ($h_1 = h_2$), то работа силы тяжести равна нулю ($A_т = 0$).

Ответ: Работа силы тяжести равна произведению модуля силы тяжести на разность начальной и конечной высот: $A_т = mg(h_1 - h_2)$.

5. Чему равна работа силы упругости при растяжении пружины?

Сила упругости, возникающая в деформированной пружине, описывается законом Гука: $F_{упр} = -kx$, где $k$ — жёсткость пружины, а $x$ — её удлинение (или сжатие) относительно положения равновесия. Знак «минус» показывает, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную деформации.

Так как сила упругости является переменной силой (зависит от $x$), её работу нужно вычислять с помощью интегрирования. Работа силы упругости при изменении деформации пружины от начального значения $x_1$ до конечного $x_2$ равна:

$A_{упр} = \int_{x_1}^{x_2} F_{упр}(x) dx = \int_{x_1}^{x_2} (-kx) dx = \left[-k\frac{x^2}{2}\right]_{x_1}^{x_2} = -(\frac{kx_2^2}{2} - \frac{kx_1^2}{2}) = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

Эта формула показывает, что работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии пружины, взятому с противоположным знаком: $A_{упр} = - \Delta E_п$, где $E_п = \frac{kx^2}{2}$.

- Если пружину растягивать или сжимать из недеформированного состояния ($x_1=0$) до деформации $x_2=x$, то работа силы упругости будет отрицательной: $A_{упр} = -\frac{kx^2}{2}$. Это происходит потому, что сила упругости препятствует деформации.

- Если пружина возвращается из деформированного состояния ($x_1=x$) в положение равновесия ($x_2=0$), то работа силы упругости будет положительной: $A_{упр} = \frac{kx^2}{2}$. В этом случае сила упругости совершает работу, способствуя возвращению в исходное состояние.

Ответ: Работа силы упругости при изменении её деформации от $x_1$ до $x_2$ равна $A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$. При растяжении или сжатии пружины на величину $x$ из недеформированного состояния работа силы упругости равна $A_{упр} = -\frac{kx^2}{2}$.

5. Чему равна работа силы упругости при растяжении пружины на величину $\Delta x = x_2 - x_1$?

5. Чему равна работа силы упругости при растяжении пружины на величину Δx = x₂ - x₁?

Работа, совершаемая переменной силой, вычисляется как интеграл от этой силы по перемещению. Сила упругости, согласно закону Гука, является переменной силой, так как она зависит от величины деформации пружины $x$.

Закон Гука: $F_{упр} = -kx$, где $k$ — жесткость пружины, а $x$ — её удлинение (или сжатие) относительно положения равновесия. Знак «минус» указывает на то, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную деформации (т. е. к положению равновесия).

Работа силы упругости $A_{упр}$ при перемещении конца пружины из положения с координатой $x_1$ в положение с координатой $x_2$ вычисляется по формуле:

$A_{упр} = \int_{x_1}^{x_2} F_{упр}(x) dx$

Подставим выражение для силы упругости:

$A_{упр} = \int_{x_1}^{x_2} (-kx) dx = -k \int_{x_1}^{x_2} x dx$

Вычислим определенный интеграл:

$A_{упр} = -k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x_1}^{x_2} = -k \left( \frac{x_2^2}{2} - \frac{x_1^2}{2} \right) = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

Величина $E_p = \frac{kx^2}{2}$ является потенциальной энергией упруго деформированной пружины. Таким образом, работу силы упругости можно выразить через изменение потенциальной энергии пружины:

$A_{упр} = E_{p1} - E_{p2} = -(E_{p2} - E_{p1}) = -\Delta E_p$

Это означает, что работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии пружины, взятому с противоположным знаком. Это свойство характерно для консервативных сил, к которым относится и сила упругости.

Ответ: Работа силы упругости при растяжении пружины из состояния с деформацией $x_1$ в состояние с деформацией $x_2$ равна $A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$, где $k$ — жесткость пружины. Эта работа равна убыли потенциальной энергии пружины.

