Страница 31 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Пользуясь рисунком 18, а, докажите, что проекция вектора перемещения при равноускоренном движении численно равна площади фигуры OACB.

1. При равноускоренном движении зависимость проекции скорости $v_x$ от времени $t$ является линейной и описывается уравнением $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$, где $v_{0x}$ — проекция начальной скорости, а $a_x$ — проекция ускорения. Графиком этой зависимости является прямая линия.

Фигура OACB, упомянутая в задаче, представляет собой геометрическую фигуру, ограниченную графиком скорости, осью времени и вертикальными линиями в моменты времени $t=0$ и $t$. Эта фигура является прямоугольной трапецией. Её основаниями служат отрезки, параллельные оси скорости, которые численно равны проекциям начальной скорости $v_{0x}$ и конечной скорости $v_x(t)$. Высотой трапеции является отрезок на оси времени, равный промежутку времени $t$.

Площадь $S$ этой трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$

С другой стороны, из определения средней скорости при равноускоренном движении мы знаем, что проекция перемещения $s_x$ равна произведению средней скорости на время движения.

$s_x = \bar{v}_x \cdot t$

Средняя скорость $\bar{v}_x$ для равноускоренного движения вычисляется как среднее арифметическое начальной и конечной скоростей:

$\bar{v}_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2}$

Подставим выражение для средней скорости в формулу для перемещения:

$s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$

Сравнивая полученное выражение для проекции перемещения $s_x$ с формулой для площади трапеции $S$, мы видим, что они полностью совпадают. Таким образом, проекция вектора перемещения при равноускоренном движении численно равна площади фигуры под графиком зависимости проекции скорости от времени.

Ответ: Доказано. Формула для проекции перемещения $s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$ совпадает с формулой для площади трапеции $S = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$ под графиком $v_x(t)$, что и доказывает утверждение.

2. Для определения проекции перемещения при равноускоренном движении используются несколько основных уравнений. Они могут быть выведены из геометрического смысла перемещения (площади под графиком скорости) и основного кинематического уравнения для скорости $v_x = v_{0x} + a_x t$.

1. Уравнение, связывающее перемещение с начальной и конечной скоростями (следует непосредственно из площади трапеции):

$s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$

2. Уравнение, связывающее перемещение с начальной скоростью и ускорением. Его можно получить, подставив $v_x = v_{0x} + a_x t$ в предыдущую формулу:

$s_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

3. Уравнение, не содержащее время (иногда называется "безвременным"). Его получают, выражая время $t = \frac{v_x - v_{0x}}{a_x}$ из формулы скорости и подставляя в первую формулу:

$s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$

Ответ: Основные уравнения для определения проекции перемещения:

$s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$

$s_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

$s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$

2. Запишите уравнения для определения проекции вектора перемещения и координаты тела при его прямолинейном равноускоренном движении.

Решение

Прямолинейное равноускоренное движение — это движение тела вдоль прямой линии с постоянным вектором ускорения ($ \vec{a} = \text{const} $). Для описания такого движения вдоль одной координатной оси (например, оси OX), когда все векторы (перемещение, скорость, ускорение) направлены вдоль этой оси, используются скалярные уравнения для проекций этих векторов.

Уравнения для определения проекции вектора перемещения

Проекция вектора перемещения $s_x$ на ось OX за промежуток времени $t$ вычисляется по формуле, связывающей её с проекцией начальной скорости $v_{0x}$ и проекцией ускорения $a_x$. Основное уравнение имеет вид:

$ s_x = v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2} $

где $s_x$ — проекция вектора перемещения на ось OX, $v_{0x}$ — проекция начальной скорости (в момент времени $t=0$) на ось OX, $a_x$ — проекция постоянного ускорения на ось OX, а $t$ — промежуток времени.

Существует также другое уравнение для нахождения проекции перемещения, которое не включает время, но связывает перемещение с проекциями начальной и конечной скоростей:

$ s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x} $

где $v_x$ — проекция конечной скорости (в момент времени $t$) на ось OX.

Ответ: Основное уравнение для проекции перемещения: $ s_x = v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2} $. Альтернативное уравнение: $ s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x} $.

Уравнение для определения координаты тела

Уравнение, описывающее изменение координаты тела со временем, называется законом движения. Для прямолинейного равноускоренного движения оно показывает зависимость координаты $x$ в любой момент времени $t$ от начальной координаты $x_0$, проекции начальной скорости $v_{0x}$ и проекции ускорения $a_x$.

