Страница 34 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. По каким формулам рассчитываются проекция и модуль вектора перемещения тела при его равноускоренном движении из состояния покоя?

1. Равноускоренное движение тела из состояния покоя характеризуется нулевой начальной скоростью ($v_0 = 0$) и постоянным ускорением ($a = \text{const}$).

Проекция вектора перемещения на координатную ось, например, на ось Ox, рассчитывается по формуле, которая является частным случаем общего уравнения для равноускоренного движения $s_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$. Поскольку движение начинается из состояния покоя, начальная скорость $v_{0x} = 0$, и формула принимает вид:

$s_x = \frac{a_x t^2}{2}$

Здесь $s_x$ — это проекция перемещения на ось Ox, $a_x$ — проекция ускорения на эту же ось, а $t$ — время движения.

Модуль вектора перемещения $s = |\vec{s}|$ при прямолинейном равноускоренном движении из состояния покоя рассчитывается по аналогичной формуле. Так как тело движется из состояния покоя с постоянным ускорением, его движение происходит по прямой в одном направлении. В этом случае модуль перемещения равен пройденному пути и вычисляется как:

$s = \frac{at^2}{2}$

где $s$ — модуль перемещения, $a$ — модуль ускорения, $t$ — время движения.

Также существуют формулы, связывающие перемещение с конечной скоростью $v$. Для проекции перемещения: $s_x = \frac{v_x^2}{2a_x}$. Для модуля перемещения: $s = \frac{v^2}{2a}$.

Ответ: Проекция вектора перемещения рассчитывается по формуле $s_x = \frac{a_x t^2}{2}$, а модуль вектора перемещения — по формуле $s = \frac{at^2}{2}$.

2. Дано:

Движение равноускоренное, $a = \text{const}$.

Движение из состояния покоя, $v_0 = 0$.

Отношение времен движения: $\frac{t_2}{t_1} = 3$.

Найти:

Отношение модулей перемещения: $\frac{s_2}{s_1}$ — ?

Решение:

Модуль вектора перемещения при равноускоренном движении из состояния покоя определяется формулой, указанной в первом пункте:

$s = \frac{at^2}{2}$

Запишем данное выражение для двух промежутков времени: $t_1$ и $t_2$.

Модуль перемещения за время $t_1$ равен:

$s_1 = \frac{at_1^2}{2}$

Модуль перемещения за время $t_2$ равен:

$s_2 = \frac{at_2^2}{2}$

Чтобы определить, во сколько раз увеличился модуль перемещения, составим их отношение:

$\frac{s_2}{s_1} = \frac{\frac{at_2^2}{2}}{\frac{at_1^2}{2}}$

Ускорение $a$ и множитель $\frac{1}{2}$ сокращаются:

$\frac{s_2}{s_1} = \frac{t_2^2}{t_1^2} = (\frac{t_2}{t_1})^2$

Согласно условию, время движения увеличилось в 3 раза, то есть $\frac{t_2}{t_1} = 3$. Подставим это значение в полученное отношение:

$\frac{s_2}{s_1} = (3)^2 = 9$

Следовательно, при увеличении времени движения в 3 раза модуль вектора перемещения увеличивается в 9 раз.

Ответ: Модуль вектора перемещения тела увеличится в 9 раз.

2. Во сколько раз увеличится модуль вектора перемещения тела при увеличении времени его движения из состояния покоя в $n$ раз?

2. Дано:

Движение из состояния покоя, следовательно, начальная скорость $v_0 = 0$

Движение равноускоренное, ускорение $a = \text{const}$

Начальное время движения: $t_1$

Новое время движения: $t_2 = n \cdot t_1$

Найти:

Во сколько раз увеличится модуль вектора перемещения, то есть найти отношение $\frac{s_2}{s_1}$.

Решение:

Модуль вектора перемещения $s$ при равноускоренном прямолинейном движении определяется формулой: $s = v_0t + \frac{at^2}{2}$

Так как по условию задачи тело начинает движение из состояния покоя, его начальная скорость $v_0 = 0$. Подставив это значение в формулу, получаем: $s = 0 \cdot t + \frac{at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$

Это означает, что модуль перемещения прямо пропорционален квадрату времени движения.