6*. Покажите на конкретных примерах.

Пример 1: Растяжение пружины из положения равновесия.

Пусть пружину жесткостью 200 Н/м растягивают из недеформированного состояния на 10 см.

Дано:

$k = 200$ Н/м

$x_1 = 0$ м

$x_2 = 10$ см

$x_2 = 0.1$ м

Найти:

$A_{упр}$ — ?

Решение:

Воспользуемся формулой работы силы упругости: $A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$.

Подставим числовые значения:

$A_{упр} = \frac{200 \cdot 0^2}{2} - \frac{200 \cdot (0.1)^2}{2} = 0 - \frac{200 \cdot 0.01}{2} = -1$ Дж.

Работа отрицательна, так как сила упругости направлена к положению равновесия, а перемещение происходит от положения равновесия.

Ответ: $A_{упр} = -1$ Дж.

Пример 2: Дополнительное растяжение уже растянутой пружины.

Пусть пружину жесткостью 100 Н/м, уже растянутую на 5 см, растягивают дополнительно до 15 см.

Дано:

$k = 100$ Н/м

$x_1 = 5$ см

$x_2 = 15$ см

$x_1 = 0.05$ м

$x_2 = 0.15$ м

Найти:

$A_{упр}$ — ?

Решение:

Используем ту же формулу: $A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$.

Подставим значения:

$A_{упр} = \frac{100 \cdot (0.05)^2}{2} - \frac{100 \cdot (0.15)^2}{2} = \frac{100 \cdot 0.0025}{2} - \frac{100 \cdot 0.0225}{2}$

$A_{упр} = \frac{0.25}{2} - \frac{2.25}{2} = 0.125 - 1.125 = -1$ Дж.

Работа снова отрицательна, так как пружину продолжают растягивать (удалять от положения равновесия), а сила упругости этому препятствует.

Ответ: $A_{упр} = -1$ Дж.

Пример 3: Возвращение сжатой пружины к положению равновесия.

Пусть сжатую на 20 см пружину жесткостью 50 Н/м отпускают, и она возвращается в положение равновесия.

Дано:

$k = 50$ Н/м

$x_1 = -20$ см (сжатие)

$x_2 = 0$ м

$x_1 = -0.2$ м

Найти:

$A_{упр}$ — ?

Решение:

Формула остается прежней: $A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$.

Подставим значения:

$A_{упр} = \frac{50 \cdot (-0.2)^2}{2} - \frac{50 \cdot 0^2}{2} = \frac{50 \cdot 0.04}{2} - 0 = \frac{2}{2} = 1$ Дж.

Работа положительна, так как направление силы упругости (от точки сжатия к положению равновесия) совпадает с направлением перемещения конца пружины.

Ответ: $A_{упр} = 1$ Дж.

6*. Покажите на конкретных примерах, что работа силы зависит от выбора системы отсчёта.

Работа силы $\vec{F}$ определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения $\Delta\vec{r}$ точки ее приложения: $A = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r}$. Согласно принципу относительности Галилея, при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой, движущейся относительно первой с постоянной скоростью $\vec{v}$, сила, действующая на тело, не изменяется ($\vec{F'} = \vec{F}$). Однако перемещение тела является относительной величиной и зависит от выбора системы отсчета.

Пусть $\Delta\vec{r}$ — перемещение тела за время $\Delta t$ в условно "неподвижной" ИСО S, а $\Delta\vec{r'}$ — перемещение того же тела за то же время в ИСО S', которая движется со скоростью $\vec{v}$ относительно S. Связь между перемещениями дается преобразованиями Галилея: $\Delta\vec{r} = \Delta\vec{r'} + \vec{v}\Delta t$.

Тогда работа силы в системе отсчета S выражается через работу в системе S' следующим образом: $A = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r} = \vec{F} \cdot (\Delta\vec{r'} + \vec{v}\Delta t) = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r'} + \vec{F} \cdot \vec{v}\Delta t$.