Координата в момент времени $t$ равна сумме начальной координаты и проекции перемещения за это время:

$ x(t) = x_0 + s_x $

Подставив в это уравнение основное выражение для $s_x$, получим закон движения в явном виде:

$ x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2} $

где $x(t)$ — координата тела в момент времени $t$, $x_0$ — начальная координата тела (в момент времени $t=0$), $v_{0x}$ — проекция начальной скорости, $a_x$ — проекция постоянного ускорения, $t$ — время.

Ответ: $ x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2} $.

1. Велосипедист съехал с горки за $5 \, \text{с}$, двигаясь с постоянным ускорением $0,5 \, \text{м}/\text{с}^2$. Определите длину горки, если в начале спуска скорость велосипедиста была равна $18 \, \text{км}/\text{ч}$.

Дано:

Время спуска, $t = 5$ с

Ускорение, $a = 0.5$ м/с²

Начальная скорость, $v_0 = 18$ км/ч

$v_0 = 18 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 18 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$

Найти:

Длину горки, $S$

Решение:

Движение велосипедиста является равноускоренным. Длину горки, то есть путь, пройденный велосипедистом, можно найти, используя формулу пути для равноускоренного движения:

$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

где $v_0$ — начальная скорость, $t$ — время движения, $a$ — ускорение.

Подставим в формулу значения из условия задачи, предварительно переведя начальную скорость в систему СИ:

$S = 5 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 5 \text{ с} + \frac{0.5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (5 \text{ с})^2}{2}$

Выполним вычисления:

$S = 25 \text{ м} + \frac{0.5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 25 \text{ с}^2}{2}$

$S = 25 \text{ м} + \frac{12.5 \text{ м}}{2}$

$S = 25 \text{ м} + 6.25 \text{ м}$

$S = 31.25 \text{ м}$

Ответ: длина горки равна 31,25 м.

2. Поезд, идущий со скоростью 15 м/с, остановился через 20 с после начала торможения. Считая, что торможение происходило с постоянным ускорением, определите перемещение поезда за 20 с.

Дано:

Начальная скорость поезда $v_0 = 15$ м/с

Время торможения $t = 20$ с

Конечная скорость поезда $v = 0$ м/с (поезд остановился)

Ускорение $a = \text{const}$

Найти:

Перемещение поезда $s$

Решение:

Движение поезда во время торможения является равнозамедленным, так как по условию оно происходило с постоянным ускорением. Для определения перемещения тела при равноускоренном движении можно использовать формулу, связывающую перемещение со средней скоростью и временем движения. Средняя скорость при равноускоренном движении равна полусумме начальной и конечной скоростей.

Формула для перемещения выглядит следующим образом:

$s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$

где $s$ — перемещение, $v_0$ — начальная скорость, $v$ — конечная скорость, а $t$ — время движения.

Подставим известные значения из условия задачи в эту формулу:

$s = \frac{15 \text{ м/с} + 0 \text{ м/с}}{2} \cdot 20 \text{ с}$

Выполним вычисления:

$s = \frac{15}{2} \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 7.5 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 150 \text{ м}$

Таким образом, перемещение поезда за время торможения составляет 150 метров.

Ответ: $150$ м.

3* ¹. Приведите формулу $S = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$ к виду $s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$. При необходимости воспользуйтесь указаниями в ответах.

3*1.

Дано:

Исходная формула для перемещения при равноускоренном движении:

$S = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$

Также нам известна формула для мгновенной скорости при равноускоренном движении:

$v_x = v_{0x} + a_x t$

Найти:

Преобразовать исходную формулу к виду:

$S_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$

Решение:

Для того чтобы выполнить преобразование, необходимо исключить из исходной формулы время $t$. Для этого выразим время из формулы для мгновенной скорости.

1. Возьмем формулу для скорости: $v_x = v_{0x} + a_x t$.