Запишем выражение для модуля перемещения $s_1$ за первоначальное время $t_1$: $s_1 = \frac{at_1^2}{2}$

Теперь запишем выражение для модуля перемещения $s_2$ за новое время $t_2$, которое в $n$ раз больше $t_1$: $t_2 = n \cdot t_1$ $s_2 = \frac{at_2^2}{2} = \frac{a(n \cdot t_1)^2}{2} = \frac{a n^2 t_1^2}{2}$

Чтобы найти, во сколько раз увеличился модуль перемещения, найдем отношение $s_2$ к $s_1$: $\frac{s_2}{s_1} = \frac{\frac{a n^2 t_1^2}{2}}{\frac{a t_1^2}{2}}$

Сокращаем в числителе и знаменателе одинаковые множители ($a$, $t_1^2$ и $2$): $\frac{s_2}{s_1} = n^2$

Таким образом, при увеличении времени движения в $n$ раз, модуль вектора перемещения увеличивается в $n^2$ раз.

Ответ: модуль вектора перемещения тела увеличится в $n^2$ раз.

3. Запишите, как относятся друг к другу модули векторов перемещений тела, движущегося равноускоренно из состояния покоя, при увеличении времени его движения в целое число раз по сравнению с $t_1$.

Дано:

Движение тела: равноускоренное

Начальная скорость: $v_0 = 0$ (из состояния покоя)

Начальное время движения: $t_1$

Модуль вектора перемещения за время $t_1$: $s_1$

Новое время движения: $t_2 = n \cdot t_1$, где $n$ - целое число ($n \in \mathbb{Z}, n \ge 1$)

Модуль вектора перемещения за время $t_2$: $s_2$

Найти:

Отношение модулей векторов перемещения $\frac{s_2}{s_1}$.

Решение:

Вектор перемещения $\vec{s}$ при равноускоренном движении определяется по формуле: $$ \vec{s} = \vec{v_0}t + \frac{\vec{a}t^2}{2} $$ где $\vec{v_0}$ - начальная скорость, $\vec{a}$ - ускорение, $t$ - время движения.

По условию задачи, тело начинает движение из состояния покоя, следовательно, его начальная скорость $\vec{v_0} = \vec{0}$. Формула для перемещения упрощается: $$ \vec{s} = \frac{\vec{a}t^2}{2} $$

Модуль вектора перемещения $s = |\vec{s}|$ (в данном случае равен пройденному пути, так как направление движения не меняется) равен: $$ s = \frac{at^2}{2} $$ где $a = |\vec{a}|$ - модуль ускорения.

Запишем модуль перемещения для начального времени $t_1$: $$ s_1 = \frac{at_1^2}{2} $$

Теперь рассмотрим случай, когда время движения увеличилось в $n$ раз, то есть новое время $t_2 = n \cdot t_1$. Модуль перемещения за это время будет равен: $$ s_2 = \frac{at_2^2}{2} = \frac{a(n \cdot t_1)^2}{2} = \frac{a \cdot n^2 \cdot t_1^2}{2} $$

Перегруппируем множители в выражении для $s_2$: $$ s_2 = n^2 \cdot \left(\frac{at_1^2}{2}\right) $$

Так как выражение в скобках равно $s_1$, получаем зависимость между $s_2$ и $s_1$: $$ s_2 = n^2 \cdot s_1 $$

Найдем искомое отношение, которое показывает, как относятся модули перемещений: $$ \frac{s_2}{s_1} = n^2 $$

Таким образом, при увеличении времени движения в целое число раз $n$, модуль вектора перемещения увеличивается в $n^2$ раз. Например, если время увеличить в 2 раза ($n=2$), перемещение увеличится в $2^2=4$ раза. Если время увеличить в 3 раза ($n=3$), перемещение увеличится в $3^2=9$ раз, и так далее.

Ответ: Модули векторов перемещения тела, движущегося равноускоренно из состояния покоя, относятся как квадраты времен движения. Если время движения увеличить в $n$ раз по сравнению с $t_1$, то модуль вектора перемещения увеличится в $n^2$ раз. Математически это выражается как $s_n = n^2 s_1$, где $s_1$ - перемещение за время $t_1$, а $s_n$ - перемещение за время $t_n = n \cdot t_1$.