Поскольку работа в движущейся системе S' равна $A' = \vec{F'} \cdot \Delta\vec{r'} = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r'}$, получаем соотношение: $A = A' + (\vec{F} \cdot \vec{v})\Delta t$.

Из этой формулы видно, что работа $A$ в общем случае не равна работе $A'$ (если только скалярное произведение $\vec{F} \cdot \vec{v}$ не равно нулю). Следовательно, работа силы зависит от выбора системы отсчета. Проиллюстрируем это на конкретных примерах.

Пример 1. Толкание ящика в движущемся поезде

Рассмотрим ситуацию: поезд движется равномерно и прямолинейно со скоростью $v$ относительно земли. В вагоне поезда человек толкает ящик с постоянной силой $F$ в направлении движения поезда, в результате чего ящик перемещается на расстояние $s$ относительно пола вагона.

• В системе отсчета, связанной с вагоном (ИСО'):

  Перемещение ящика составляет $\Delta x' = s$. Сила, приложенная к ящику, равна $F$. Работа, совершаемая человеком в этой системе отсчета, равна: $A' = F \cdot \Delta x' = Fs$

• В системе отсчета, связанной с землей (ИСО):

  Пусть перемещение ящика в вагоне заняло время $\Delta t$. За это время сам поезд переместился относительно земли на расстояние $\Delta x_{поезда} = v \Delta t$. Полное перемещение ящика относительно земли является суммой перемещения поезда и перемещения ящика внутри вагона: $\Delta x = \Delta x_{поезда} + s = v \Delta t + s$. Сила, действующая на ящик, остается той же, $F$. Работа, совершаемая человеком в этой системе отсчета, будет: $A = F \cdot \Delta x = F(v \Delta t + s) = Fs + Fv\Delta t$

Сравнивая результаты, $A' = Fs$ и $A = Fs + Fv\Delta t$, мы видим, что $A \ne A'$ (в данном случае $A > A'$). Таким образом, работа одной и той же силы различна в разных инерциальных системах отсчета.

Пример 2. Подъем груза в лифте

Рассмотрим другую ситуацию: человек находится в лифте, который движется вверх с постоянной скоростью $v$. Человек поднимает груз массой $m$ на высоту $h$ относительно пола лифта. Будем считать, что подъем происходит медленно, поэтому сила, которую прикладывает человек, по модулю равна силе тяжести, $F = mg$.

• В системе отсчета, связанной с лифтом (ИСО'):

  Эта система отсчета является инерциальной, так как лифт движется с постоянной скоростью. Перемещение груза относительно лифта равно $\Delta y' = h$. Работа, совершаемая человеком: $A'_ч = F \cdot \Delta y' = mgh$. Работа, совершаемая силой тяжести ($F_т = -mg$): $A'_т = -mg \cdot \Delta y' = -mgh$.

• В системе отсчета, связанной с землей (ИСО):

  Пусть подъем груза на высоту $h$ в лифте занял время $\Delta t$. За это время лифт переместился вверх относительно земли на расстояние $\Delta y_{лифта} = v\Delta t$. Полное перемещение груза относительно земли составит: $\Delta y = h + \Delta y_{лифта} = h + v\Delta t$. Работа, совершаемая человеком в этой системе отсчета: $A_ч = F \cdot \Delta y = mg(h + v\Delta t) = mgh + mgv\Delta t$. Работа, совершаемая силой тяжести в этой системе отсчета: $A_т = -mg \cdot \Delta y = -mg(h + v\Delta t) = -mgh - mgv\Delta t$.

Сравнивая работы в двух системах отсчета, мы видим, что работа как силы, приложенной человеком ($A_ч \ne A'_ч$), так и силы тяжести ($A_т \ne A'_т$), зависит от выбора системы отсчета.

Ответ: Работа силы является относительной величиной, то есть ее значение зависит от выбора инерциальной системы отсчета. Это является прямым следствием того, что перемещение тела, входящее в определение работы ($A = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r}$), зависит от системы отсчета, в то время как сила в рамках классической механики считается инвариантной при переходе между инерциальными системами отсчета. Как показано на примерах с движущимся поездом и лифтом, численное значение работы, совершаемой одной и той же силой над одним и тем же телом в ходе одного и того же процесса, будет различным для наблюдателей в разных инерциальных системах отсчета.