2. Выразим из нее время $t$. Сначала перенесем $v_{0x}$ в левую часть:

$v_x - v_{0x} = a_x t$

3. Теперь разделим обе части уравнения на ускорение $a_x$:

$t = \frac{v_x - v_{0x}}{a_x}$

4. Подставим полученное выражение для времени $t$ в исходную формулу для перемещения $S = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$ (для удобства в записи поменяем местами слагаемые в сумме):

$S_x = \frac{v_x + v_{0x}}{2} \cdot \left(\frac{v_x - v_{0x}}{a_x}\right)$

5. Перемножим дроби, умножив их числители и знаменатели:

$S_x = \frac{(v_x + v_{0x})(v_x - v_{0x})}{2a_x}$

6. В числителе мы получили произведение суммы и разности двух величин, которое, согласно формуле сокращенного умножения, равно разности их квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Применим эту формулу для нашего числителя, где $a=v_x$ и $b=v_{0x}$:

$(v_x + v_{0x})(v_x - v_{0x}) = v_x^2 - v_{0x}^2$

7. Подставим полученное выражение обратно в формулу для $S_x$:

$S_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$

Таким образом, мы успешно привели исходную формулу к требуемому виду.

Ответ: Преобразование выполнено путем исключения времени $t$ из исходной формулы. Время было выражено из формулы $v_x = v_{0x} + a_x t$ как $t = \frac{v_x - v_{0x}}{a_x}$ и подставлено в формулу $S = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$. Последующее алгебраическое упрощение с использованием формулы разности квадратов привело к требуемому результату $S_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$.

4. Постройте график зависимости $v_x(t)$ для тела, движущегося равно- ускоренно в положительном направлении оси X с возрастающей по модулю скоростью. Начальная скорость движения равна $1\text{ м/с}$ и ус- корение $-0,5\text{ м/с}^2$. Какой путь прошло тело за $4\text{ с}$?

Дано:

Движение равноускоренное

Начальная скорость: $v_{0x} = 1$ м/с

Ускорение: $a_x = -0,5$ м/с²

Время движения: $t = 4$ с

Найти:

1. График зависимости $v_x(t)$

2. Путь $s$ за время $t=4$ с

Решение:

Условие задачи содержит некоторое противоречие. Указано, что тело движется "с возрастающей по модулю скоростью", что при начальном движении в положительном направлении оси X ($v_{0x} > 0$) подразумевает и положительное ускорение ($a_x > 0$). Однако в числовых данных приведено отрицательное ускорение $a_x = -0,5$ м/с². Это означает, что тело сначала замедляет свое движение, останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении, увеличивая скорость по модулю. Решение будем строить на основе предоставленных числовых данных.

Запишем уравнение зависимости проекции скорости от времени для равноускоренного движения:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

Подставим известные значения из условия задачи:

$v_x(t) = 1 - 0,5t$

Эта функция является линейной, следовательно, ее график — это прямая линия. Для построения прямой найдем координаты двух точек, например, в начальный и конечный моменты времени.

При $t=0$ с: $v_x(0) = 1 - 0,5 \cdot 0 = 1$ м/с.

При $t=4$ с: $v_x(4) = 1 - 0,5 \cdot 4 = 1 - 2 = -1$ м/с.

График представляет собой прямую, проходящую через точки с координатами (0; 1) и (4; -1).

Найдем момент времени, когда тело останавливается (скорость становится равной нулю) и меняет направление движения:

$v_x(t) = 0 \implies 1 - 0,5t = 0 \implies 0,5t = 1 \implies t = 2$ с.

Ниже представлен график зависимости $v_x(t)$:

Теперь рассчитаем путь, пройденный телом за 4 секунды. Поскольку в момент $t=2$ с тело меняет направление движения, общий путь $s$ будет равен сумме путей, пройденных на двух участках: от 0 до 2 с и от 2 до 4 с.

Пройденный путь численно равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости и осью времени. В данном случае это сумма площадей двух треугольников.

Путь на первом участке (от $t=0$ до $t=2$ с):

$s_1 = \frac{1}{2} \cdot (2 - 0) \cdot |v_x(0)| = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$ м.

Путь на втором участке (от $t=2$ с до $t=4$ с):

$s_2 = \frac{1}{2} \cdot (4 - 2) \cdot |v_x(4)| = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot |-1| = 1$ м.

Общий путь за 4 секунды:

$s = s_1 + s_2 = 1 + 1 = 2$ м.

Ответ: график зависимости $v_x(t)$ является прямой линией, показанной на рисунке выше. Путь, пройденный телом за 4 с, равен 2 м.