4. Запишите, как относятся друг к другу модули векторов перемещений, совершаемых телом за последовательные равные промежутки времени, если это тело движется равноускоренно из состояния покоя.

Дано:

Движение равноускоренное, т.е. ускорение постоянно: $a = \text{const}$.

Тело движется из состояния покоя, т.е. начальная скорость равна нулю: $v_0 = 0$.

Рассматриваются последовательные равные промежутки времени. Обозначим длительность одного такого промежутка как $\Delta t$.

Найти:

Отношение модулей векторов перемещений за последовательные равные промежутки времени: $|\Delta \vec{r}_1| : |\Delta \vec{r}_2| : |\Delta \vec{r}_3| : \dots$

Решение:

Поскольку тело движется равноускоренно из состояния покоя, его движение является прямолинейным. В этом случае модуль вектора перемещения $|\Delta \vec{r}|$ равен пройденному пути $s$. Будем находить отношение путей, пройденных за последовательные равные промежутки времени $\Delta t$.

Общая формула для пути при равноускоренном движении без начальной скорости: $s(t) = \frac{at^2}{2}$

Рассчитаем путь, пройденный телом за первый, второй, третий и т.д. промежутки времени $\Delta t$.

1. Путь за первый промежуток времени (от $t_0=0$ до $t_1=\Delta t$): $s_1 = s(\Delta t) - s(0) = \frac{a(\Delta t)^2}{2} - 0 = \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

2. Путь за второй промежуток времени (от $t_1=\Delta t$ до $t_2=2\Delta t$): Этот путь равен разности путей, пройденных за время $2\Delta t$ и за время $\Delta t$. $s_2 = s(2\Delta t) - s(\Delta t) = \frac{a(2\Delta t)^2}{2} - \frac{a(\Delta t)^2}{2} = \frac{4a(\Delta t)^2}{2} - \frac{a(\Delta t)^2}{2} = 3 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

3. Путь за третий промежуток времени (от $t_2=2\Delta t$ до $t_3=3\Delta t$): $s_3 = s(3\Delta t) - s(2\Delta t) = \frac{a(3\Delta t)^2}{2} - \frac{a(2\Delta t)^2}{2} = \frac{9a(\Delta t)^2}{2} - \frac{4a(\Delta t)^2}{2} = 5 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

4. Путь за n-й промежуток времени (от $t_{n-1}=(n-1)\Delta t$ до $t_n=n\Delta t$): $s_n = s(n\Delta t) - s((n-1)\Delta t) = \frac{a(n\Delta t)^2}{2} - \frac{a((n-1)\Delta t)^2}{2}$

$s_n = \frac{a(\Delta t)^2}{2} (n^2 - (n-1)^2) = \frac{a(\Delta t)^2}{2} (n^2 - (n^2 - 2n + 1)) = \frac{a(\Delta t)^2}{2} (2n-1)$

Теперь найдем отношение модулей перемещений (путей): $s_1 : s_2 : s_3 : \dots : s_n = \left(1 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}\right) : \left(3 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}\right) : \left(5 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}\right) : \dots : \left((2n-1) \frac{a(\Delta t)^2}{2}\right)$

Сократив общий множитель $\frac{a(\Delta t)^2}{2}$, получаем искомое отношение.

Ответ: Модули векторов перемещений, совершаемых телом за последовательные равные промежутки времени при равноускоренном движении из состояния покоя, относятся как ряд последовательных нечетных чисел: $1 : 3 : 5 : 7 : \dots : (2n-1) : \dots$

5. С какой целью можно использовать закономерности (1) и (2)?

Поскольку в вопросе не уточняется, о каких именно закономерностях (1) и (2) идет речь, будем исходить из наиболее распространенного в курсе физики случая, когда под ними подразумеваются основные уравнения кинематики, описывающие прямолинейное равноускоренное движение:

1. Зависимость скорости от времени: $v(t) = v_0 + at$
2. Зависимость координаты от времени: $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$ (или уравнение для пути при $x_0=0$: $s(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$)

Основная цель использования этих закономерностей — полное количественное описание и анализ равноускоренного движения. Они являются фундаментальными инструментами для решения основной задачи механики, которая заключается в определении положения и скорости тела в любой момент времени.

