Страница 40 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Вода в реке движется со скоростью $2 \text{ м/с}$ относительно берега. По реке плывёт плот. Какова скорость плота относительно берега; относительно воды в реке?

Дано:

Скорость воды относительно берега: $v_{в/б} = 2$ м/с.

Найти:

Скорость плота относительно берега ($v_{п/б}$) и скорость плота относительно воды в реке ($v_{п/в}$).

Решение:

Эта задача на относительность движения. Для её решения мы будем использовать закон сложения скоростей. Абсолютная скорость тела (в данном случае, скорость плота относительно неподвижного берега) равна векторной сумме его относительной скорости (скорость плота относительно подвижной системы отсчета - воды) и переносной скорости (скорость самой подвижной системы отсчета, т.е. воды, относительно неподвижной системы - берега).

В виде формулы это записывается так: $ \vec{v}_{абс} = \vec{v}_{отн} + \vec{v}_{пер} $.

Применительно к нашей задаче:

$ \vec{v}_{п/б} = \vec{v}_{п/в} + \vec{v}_{в/б} $

где $ \vec{v}_{п/б} $ — скорость плота относительно берега, $ \vec{v}_{п/в} $ — скорость плота относительно воды, а $ \vec{v}_{в/б} $ — скорость воды относительно берега.

Какова скорость плота относительно берега

Плот по определению является объектом, который не имеет собственных средств для передвижения по воде (как, например, мотор или весла). Он просто плывет по течению. Это означает, что плот не движется относительно воды, в которой он находится. Таким образом, его скорость относительно воды равна нулю: $ v_{п/в} = 0 $.

Подставим это значение в нашу формулу сложения скоростей. Так как все движение происходит вдоль одного направления (по течению реки), мы можем перейти от векторов к их модулям (скалярам).

$ v_{п/б} = v_{п/в} + v_{в/б} = 0 \text{ м/с} + 2 \text{ м/с} = 2 \text{ м/с} $.

Это означает, что для наблюдателя, стоящего на берегу, плот будет двигаться с той же скоростью, что и вода в реке.

Ответ: 2 м/с.

Какова скорость плота относительно воды в реке

Как мы уже установили при решении первой части вопроса, плот пассивно движется вместе с водой. Он не обгоняет воду и не отстает от нее. Если представить себе, что мы находимся в воде рядом с плотом, то плот будет оставаться на одном и том же месте относительно нас. Следовательно, скорость плота относительно воды равна нулю.

$ v_{п/в} = 0 $ м/с.

Ответ: 0 м/с.

2. Пароход идёт от Нижнего Новгорода до Астрахани 5 сут, а обратно 7 сут. Сколько времени плывут по течению плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?

Дано:

$t_1 = 5$ сут (время движения парохода по течению)

$t_2 = 7$ сут (время движения парохода против течения)

Найти:

$t_{плотов}$ — время движения плотов

Решение:

Пусть $S$ – расстояние от Нижнего Новгорода до Астрахани, $v_п$ – собственная скорость парохода (в стоячей воде), а $v_т$ – скорость течения реки.

Движение из Нижнего Новгорода в Астрахань происходит по течению, так как на этот путь затрачивается меньше времени. Скорость парохода при движении по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения:$v_{по} = v_п + v_т$.

Расстояние, пройденное за время $t_1$, равно:$S = (v_п + v_т) \cdot t_1$

Обратный путь из Астрахани в Нижний Новгород пароход совершает против течения. Его скорость при этом равна разности собственной скорости и скорости течения:$v_{против} = v_п - v_т$.