Перемещая груз с помощью неподвижного блока, человек выполняет работу, хотя иногда прилагает силу перпендикулярно направлению движения груза. Объясните кажущееся противоречие.

Кажущееся противоречие возникает из-за неверного соотнесения силы, приложенной человеком, и перемещения самого груза. Чтобы правильно проанализировать ситуацию, необходимо обратиться к определению механической работы.

Механическая работа $A$ совершается, когда под действием силы $F$ тело совершает перемещение $s$. Величина работы вычисляется по формуле: $A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$ где $\alpha$ — это угол между вектором силы и вектором перемещения. Из формулы следует, что если сила перпендикулярна перемещению, то угол $\alpha = 90^\circ$, и, поскольку $\cos(90^\circ) = 0$, работа такой силы равна нулю.

В случае с неподвижным блоком ключевым моментом является то, что человек прикладывает силу не к грузу напрямую, а к веревке. Работа, совершаемая человеком, определяется силой, которую он прикладывает к веревке, и перемещением точки приложения этой силы (то есть того участка веревки, который он тянет).

Когда человек тянет за веревку, его рука, удерживающая веревку, перемещается. Направление силы, с которой он тянет, и направление перемещения этого участка веревки совпадают. Таким образом, угол $\alpha$ между силой человека и перемещением точки ее приложения равен $0^\circ$, и человек совершает положительную работу $A > 0$.

Роль неподвижного блока в этой системе — изменение направления действия силы. Блок позволяет, например, тянуть веревку вниз или в сторону, чтобы поднять груз вертикально вверх. Сила, приложенная человеком к одному концу веревки, через нее передается к грузу на другом конце. Именно поэтому направление движения груза может быть перпендикулярно направлению силы, прикладываемой человеком. Однако для расчета работы человека важна не траектория груза, а перемещение того объекта, к которому он непосредственно прикладывает силу — веревки.

Таким образом, противоречие разрешается: работа совершается, потому что сила, приложенная человеком, и перемещение точки приложения этой силы сонаправлены.

Ответ: Противоречие является кажущимся, так как для вычисления работы, совершаемой человеком, нужно рассматривать силу, которую он прикладывает к веревке, и перемещение точки приложения этой силы (участка веревки в его руках), а не перемещение груза. Направление силы человека и перемещение тянущегося им конца веревки совпадают, поэтому работа совершается. Неподвижный блок лишь изменяет направление силы, передавая ее от человека к грузу.

1. Сплавщик передвигает багром бревно, прилагая к багру силу 20 Н. Какую работу совершит сплавщик, переместив бревно на 3 м, если угол между направлением силы и перемещения 45°.

Дано:

Сила, $F = 20$ Н

Перемещение, $s = 3$ м

Угол, $\alpha = 45^\circ$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Работу $A$

Решение:

Механическая работа, совершаемая постоянной силой, вычисляется по формуле:

$A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$

где $A$ — работа, $F$ — модуль приложенной силы, $s$ — модуль перемещения тела, а $\alpha$ — угол между направлением действия силы и направлением перемещения.

Подставим известные значения в формулу. Значение косинуса угла $45^\circ$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$A = 20 \text{ Н} \cdot 3 \text{ м} \cdot \cos(45^\circ) = 60 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ Дж}$

$A = 30\sqrt{2} \text{ Дж}$

Для получения численного значения используем приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1,414$:

$A \approx 30 \cdot 1,414 = 42,42 \text{ Дж}$

Округлив результат до десятых, получаем итоговый ответ.

Ответ: $30\sqrt{2} \text{ Дж} \approx 42,4 \text{ Дж}$.

2. Вычислите работу, которую совершила лошадь, везущая сани массой 300 кг на расстояние 3 км. Коэффициент трения металла о снег равен 0,02. Движение считать равномерным.