Используя эти формулы совместно, можно:

• Прогнозировать состояние объекта. Зная начальные условия (начальную координату $x_0$ и начальную скорость $v_0$) и ускорение $a$, можно рассчитать положение $x$ и скорость $v$ тела в любой последующий момент времени $t$. Это позволяет предсказывать траекторию и характеристики движения.
• Решать практические задачи. Например, можно рассчитать тормозной путь автомобиля, высоту подъема брошенного вверх камня, время полета снаряда или скорость объекта при свободном падении. В этих случаях ускорение либо задано (например, при торможении), либо известно (ускорение свободного падения $g$).
• Анализировать сложные виды движения. Многие более сложные движения, например, движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на два более простых и независимых движения (равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали). Для анализа вертикальной составляющей как раз и применяются данные закономерности.

Таким образом, эти закономерности переводят качественное описание движения в точный математический аппарат, позволяющий проводить расчеты, делать прогнозы и понимать физическую суть явлений, связанных с движением тел с постоянным ускорением.

Ответ: Закономерности (1) и (2) используются для математического описания, анализа и прогнозирования параметров равноускоренного движения; для решения основной задачи механики (определения положения и скорости тела в любой момент времени); а также для проведения практических расчетов (например, тормозного пути, времени полета) и анализа сложных видов движения.

1. Отходящий от станции поезд в течение первых 20 с движется прямолинейно и равноускоренно. Известно, что за третью секунду от начала движения поезд прошёл 2 м. Определите модуль вектора перемещения, совершённого поездом за первую секунду, и модуль вектора ускорения, с которым он двигался.

Дано:

Движение: прямолинейное, равноускоренное

Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с (поезд отходит от станции)

Перемещение за третью секунду: $\Delta s_3 = 2$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

модуль вектора перемещения, совершённого поездом за первую секунду ($\Delta s_1$) - ?

модуль вектора ускорения, с которым он двигался ($a$) - ?

Решение:

Поскольку движение поезда прямолинейное и равноускоренное, а поезд отходит от станции, его начальная скорость $v_0 = 0$. Формула для перемещения при равноускоренном движении без начальной скорости имеет вид: $s(t) = \frac{at^2}{2}$ где $s(t)$ — перемещение за время $t$ от начала движения, $a$ — ускорение.

Перемещение за n-ую секунду можно найти как разность перемещений к концу n-ой секунды и к концу (n-1)-ой секунды: $\Delta s_n = s(n) - s(n-1)$

модуль вектора ускорения, с которым он двигался

Для нахождения перемещения за первую секунду сначала необходимо определить ускорение поезда. Используем для этого данные о перемещении за третью секунду. Третья секунда — это промежуток времени от $t_2=2$ с до $t_3=3$ с. Выразим перемещение за этот промежуток, используя общую формулу: $\Delta s_3 = s(3) - s(2) = \frac{a \cdot 3^2}{2} - \frac{a \cdot 2^2}{2} = \frac{9a}{2} - \frac{4a}{2} = \frac{5a}{2}$

По условию $\Delta s_3 = 2$ м. Подставим это значение в полученное выражение и найдем ускорение $a$: $\frac{5a}{2} = 2$

$5a = 4$

$a = \frac{4}{5} = 0.8$ м/с²

Ответ: модуль вектора ускорения, с которым двигался поезд, равен $0.8$ м/с².

модуль вектора перемещения, совершённого поездом за первую секунду

Теперь, зная ускорение, мы можем найти перемещение за первую секунду. Первая секунда — это промежуток времени от $t_0=0$ с до $t_1=1$ с. Перемещение за первую секунду равно общему перемещению за время $t=1$ с от начала движения. $\Delta s_1 = s(1) = \frac{a \cdot 1^2}{2} = \frac{a}{2}$

Подставим найденное значение ускорения $a = 0.8$ м/с²: $\Delta s_1 = \frac{0.8}{2} = 0.4$ м

Ответ: модуль вектора перемещения, совершённого поездом за первую секунду, равен $0.4$ м.

2. Шарик, скатываясь по наклонному жёлобу равноускоренно, за 5 с прошёл 75 см. Найдите ускорение шарика.