Расстояние, пройденное за время $t_2$, равно:$S = (v_п - v_т) \cdot t_2$

Плоты не имеют собственного двигателя, поэтому они движутся со скоростью течения реки, то есть их скорость равна $v_т$. Время, которое потребуется плотам, чтобы преодолеть расстояние $S$, можно найти по формуле:$t_{плотов} = \frac{S}{v_т}$

Для нахождения $t_{плотов}$ нам необходимо выразить скорость течения $v_т$ через известные величины. Составим систему уравнений, выразив скорости из формул для расстояния:

$v_п + v_т = \frac{S}{t_1}$

$v_п - v_т = \frac{S}{t_2}$

Чтобы найти $v_т$, вычтем второе уравнение из первого:

$(v_п + v_т) - (v_п - v_т) = \frac{S}{t_1} - \frac{S}{t_2}$

$2v_т = S \cdot \left(\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2}\right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$2v_т = S \cdot \frac{t_2 - t_1}{t_1 t_2}$

Нам нужно найти $t_{плотов} = \frac{S}{v_т}$. Преобразуем полученное уравнение, чтобы получить это отношение:

$\frac{S}{v_т} = \frac{2 t_1 t_2}{t_2 - t_1}$

Таким образом, формула для расчета времени движения плотов:

$t_{плотов} = \frac{2 t_1 t_2}{t_2 - t_1}$

Теперь подставим числовые значения $t_1 = 5$ сут и $t_2 = 7$ сут в полученную формулу:

$t_{плотов} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 7}{7 - 5} = \frac{70}{2} = 35$ (сут)

Ответ: плоты будут плыть от Нижнего Новгорода до Астрахани 35 суток.

3. В тихую безветренную погоду Дракон пролетает от своего логова до места охоты за 3 ч 40 мин со скоростью $7,5 \text{ м/с}$. Сколько времени потребуется Дракону на обратный путь, если подует встречный ветер со скоростью $150 \text{ м/мин}$?

Дано:

Время в пути до места охоты, $t_1 = 3 \text{ ч } 40 \text{ мин}$

Скорость Дракона в безветренную погоду, $v_Д = 7,5 \text{ м/с}$

Скорость встречного ветра, $v_В = 150 \text{ м/мин}$

Переведем все величины в систему СИ (метры и секунды):

$t_1 = 3 \text{ ч } \cdot 3600 \frac{\text{с}}{\text{ч}} + 40 \text{ мин } \cdot 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 10800 \text{ с} + 2400 \text{ с} = 13200 \text{ с}$

$v_Д = 7,5 \text{ м/с}$ (уже в СИ)

$v_В = 150 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = \frac{150 \text{ м}}{60 \text{ с}} = 2,5 \text{ м/с}$

Найти:

Время на обратный путь, $t_2$

Решение:

1. Сначала найдем расстояние $S$ от логова до места охоты. В безветренную погоду Дракон летит с постоянной скоростью $v_Д$ в течение времени $t_1$. Расстояние вычисляется по формуле:

$S = v_Д \cdot t_1$

$S = 7,5 \text{ м/с} \cdot 13200 \text{ с} = 99000 \text{ м}$

2. Теперь определим скорость Дракона на обратном пути. На обратном пути дует встречный ветер, который замедляет Дракона. Результирующая скорость Дракона относительно земли $v_{обр}$ будет равна разности его собственной скорости и скорости ветра:

$v_{обр} = v_Д - v_В$

$v_{обр} = 7,5 \text{ м/с} - 2,5 \text{ м/с} = 5 \text{ м/с}$

3. Зная расстояние $S$ (которое не изменилось) и результирующую скорость на обратном пути $v_{обр}$, найдем время $t_2$, которое потребуется Дракону, чтобы вернуться в логово:

$t_2 = \frac{S}{v_{обр}}$

$t_2 = \frac{99000 \text{ м}}{5 \text{ м/с}} = 19800 \text{ с}$

4. Переведем полученное время из секунд в более привычный формат: часы и минуты.

Сначала в минуты: $19800 \text{ с} = \frac{19800}{60} \text{ мин} = 330 \text{ мин}$

Затем в часы и минуты: $330 \text{ мин} = 5 \cdot 60 \text{ мин} + 30 \text{ мин} = 5 \text{ часов } 30 \text{ минут}$

Ответ: на обратный путь Дракону потребуется 5 часов 30 минут.