Дано:

Масса саней, $m = 300$ кг

Расстояние, $s_{_0} = 3$ км

Коэффициент трения, $\mu = 0,02$

Движение равномерное, $v = \text{const}$, $a = 0$ м/с$^2$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Перевод в систему СИ:

$s = 3 \text{ км} = 3 \cdot 1000 \text{ м} = 3000$ м

Найти:

Работу, совершенную лошадью, $A$ — ?

Решение:

Работа, совершаемая силой, определяется по формуле: $A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$ где $F$ – сила, совершающая работу (в данном случае – сила тяги лошади $F_{тяги}$), $s$ – пройденное расстояние, а $\alpha$ – угол между вектором силы и вектором перемещения.

Так как лошадь везет сани по горизонтальной поверхности, сила тяги направлена по ходу движения. Следовательно, угол $\alpha$ равен нулю, а $\cos(0^\circ) = 1$. Формула для работы принимает вид: $A = F_{тяги} \cdot s$

Согласно условию, движение саней является равномерным. По первому закону Ньютона, это означает, что равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю. В горизонтальном направлении на сани действуют две силы: сила тяги лошади $F_{тяги}$ и сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная в противоположную движению сторону. Условие равновесия сил в проекции на горизонтальную ось: $F_{тяги} - F_{тр} = 0$ Отсюда следует, что сила тяги по модулю равна силе трения: $F_{тяги} = F_{тр}$

Сила трения скольжения вычисляется по формуле: $F_{тр} = \mu \cdot N$ где $\mu$ – коэффициент трения, а $N$ – сила нормальной реакции опоры.

В вертикальном направлении на сани действуют сила тяжести $F_g = mg$ (направлена вниз) и сила нормальной реакции опоры $N$ (направлена вверх). Так как сани не движутся по вертикали, эти силы уравновешивают друг друга: $N = F_g = mg$

Подставим выражение для $N$ в формулу для силы трения: $F_{тр} = \mu \cdot mg$

Теперь мы можем рассчитать величину силы трения и, следовательно, силы тяги: $F_{тяги} = 0,02 \cdot 300 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 6 \cdot 9,8 \text{ Н} = 58,8$ Н

Наконец, вычислим работу, которую совершила лошадь, подставив найденное значение силы тяги в формулу для работы: $A = F_{тяги} \cdot s = 58,8 \text{ Н} \cdot 3000 \text{ м} = 176400$ Дж

Работу можно выразить в килоджоулях (кДж), зная, что 1 кДж = 1000 Дж: $A = 176400 \text{ Дж} = 176,4$ кДж

Ответ: работа, которую совершила лошадь, равна $176400$ Дж (или $176,4$ кДж).

3. Мальчик растягивает пружину на 5 см и совершает при этом работу 1,25 Дж. Определите жёсткость пружины.

Дано:

Растяжение пружины $x = 5$ см

Работа $A = 1,25$ Дж

Перевод в систему СИ:

$x = 5 \text{ см} = 0,05 \text{ м}$

Найти:

Жёсткость пружины $k$ — ?

Решение:

Работа, совершаемая при растяжении пружины, равна потенциальной энергии, которую приобретает пружина. Потенциальная энергия упруго деформированной (растянутой или сжатой) пружины определяется по формуле:

$A = E_п = \frac{kx^2}{2}$

где $A$ — работа (и равная ей потенциальная энергия), $k$ — жёсткость пружины, а $x$ — её удлинение.

Чтобы найти жёсткость пружины $k$, выразим её из данной формулы:

$2A = kx^2$

$k = \frac{2A}{x^2}$

Теперь подставим данные из условия задачи в полученную формулу, предварительно переведя все величины в систему СИ:

$k = \frac{2 \cdot 1,25 \text{ Дж}}{(0,05 \text{ м})^2} = \frac{2,5 \text{ Дж}}{0,0025 \text{ м}^2} = 1000 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Ответ: жёсткость пружины равна $1000$ Н/м.