Дано:

Время движения $t = 5$ с

Пройденный путь $s_{исх} = 75$ см

Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с (поскольку шарик начинает скатываться из состояния покоя)

Перевод данных в систему СИ:

$s = 75 \text{ см} = 0.75 \text{ м}$

Найти:

Ускорение шарика $a$

Решение:

В задаче описано равноускоренное движение. Для расчета пути, пройденного телом при равноускоренном движении, используется кинематическая формула:

$s = v_0t + \frac{at^2}{2}$

Так как шарик начинает свое движение из состояния покоя, его начальная скорость $v_0$ равна нулю. Подставив $v_0 = 0$ в формулу, мы ее упрощаем:

$s = 0 \cdot t + \frac{at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$

Теперь из этой формулы необходимо выразить ускорение $a$. Для этого умножим обе части уравнения на 2 и разделим на $t^2$:

$2s = at^2$

$a = \frac{2s}{t^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи (в системе СИ) в полученную формулу и выполним расчет:

$a = \frac{2 \cdot 0.75 \text{ м}}{(5 \text{ с})^2} = \frac{1.5 \text{ м}}{25 \text{ с}^2} = 0.06 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение шарика равно $0.06 \text{ м/с}^2$.

3. Поезд метрополитена разгоняется с ускорением $1 \text{ м/с}^2$. Через какое время после отхода от станции скорость поезда достигнет предельной — $75 \text{ км/ч}$? Какой путь пройдёт поезд за это время?

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с (поезд отходит от станции)

Ускорение $a = 1$ м/с²

Конечная скорость $v = 75$ км/ч

Переведем конечную скорость в систему СИ (метры в секунду):

$v = 75 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 75 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{750}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{125}{6} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 20,83 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$t$ — время разгона

$S$ — пройденный путь

Решение:

Через какое время после отхода от станции скорость поезда достигнет предельной — 75 км/ч?

Движение поезда является равноускоренным. Поскольку поезд отходит от станции, его начальная скорость $v_0 = 0$. Для нахождения времени, за которое скорость поезда достигнет заданного значения, воспользуемся формулой скорости при равноускоренном движении:

$v = v_0 + at$

Так как $v_0 = 0$, формула упрощается:

$v = at$

Выразим из этой формулы время $t$:

$t = \frac{v}{a}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$t = \frac{\frac{125}{6} \text{ м/с}}{1 \text{ м/с²}} = \frac{125}{6} \text{ с} \approx 20,83 \text{ с}$

Ответ: время, через которое скорость поезда достигнет 75 км/ч, составляет $\frac{125}{6}$ с, что приблизительно равно 20,83 с.

Какой путь пройдёт поезд за это время?

Для нахождения пути, пройденного поездом за время разгона, можно использовать формулу пути при равноускоренном движении:

$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Учитывая, что $v_0 = 0$, формула принимает вид:

$S = \frac{at^2}{2}$

Подставим значения ускорения $a$ и найденного времени $t$:

$S = \frac{1 \text{ м/с²} \cdot (\frac{125}{6} \text{ с})^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{15625}{36} \text{ м} = \frac{15625}{72} \text{ м} \approx 217,01 \text{ м}$

Также для нахождения пути можно использовать другую формулу, не зависящую от времени, что удобно для проверки:

$S = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

Так как $v_0 = 0$:

$S = \frac{v^2}{2a}$

Подставим значения скорости $v$ и ускорения $a$:

$S = \frac{(\frac{125}{6} \text{ м/с})^2}{2 \cdot 1 \text{ м/с²}} = \frac{\frac{15625}{36} \text{ м²/с²}}{2 \text{ м/с²}} = \frac{15625}{72} \text{ м} \approx 217,01 \text{ м}$

Результаты совпадают, что подтверждает правильность вычислений.

Ответ: за это время поезд пройдет путь, равный $\frac{15625}{72}$ м, что приблизительно составляет 217,01 м.

4*. Автомобиль, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, за пятую секунду разгона проходит 6,3 м. Какую скорость развил автомобиль к концу пятой секунды от начала движения?

Дано:

$v_0 = 0$ м/с (автомобиль начинает движение из состояния покоя)

$\Delta S_5 = 6.3$ м (путь, пройденный за пятую секунду движения)

$t = 5$ с (момент времени, для которого нужно найти скорость)

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$v_5$ — скорость автомобиля к концу пятой секунды.