4. Благодаря суточному вращению Земли человек, сидящий на стуле в своём доме в Москве, движется относительно земной оси со скоростью примерно $900 \text{ км/ч}$. Сравните эту скорость с начальной скоростью пули относительно пистолета, которая равна $250 \text{ м/с}$.

Дано:

Скорость человека в Москве относительно земной оси $v_ч = 900$ км/ч.

Начальная скорость пули относительно пистолета $v_п = 250$ м/с.

Перевод скорости человека в систему СИ (метры в секунду):

$v_ч = 900 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 900 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{900000}{3600} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 250 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Найти:

Сравнить скорости $v_ч$ и $v_п$.

Решение:

Для того чтобы сравнить две величины, они должны быть выражены в одинаковых единицах измерения. Скорость человека дана в км/ч, а скорость пули — в м/с. Мы уже перевели скорость человека в систему СИ.

Теперь сравним скорости:

Скорость человека: $v_ч = 250$ м/с.

Скорость пули: $v_п = 250$ м/с.

Поскольку числовые значения скоростей, выраженных в одних и тех же единицах (м/с), равны, то и сами скорости равны:

$v_ч = v_п$.

Ответ: скорость человека, сидящего на стуле в Москве, из-за суточного вращения Земли (примерно 900 км/ч) равна начальной скорости пули относительно пистолета (250 м/с).

5. Торпедный катер идёт вдоль шестидесятой параллели южной широты со скоростью 90 км/ч по отношению к суше. Скорость суточного вращения Земли на этой широте равна 223 м/с. Чему равна (в СИ) и куда направлена скорость катера относительно земной оси, если он движется на восток; на запад?

Скорость катера относительно суши: $v_{кл} = 90 \text{ км/ч}$

Скорость вращения Земли на 60-й параллели: $v_{З} = 223 \text{ м/с}$

Переведем скорость катера в систему СИ:

$v_{кл} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25 \text{ м/с}$

Скорость катера относительно земной оси ($v_{ка}$) и её направление для двух случаев: движение на восток и на запад.

Скорость катера относительно земной оси (абсолютная скорость) является векторной суммой его скорости относительно суши (относительная скорость) и скорости вращения точки на поверхности Земли (переносная скорость). $$ \vec{v}_{ка} = \vec{v}_{кл} + \vec{v}_{З} $$ Земля вращается с запада на восток, следовательно, вектор скорости вращения $ \vec{v}_{З} $ направлен на восток.

движется на восток

Когда катер движется на восток, его скорость относительно суши $ \vec{v}_{кл} $ направлена в ту же сторону, что и скорость вращения Земли $ \vec{v}_{З} $. Так как векторы скоростей сонаправлены, их модули складываются для нахождения модуля результирующей скорости. $$ v_{ка_{восток}} = v_{З} + v_{кл} = 223 \text{ м/с} + 25 \text{ м/с} = 248 \text{ м/с} $$ Направление результирующей скорости совпадает с направлением исходных скоростей, то есть на восток.

Ответ: скорость катера равна 248 м/с и направлена на восток.

на запад

Когда катер движется на запад, его скорость относительно суши $ \vec{v}_{кл} $ направлена в сторону, противоположную скорости вращения Земли $ \vec{v}_{З} $. Векторы скоростей антипараллельны. Модуль результирующей скорости будет равен разности модулей этих скоростей. $$ v_{ка_{запад}} = v_{З} - v_{кл} = 223 \text{ м/с} - 25 \text{ м/с} = 198 \text{ м/с} $$ Так как модуль скорости вращения Земли больше модуля скорости катера ($v_{З} > v_{кл}$), результирующий вектор скорости будет направлен в сторону большего вектора, то есть на восток.

Ответ: скорость катера равна 198 м/с и направлена на восток.