Решение:

Движение автомобиля является равноускоренным, а его начальная скорость равна нулю. Путь, пройденный телом при равноускоренном движении из состояния покоя, описывается формулой: $S(t) = \frac{at^2}{2}$, где $a$ — ускорение, $t$ — время движения.

Путь, пройденный за пятую секунду ($\Delta S_5$), представляет собой разность между путем, пройденным за полные 5 секунд ($S_5$), и путем, пройденным за 4 секунды ($S_4$): $\Delta S_5 = S_5 - S_4$

Рассчитаем $S_5$ и $S_4$, используя общую формулу: $S_5 = \frac{a \cdot (5 \text{ с})^2}{2} = \frac{25a}{2}$

$S_4 = \frac{a \cdot (4 \text{ с})^2}{2} = \frac{16a}{2}$

Теперь подставим эти выражения в формулу для $\Delta S_5$: $\Delta S_5 = \frac{25a}{2} - \frac{16a}{2} = \frac{9a}{2}$

Мы знаем, что $\Delta S_5 = 6.3$ м. Используя это, найдем ускорение автомобиля $a$: $6.3 \text{ м} = \frac{9a}{2}$

$a = \frac{6.3 \text{ м} \cdot 2}{9} = \frac{12.6}{9} \text{ м/с}^2 = 1.4 \text{ м/с}^2$

Скорость тела при равноускоренном движении определяется формулой: $v(t) = v_0 + at$

Поскольку $v_0 = 0$, формула для скорости упрощается до $v(t) = at$. Найдем скорость автомобиля к концу пятой секунды ($t=5$ с): $v_5 = a \cdot t = 1.4 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ с} = 7 \text{ м/с}$

Ответ: 7 м/с.

Экспериментальная установка, которой пользовался Галилей, такова. Вдоль деревянной доски прорезан прямой канал, оклеенный изнутри полированным пергаментом. По каналу скользил гладкий бронзовый шарик. Угол наклона доски можно было менять. Для измерения времени Галилей использовал ведро с водой, в дне которого было проделано маленькое отверстие. Вода, вылившаяся из отверстия за время соскальзывания шарика, взвешивалась на точных весах.

«Повторяя опыты сотни раз, мы постоянно находили, что отношение пройденных путей равно отношению квадратов времени их прохождения» — так описывал Галилей выводы из экспериментов.

Спланируйте и проведите опыт, аналогичный опыту Галилея. Проверьте, выполняются ли закономерности (1) и (2).

Для проверки закономерностей движения, открытых Галилеем, необходимо спланировать и мысленно провести эксперимент, аналогичный его опытам, но с использованием современных измерительных приборов для повышения точности.

План эксперимента

Цель работы: Экспериментальная проверка двух основных закономерностей равноускоренного движения тела по наклонной плоскости.

Оборудование:

• Наклонная плоскость (желоб или доска) длиной 1-2 м.
• Металлический или стеклянный шарик.
• Электронный секундомер (с точностью до 0.01 с).
• Измерительная лента (рулетка).
• Штатив и подставки для установки желоба под разными углами.
• Транспортир или смартфон с приложением "угломер".

Теоретическое обоснование:

Движение шарика по наклонной плоскости при малых углах наклона и пренебрежении трением является равноускоренным. Пройденный телом путь $s$ при движении из состояния покоя ($v_0 = 0$) с постоянным ускорением $a$ за время $t$ определяется формулой:

$s = \frac{at^2}{2}$

Из этой формулы следуют две проверяемые закономерности:

1. При постоянном ускорении ($a = \text{const}$), что соответствует фиксированному углу наклона, пройденный путь прямо пропорционален квадрату времени движения: $s \propto t^2$. Это означает, что отношение путей, пройденных за разное время, равно отношению квадратов этого времени: $\frac{s_1}{s_2} = \frac{t_1^2}{t_2^2}$. Это закономерность (1).
2. Ускорение $a$, с которым движется шарик, зависит от угла наклона плоскости $\alpha$. Теоретически (с учетом того, что шарик катится, а не скользит) эта зависимость выражается как $a = \frac{5}{7}g \sin\alpha$, где $g$ - ускорение свободного падения. В любом случае, ускорение прямо пропорционально синусу угла наклона: $a \propto \sin\alpha$. Это закономерность (2).

Решение

Проверка закономерности (1): $s \propto t^2$

Ход работы:

1. Установим наклонный желоб под фиксированным углом, например, $\alpha = 5^\circ$.
2. Отметим на желобе четыре участка пути от точки старта: $s_1 = 0.4$ м, $s_2 = 0.8$ м, $s_3 = 1.2$ м, $s_4 = 1.6$ м.
3. Для каждого участка измерим время скатывания шарика, отпуская его без начальной скорости. Для повышения точности проведем по три измерения для каждого участка и найдем среднее время $\langle t \rangle$.
4. Результаты занесем в таблицу и проведем вычисления.

Таблица результатов (гипотетические данные):

Анализ результатов:

Из последнего столбца таблицы видно, что отношение $s / \langle t \rangle^2$ практически постоянно (среднее значение $\approx 0.2775$ м/с$^2$) с учетом погрешностей измерений. Это подтверждает, что $s \propto t^2$.

Проверим также утверждение Галилея в виде $\frac{s_1}{s_2} = \frac{\langle t_1 \rangle^2}{\langle t_2 \rangle^2}$.

Например, для второго и четвертого измерений:

$\frac{s_2}{s_4} = \frac{0.80}{1.60} = 0.5$

$\frac{\langle t_2 \rangle^2}{\langle t_4 \rangle^2} = \frac{2.89}{5.76} \approx 0.502$

Отношения практически равны. Построение графика $s(\langle t \rangle^2)$ дало бы точки, хорошо ложащиеся на прямую, проходящую через начало координат.

Ответ: Эксперимент подтверждает закономерность (1): при равноускоренном движении из состояния покоя пройденный путь прямо пропорционален квадрату времени движения.

Проверка закономерности (2): $a \propto \sin \alpha$

Ход работы:

1. Зафиксируем расстояние, которое будет проходить шарик, например, $s = 1.5$ м.
2. Будем менять угол наклона желоба $\alpha$, измеряя его с помощью угломера.
3. Для каждого угла наклона ($\alpha_1 = 3^\circ, \alpha_2 = 6^\circ, \alpha_3 = 9^\circ, \alpha_4 = 12^\circ$) измерим время скатывания шарика $\langle t \rangle$ (как среднее из трех попыток).
4. Рассчитаем для каждого случая ускорение по формуле $a = \frac{2s}{\langle t \rangle^2}$.
5. Найдем синусы углов и проверим постоянство отношения $a/\sin\alpha$.

Таблица результатов (гипотетические данные):

Анализ результатов:

Из последнего столбца таблицы видно, что отношение $a/\sin\alpha$ является практически постоянной величиной (среднее значение $\approx 6.96$ м/с$^2$). Это подтверждает прямую пропорциональность между ускорением шарика и синусом угла наклона плоскости: $a \propto \sin\alpha$.

Постоянный коэффициент пропорциональности $k = a/\sin\alpha$ в идеальном случае (без трения, для катящегося шара) равен $\frac{5}{7}g$. При $g \approx 9.8$ м/с$^2$, теоретическое значение $k_{теор} = \frac{5}{7} \times 9.8 \approx 7.0$ м/с$^2$. Полученное экспериментальное значение $k_{эксп} \approx 6.96$ м/с$^2$ очень близко к теоретическому, что говорит о высокой точности (гипотетического) эксперимента.

Построение графика $a(\sin\alpha)$ дало бы точки, хорошо ложащиеся на прямую, проходящую через начало координат, с тангенсом угла наклона этой прямой, равным $k$.

Ответ: Эксперимент подтверждает закономерность (2): ускорение тела, скатывающегося по наклонной плоскости, прямо пропорционально синусу угла наклона плоскости.

Общий вывод

Спланированный и мысленно проведенный эксперимент, аналогичный опытам Галилея, подтверждает обе фундаментальные закономерности равноускоренного движения: пропорциональность пути квадрату времени при постоянном ускорении и пропорциональность ускорения синусу угла наклона плоскости.